Fonctions carré et fonction inverse

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1 Fonctions carré et fonction inverse Table des matières I Fonction carré I I. Parité I. Variations I. Courbe représentative I.5 Application II Fonction inverse II II. Parité II. Variations II. Courbe représentative II.5 Application I Fonction carré I. On appelle fonction carré la fonction La fonction carré est définie sur R. En effet, on peut calculer pour n importe quelle valeur de R. I. Parité Une fonction f définie sur un ensemble I est paire si : I est symétrique par rapport à l origine O du repère (donc, pour tout I, I ). pour tout I, f ( )= f ()

2 Illustration graphique : Conséquence graphique : la courbe représentative d une fonction paire est symétrique par rapport à l ae des ordonnées. M ( ; f ( )= f ()) 5 M( ; f ()) La fonction carré f : est paire Démonstration f est définie sur R et R est symétrique par rapport à O. Pour tout R, f ( )=( ) = = f () I. Variations f : est décroissante sur ] ; 0] et croissante sur [0 ; + [. Démonstration : Sur [0 ; + [ : soient deu réels et quelconques de [0 ; + [ avec 0 <. Il s agit de comparer les nombres f ( )= et f ( )=. f ( ) f ( )= = ( + ) ( }{{} ) 0 donc f ( }{{} ) f ( ). 0 >0 En effet, + 0 comme somme de nombres positifs et > 0 car on a supposé <. Les images sont classées dans le même ordre que les antécédents, donc f est croissante sur [0 ; + [. Sur ] ; 0] : soient deu réels et quelconques de ] ; 0] avec < 0. On a le même calcul : f ( ) f ( )=( + ) ( }{{} ) 0 ( }{{} + 0)car les deu nombres sont négatifs. 0 >0 Les images cette fois sont classées dans l ordre inverse des antécédents : la fonction est décroissante. Remarque : sur ] ; 0], on aurait pu utiliser la parité de la fonction et la symétrie de la courbe par rapport l ae des ordonnées. Page /7

3 Tableau de variation : 0 + f () 0 I. Courbe représentative Pour tracer la courbe, on calcule des coordonnées de points. Comme la courbe est symétrique, on se limite à des valeurs positives et on construit les points symétriques par rapport à l ae des ordonnées. 0 f ()= 0 9 La courbe représentative de la fonction carré est appelée parabole O I.5 Application Eercice : comparer les carrés des nombres suivants : a) 0, et 0, b) (,) et (,) c) (,) et, Solution : a) 0, et 0, sont positifs ; sur [0 ; + [, la fonction f : est croissante. 0,<0, donc f (0,)< f (0,) donc 0, < 0, b) -, et -, sont négatifs ; sur ] ; 0], f est décroissante.,>, ; comme f est décroissante, f renverse l ordre, donc (,) <,. c) (,) =, donc il suffit de comparer, et,., et, sont positifs et,<, ; sur [0 ; + [, f est croissante, donc, <,, d où (,) <, Page /7

4 Eercice : résoudre graphiquement l équation = +. On pose f ()= et g ()=+. On trace les courbes représentatives de ces fonctions. Les solutions éventuelles de cette équation sont les abscisses des points d intersection de ces deu courbes. Puisqu il s agit d une lecture graphique, les valeurs trouvées sont des valeurs approchées des solutions. la méthode pour trouver les valeurs eactes sera vue en Première On trouve deu solutions : 0,5 et,6 II II. Fonction inverse On appelle fonction inverse la fonction La fonction inverse est définie sur R = R \ {0}=] ; 0[ ]0 ; + [. Page /7

5 II. Parité Une fonction f définie sur un ensemble I est impaire si : I est symétrique par rapport à l origine O du repère (donc, pour tout I, I ). pour tout I, f ( )= f () Conséquence graphique : la courbe représentative d une fonction impaire est symétrique par rapport à l origine O du repère. Illustration graphique : a M( ; f ()) M ( ; f ( )= f ()) La fonction inverse f : est impaire Démonstration f est définie sur R et R est symétrique par rapport à O. Pour tout R, f ( )= = = f () II. Variations f : est décroissante sur ] ; 0] et décroissante sur [0 ; + [. Démonstration : Page 5/7

6 Sur [0 ; + [ : soient deu réels et quelconques de ]0 ; + [ avec 0 <. Il s agit de comparer les nombres f ( )= et f ( )=. f ( ) f ( )= =. < 0 car < ; > 0 comme produit de nombres positifs. Les images sont classées dans l ordre inverse des antécédents, donc f est décroissante sur ]0 ; + [. Sur ] ; 0[ : soient deu réels et quelconques de ] ; 0[ avec < < 0. On a le míme calcul : f ( ) f ( )= =. < 0 car < ; > 0 comme produit de nombres négatifs. Les images sont classées dans l ordre inverse des antécédents, donc f est décroissante sur ] ; 0[. Remarque : sur ] ; 0], on aurait pu utiliser la symétrie de la courbe par rapport à O. Tableau de variation : 0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de f () 0 II. Courbe représentative Pour tracer la courbe, on trace la partie correspondant à des abscisses positives en calculant les coordonnées de quelques points. f ()= O C La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole. Elle est constituée de deu branches. 5 Page 6/7

7 II.5 Application Eercice : comparer les nombres suivants : a) 0, et 0, b), et,5 c), et, Solution : a) 0, et 0, sont positifs ; sur ]0 ; + [, la fonction f : est décroissante. 0,<0, donc f (0,)> f (0,) donc 0, > 0, b) -, et -,5 sont négatifs ; sur ] ; 0[, f est décroissante.,>,5 ; comme f est décroissante, f renverse l ordre, donc (, )<,5. c),<0 et,>0 donc, < 0 et, > 0 donc, <,. Remarque : ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -, et, ne sont par dans les mêmes intervalles définition de la fonction inverse. Page 7/7