Étude qualitative de fonctions
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- Lionel Déry
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1 Étude qualitative de fonctions I. Sens de variation et tableau de variation a) Idée intuitive f est la fonction définie sur l intervalle [ 4 ; 2] par la courbe dans le repère ci-dessous. Dire en langage familier que «la courbe C monte de gauche à droite sur [ 4 ; 1]» se traduit en langage mathématique par :. Dire en langage familier que «la courbe C descend de gauche à droite sur [ 1 ; 2]» se traduit en langage mathématique par :. b) Traduction algébrique DÉFINITIONS f est une fonction définie sur un intervalle I. Dire que la fonction f est. sur I signifie que, pour tous nombres réels u et v de I, si u v, alors... Dire que la fonction f est.sur I signifie que, pour tous nombres réels u et v de I, si u v, alors CONSÉQUENCES Une fonction croissante sur I l'ordre : deux nombres réels quelconques de I et leurs images sont rangés dans Une fonction décroissante sur I l'ordre : deux nombres réels quelconques de I et leurs images sont rangés dans des Page 1 sur 6
2 c) Tableau de variation : exemple On reprend la fonction f dont la courbe représentative est tracée au paragraphe a) Le sens de variation de la fonction f est résumé dans un tableau de variation. Ces valeurs sont lues sur l'axe des abscisses. Ces valeurs sont lues sur l'axe des ordonnées. x f(x) On indique les plus grands intervalles sur lesquels f est croissante ou décroissante. Exercice 1 (résolu) - Lire un tableau de variation Voici ci-contre le tableau de variation d'une fonction g définie sur l intervalle [ 2 ; 5]. x g(x) a) Décrire les variations de la fonction g. b) Comparer : g( 1) et g(0) g(2) et g(4). c) Tracer une courbe susceptible de représenter graphiquement la fonction g dans un repère. Page 2 sur 6
3 II. Maximum, minimum a) Idée intuitive f est la fonction définie sur lintervalle par la courbe C dans le repère ci-ciessous. Dire que «. (.. ; ) est le point le plus haut de la courbe sur [ 4 ; 2]» se traduit en langage mathématique par : «est le... de f sur [ 4 ; 2] et il est atteint en». Dire que «( ;. ) est le point le plus bas de la courbe sur [ 4 ; 2]» se traduit en langage mathématique par : «est le de f sur [ 4 ; 2] et il est atteint en» b) Traduction algébrique DÉFINITIONS f est une fonction définie sur un intervalle I et a désigne un nombre réel de I. Dire que f(a) est de f sur I signifie que, pour tout nombre réel x de I, f(x) Dire que f(a) est de f sur I signifie que, pour tout nombre réel x de I, Vocabulaire On dit que f(a) est un de f sur l'intervalle I pour exprimer que f(a) est un. ou un de f sur I. c) Avec un tableau de variation : exemple On reprend la fonction f dont la courbe représentative est tracée au paragraphe a). x f(x).... Le maximum de f sur [ 4 ; 2] est, il est atteint pour x =. Le minimum de f sur [ 4 ; 2] est, il est atteint pour x =. Page 3 sur 6
4 Exercice 4 résolu - Lire un maximum, un minimum sur un intervalle f est une fonction définie sur l'intervalle [ 3 ; 3]. Sa courbe représentative est tracée dans le repère ci-contre. Lire graphiquement le maximum et le minimum de f sur chacun des intervalles indiqués et préciser la valeur de x pour laquelle il est atteint. a) [ 3 ; 3] b) [ 3 ; 0] c) [0 ; 3] À votre tour Exercice 5 g est une fonction définie sur l intervalle [ 2 ; 4]. Sa courbe représentative est tracée dans le repère ci-dessous. Lire le maximum et le minimum de f sur chaque intervalle indiqué et préciser la valeur de x pour laquelle il est atteint. a) [ 2; 0] b) [0 ; 4] c) [ 2 ; 4] d) [2 ; 4] Exercice 6 Voici le tableau de variation d'une fonction f définie sur l intervalle [ 7 ; 5]. Dans chaque cas, justifier la proposition. a) Pour tout nombre réel x de [ 7 ; 3], 4 f(x) 2. b) Pour tout nombre réel x de [ 3 ; 5], 0 f(x) 3. Exercice 7 h est une fonction définie sur l'intervalle [4 ; 7]. Voici son tableau de variation. Sur chaque intervalle indiqué, donner le maximum et le minimum de h et préciser en quel nombre il est atteint. a) [ 4; 0] b) [0 ; 7] c) [ 1 ; 3] d) [ 4 ; 7] Exercice 8 C est la courbe représentative d'une fonction m définie sur l intervalle [ 2 ; 3]. Recopier et compléter le plus précisément possible les inégalités. a) Pour tout nombre réel x de [ 2 ; 3], m(x) b) Pour tout nombre réel x de [0 ; 3],. m(x) Page 4 sur 6
5 III. Fonctions affines et sens de variation a) Des fonctions de référence DÉFINITION Une fonction affine est une fonction définie sur R qui à chaque nombre réel x associe le nombre où et.. sont deux nombres réels donnés. EXEMPLES f: x 5x + 2 (ici a =, b = ) et g: x x 4 (ici a =., b = ) ) sont des 2 fonctions Cas particuliers : x ax (ici, b = ) est une fonction affine particulière : c'est une fonction. x b (ici, a =.) est une fonction affine particulière : c'est une fonction. PROPRIÉTÉ Si f est une fonction affine x ax + b, alors pour tous nombres réels u et v : f(v) f(u) = En effet, f(v) f(u) =... b) Courbe représentative PROPRIÉTÉS (admises) Le plan est muni d'un repère. (1) La courbe représentative d'une fonction affine est.. (2) Réciproquement, toute droite est la courbe représentative d'une fonction affine. Vocabulaire : dans un repère, d est la droite représentant la fonction affine f: x ax + b. On dit que : a est le de d; b est de d : c'est l'ordonnée du point d'intersection de d avec c) Sens de variation d'une fonction affine Dans un repère, d est la droite représentant la fonction affine ax + b. Cas où a > 0 Si v u, alors a(v u).. (car a.. et v u..). D où : f(v) f(u). Page 5 sur 6
6 Cas où a < 0 Si v u, alors a(v u) (car a et v u ). D où :. Cas où a = 0 Si v u, alors. D où : f(v) f(u). PROPRIÉTÉS f est une fonction affine x ax + b (avec a et b nombres réels). Si a > 0, alors f est sur R. Si a = 0, alors f est sur R. Si a < 0, alors f est sur R. Exercice 9 résolu - Étudier les variations d'une fonction affine f est la fonction définie sur R par f(x) = 1 x 1. 4 a) Dresser le tableau de variation de la fonction f. b) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction f. Conseils Pour connaitre le sens de variation sur R d'une fonction affine x ax + b, on observe le signe de a. Pour tracer dans un repère la droite d représentant une fonction affine x ax + b : soit on choisit deux valeurs de x, pas trop proches, on calcule leurs images et on place les points correspondants ; soit on exploite graphiquement l'ordonnée à l'origine b et le coefficient directeur a. À votre tour Exercice 10 f est la fonction définie sur R par : f(x) = 2x + 3,5. a) Dresser le tableau de variation de la fonction f. b) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction f. Vérifier la cohérence avec le tableau de variation obtenu au a). Exercice 11 Dresser le tableau de variation de chacune de ces fonctions affines. f: x 1 x g: 2x 1 4 h: x 1 x 2 5 k: x + 1 Exercice 12 Voici quatre fonctions affines : j: x 4x 2 k: x 2x l: x 2 m: x 0,5x + 1 a) Andréa affirme : «La droite d 2, tracée ci-dessous représente la fonction m». Est-ce exact? b) Associer chaque fonction à celle des droites ci-dessous qui la représente. Page 6 sur 6
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