EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES
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- Vivien Leroy
- il y a 6 ans
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1 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES 1. Résoudre chacune des équations différentielles suivantes, en cherchant une solution particulière de l équation du même type que le second membre : a) 3 2 b) + 2 e 2x c) 5 e 5x d) 3x 2 x 2 e) + 3x 2 x 2 f) sin x 2. On considère l équation différentielle (E) (1 x 2 ) 2x 1. a) Résoudre sur ] 1, 1 [ l équation différentielle (E). b) Déterminer la solution qui pour x = 0 prend la valeur 1. c) Résoudre (E) sur ], 1 [. d) Que se passe-t-il au point x = 1? 3. Résoudre chacune des équations différentielles suivantes, en précisant soigneusement l intervalle de résolution, et en utilisant la méthode de variation de la constante : a) cos x sin xy + cos x = 0 b) + y tan x = sin x c) + y tan x = cos x d) x 3 + 4(1 x 2 ) 0 e) tan x + y sin x = 0 f) x + 2x 4. Résoudre chacune des équations différentielles suivantes : a) b) 3 = 0 c) Résoudre chacune des équations différentielles suivantes : a) e 3x b) 3 18 xe 4x c) sin x d) (x + 1)e x e) + 4 cos 2x f) 2 + (x + 1)e x 6. (ontrôle continu du 16 novembre 2001) Résoudre sur R l équation différentielle 7. (ontrôle continu du 16 novembre 2001) a) Résoudre sur R l équation différentielle b) Résoudre sur R l équation différentielle c) Résoudre sur R l équation différentielle (1 + x 2 ) + xy + x = cos 2x sin 2 x.
2
3 orrigé 1. Pour les équations de cet exercice, on cherche tout d abord les solutions de l équation homogène en utilisant la suite des opérations usuelles conduisant au résultat, puis on cherche une solution particulière de l équation complète qui est du même type que le second membre. Les solutions sont obtenues dans R. a) L équation homogène s écrit 3, ln y = 3x, e 3x. L équation possède une solution constante y 0 = K, qui vérifie 3K = 2 soit y 0 = 2 3. Les solutions de l équation sont e 3x 2 3, où est une constante quelconque. b) L équation homogène s écrit 2, ln y = 2x, e 2x. L équation possède une solution de la forme y 0 = Ke 2x, qui vérifie 2Ke 2x + 2Ke 2x = e 2x, donc en identifiant K = 1/4 et y 0 = 1 4 e2x. Les solutions de l équation sont donc e 2x e2x, où est une constante quelconque. c) L équation homogène s écrit 5, 3
4 ln y = 5x. e 5x. L équation possède une solution de la forme y 0 = Kxe 5x, qui vérifie Ke 5x + 5Kxe 5x 5Kxe 5x = e 5x. donc en identifiant K = 1 et Les solutions de l équation sont donc y 0 = xe 5x. e 5x + xe 5x, où est une constante quelconque. d) L équation homogène s écrit 3x2, ln y = x 3, e x3. L équation possède une solution constante y 0 = K, qui vérifie 3Kx 2 = x 2 donc K = 1/3, et y 0 = 1 3. Les solutions de l équation sont donc e x3 1 3, où est une constante quelconque. e) L équation homogène s écrit 3x2, ln y = x 3, e x3. L équation possède une solution constante y 0 = K, qui vérifie 3Kx 2 = x 2 donc K = 1/3, et y 0 = 1 3. Les solutions de l équation sont donc e x , 4
5 où est une constante quelconque. f) L équation homogène s écrit 1, ln y = x, e x. L équation possède une solution de la forme y 0 = A cos x + B sin x, qui vérifie A sin x + B cos x A cos x B sin x = sin x, donc en identifiant A B = 1 et B A = 0, ce qui donne A = B = 1/2, et Les solutions de l équation snt donc où est une constante quelconque. 2. a) L équation homogène s écrit y 0 = 1 (sin x + cos x). 2 e x 1 (sin x + cos x), 2 2x 1 x 2 = (1 x2 ) 1 x 2. Sur ] 1, 1 [, on obtient ln y = ln(1 x 2 ). Les solutions de l équation homogène sont donc 1 x 2. Faisons varier la constante en cherchant une solution de l équation complète sous la forme, où est une fonction. On obtient 1 x2 On en déduit = x + K, les solutions où K est une constante quelconque. = 1 x 2 + 2x (1 x 2 ) 2, (1 x 2 ) 2x = 1. x + K 1 x 2, 5
6 b) On remarque qu en particulier y(0) = K. La seule solution vérifiant y(0) = 1 est donc x x 2 = 1 1 x. c) Sur ], 1 [, on obtient ln y = ln(x 2 1). Les solutions de l équation homogène sont donc x 2 1. Faisons varier la constante en cherchant une solution de l équation complète sous la forme x 2, où est une fonction. On obtient 1 On en déduit = x + H, les solutions = x 2 1 2x (x 2 1) 2, (1 x 2 ) 2x = 1. H x x 2 1, où H est une constante quelconque. Si l on pose K = H, on trouve de nouveau où K est une constante quelconque. x + K 1 x 2, d) On s aperçoit que l on obtient la même expression pour les solutions dans ], 1 [ et dans ] 1, 1 [. On peut les écrire x + K. Mais en général une telle expression n a pas de limite 1 x2 en 1, sauf pour les constantes K telles que l on puisse simplifier la fraction par x + 1, c est-àdire pour K = 1. La fonction trouvée dans b) est solution de l équation sur l intervalle ], 1 [ tout entier. 3. Pour les équations de cet exercice, on commence par choisir un intervalle sur lequel les coefficients sont définis et le coefficient de ne s annule pas. On cherche les solutions de l équation homogène en utilisant la suite des opérations usuelles conduisant au résultat, puis on fait varier la constante. a) On se place sur un intervalle où cos x n est pas nul, c est-à-dire sur un intervalle de la forme ] π/2 + kπ, π/2 + kπ [ (k Z). Sur un tel intervalle cos x garde un signe constant. L équation homogène s écrit sin x x) = (cos cos x cos x, ln y = ln cos x, 6
7 cos x. Sur l intervalle ] π/2 + kπ, π/2 + kπ [ le signe de cos x est constant et vaut ( 1) k. Donc en posant 1 = ( 1) k, la solution de l équation homogène s écrit 1 cos x. Faisons varier la constante 1 en cherchant une solution de l équation complète sous la forme 1 cos x, où 1 est une fonction. On obtient On en déduit les solutions où K est une constante quelconque. = 1 cos x + 1 sin x cos 2 x, cos x sin x 1 = cos x. = sin x + K, sin x + K cos x b) On se place sur un intervalle où tan x est définie, c est-à-dire sur un intervalle de la forme ] π/2 + kπ, π/2 + kπ [ (k Z)., L équation homogène s écrit sin x (cos x) = cos x cos x. ln y = ln cos x. cos x. Sur l intervalle ] π/2 + kπ, π/2 + kπ [, le signe de cos x est constant et vaut ( 1) k. Donc en posant 1 = ( 1) k, on obtient 1 cos x. Faisons varier la constante 1 en cherchant une solution de l équation complète sous la forme 1 cos x, où 1 est une fonction. On obtient = 1 cos x 1 sin x, + y tan x = 1 cos x = sin x. soit 1 = sin x cos x, On en déduit 1 = ln cos x + K, les solutions ( ln cos x + K) cos x, 7
8 où K est une constante quelconque. c) On reprend les mêmes calculs que dans b). La variation de la constante donne cette fois soit On en déduit 1 = x + K, les solutions où K est une constante quelconque. + y tan x = 1 cos x = cos x. 1 = 1, (x + K) cos x, d) On se place sur un intervalle où x 3 ne s annule pas : ], 0 [ ou ] 0, + [. L équation est homogène et s écrit 4(x2 1) x 3 = 4 x 4 x 3, ln y = 4 ln x + 2 x 2, x 4 e 2/x2. e) On se place sur un intervalle où tan x est définie et non nulle, c est-à-dire sur un intervalle de la forme ] π/2 + kπ, kπ [ ou ] kπ, π/2 + kπ [. L équation homogène s écrit cos x x) = (sin sin x sin x, ln y = ln sin x, sin x. Sur un des intervalles choisis sin x possède un signe constant. On peut donc donner la solution sous la forme 1 sin x. Faisons varier la constante 1 en cherchant une solution de l équation complète sous la forme 1 sin x, où 1 est une fonction. On obtient = 1 sin x 1 cos x sin 2 x, tan x + 1 cos x = sin x. 8
9 soit 1 = cos x sin x = 1 sin 2x, 2 On en déduit 1 = 1 cos 2x + K, les solutions 4 où K est une constante quelconque. 1 cos 2x + K 4 sin x, Remarque : comme on peut écrire cos x sin x = sin x(sin x) on aurait pu aussi donner la solution sous la forme 1 = sin 2 x + K 1 ou encore 1 = cos 2 x + K 2. f) On se place sur un intervalle où x ne s annule pas : ], 0 [ ou ] 0, + [. L équation homogène s écrit 1 x, ln y = ln x, x. Faisons varier la constante en cherchant une solution de l équation complète sous la forme, où est une fonction. On obtient x On en déduit = x 2 + K, les solutions = x x 2, x + = 2x. où K est une constante quelconque. x2 + K x, 4. a) Le polynôme caractéristique X 2 5X +6 a pour racines 2 et 3. Les solutions de l équation sont donc Ae 2x + Be 3x, b) Le polynôme caractéristique X 2 3X a pour racines 0 et 3. Les solutions de l équation sont donc A + Be 3x, 9
10 c) Le polynôme caractéristique X 2 2X +2 a pour racines complexes 1+i et 1 i. Les solutions de l équation sont donc Ae x cos x + Be x sin x, 5. a) Le polynôme caractéristique X 2 + 2X 8 a pour racines 4 et 2. Les solutions de l équation homogène sont donc Ae 4x + Be 2x, On cherche une solution particulière de l équation complète. omme 3 n est pas racine du polynôme caractéristique, il en existe une de la forme En remplaçant dans l équation y 0 = Ke 3x y 0 = 9Ke 3x + 6Ke 3x 8Ke 3x = 7Ke 3x = e 3x. D où K = 1/7, et Les solutions sont donc y 0 = 1 7 e3x. 1 7 e3x + Ae 4x + Be 2x. b) Le polynôme caractéristique X 2 3X 18 a pour racines 3 et 6. Les solutions de l équation homogène sont donc Ae 3x + Be 6x, On cherche une solution particulière de l équation complète. omme 4 n est pas racine du polynôme caractéristique, il en existe une de la forme On a y 0 = (Kx + H)e 4x. 0 = (4Kx + 4H + K)e 4x et 0 = (16Kx + 16H + 8K)e 4x, D où, en remplaçant dans l équation, y 0 = ( 14Kx 14H + 5K)e 4x = xe 4x. D où le système { 14K = 1 14H + 5K = 0 On en déduit K = 1/14 et H = 5/196, donc y 0 = (14x + 5)e4x. 10
11 Les solutions sont donc (14x + 5)e4x + Ae 3x + Be 6x, c) Le polynôme caractéristique X 2 10X + 41 a pour racines complexes conjuguées 5 + 4i et 5 4i. Les solutions de l équation homogène sont donc Ae 5x cos 4x + Be 5x sin 4x, On cherche une solution particulière de l équation complète. Le second membre sin x est la partie imaginaire de e ix. omme i n est pas racine du polynôme caractéristique, il existe une solution particulière de la forme, y 0 = K cos x + H sin x. On a D où, en remplaçant dans l équation, 0 = K sin x + H cos x et 0 = K cos x H sin x y 0 = (40K 10H) cos x + (40H + 10K) sin x = sin x. D où le système { 40K 10H = 0 40H + 10K = 1 On en déduit K = 1/170 et H = 2/85, donc Les solutions sont donc y 0 = cos x sin x cos x sin x + Ae5x cos 4x + Be 5x sin 4x, d) Le polynôme caractéristique X 2 + 2X 3 a pour racines 1 et 3. Les solutions de l équation homogène sont donc Ae x + Be 3x, On cherche une solution particulière de l équation complète. omme 1 est racine du polynôme caractéristique, il en existe une de la forme On a y 0 = (Kx 2 + Hx)e x. 0 = (Kx 2 + Hx + 2Kx + H)e x et 0 = (Kx 2 + Hx + 4Kx + 2H + 2K)e x, 11
12 D où, en remplaçant dans l équation, y 0 = (8Kx + 4H + 2K)e x = (x + 1)e x. D où le système { 8K = 1 4H + 2K = 1 On en déduit K = 1/8 et H = 3/16, donc Les solutions sont donc y 0 = 1 16 (2x2 + 3x)e x (2x2 + 3x)e x + Ae x + Be 3x, e) Le polynôme caractéristique X a pour racines complexes conjuguées 2i et 2i. Les solutions de l équation homogène sont donc A cos 2x + B sin 2x, On cherche une solution particulière de l équation complète. omme cos 2x est la partie réelle de e 2ix et que 2i est racine du polynôme caractéristique, il en existe une de la forme On a y 0 = Kx cos 2x + Hx sin 2x. 0 = K cos 2x 2Kx sin 2x + H sin 2x + 2Hx cos 2x = (2Hx + K) cos 2x + ( 2Kx + H) sin 2x, puis y 0 = 2H cos 2x 2(2Hx + K) sin 2x 2K sin 2x + 2( 2Kx + H) cos 2x = ( 4Kx + 4H) cos 2x (4Hx + 4K) sin 2x, D où K = 0 et H = 1/4, donc 0 + 4y 0 = 4H cos 2x 4K sin 2x = cos 2x. y 0 = 1 x sin 2x. 4 Les solutions sont donc 1 x sin 2x + A cos 2x + B sin 2x, 4 f) Le polynôme caractéristique X 2 2X + 1 a pour racine double 1. Les solutions de l équation homogène sont donc (Ax + B)e x, 12
13 On cherche une solution particulière de l équation complète. omme 1 est racine double du polynôme caractéristique, il en existe une de la forme On a puis D où K = 1/6 et H = 1/2, donc Les solutions sont donc y 0 = (Kx 3 + Hx 2 )e x. 0 = (Kx 3 + Hx 2 + 3Kx 2 + 2Hx)e x, 0 = (Kx 3 + 6Kx 2 + Hx 2 + 4Hx + 6Kx + 2H)e x, 0 2Y 0 + y 0 = (6Kx + 2H)e x = (x + 1)e x. y 0 = ( 1 6 x3 + 1 ) 2 x2 e x. ( 1 6 x3 + 1 ) 2 x2 + Ax + B e x, 6. L équation homogène s écrit x 1 + x 2 = 1 2 (1 + x 2 ) 1 + x 2, ln y = 1 2 ln(1 + x2 ), 1 + x 2. L équation possède une solution constante y 0 = K, qui vérifie K + 1 = 0 soit y 0 = 1. Les solutions de l équation sont x 2, où K est une constante quelconque. 7. Le polynôme caractéristique X 2 2X + 2 a pour racines complexes conjuguées 1 + i et 1 i. Les solutions de l équation homogène sont donc Ae x cos x + Be x sin x, a) L équation possède une solution constante y 0 = 1/2. Donc ses solutions sont Ae x cos x + Be x sin x + 1 2, 13
14 b) omme cos 2x est la partie réelle de e 2ix, et que 2i n est pas racine du polynôme caractéristique, l équation possède une solution de la forme On a y 0 = K cos 2x + H sin 2x. 0 = 2K sin 2x + 2H cos 2x et 0 = 4K cos 2x 4H sin 2x. D où, en remplaçant dans l équation, y 0 = ( 2K 4H) cos 2x + ( 2H + 4K) sin 2x = cos 2x. D où le système { 2K 4H = 1 2H + 4K = 0 On en déduit K = 1/10 et H = 1/5, donc Les solutions sont donc y 0 = 1 10 cos 2x 1 sin 2x cos 2x 1 5 sin 2x + Aex cos x + Be x sin x, c) On a sin 2 1 cos 2x x = = cos 2x. 2 D après le principe de superposition des solutions, une solution particulière est donnée par y 0 = ( cos 2x 15 ) sin 2x, Les solutions sont donc cos 2x sin 2x + Aex cos x + Be x sin x, 14
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