Sollicitation élémentaire : la flexion

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1 CHAPITRE5 ollicitation élémentaire : la fleion Comme pour les deu études des sollicitations précédentes, on s appuie sur un constat géométrique. On se consacrera dans un premier temps à l étude des contraintes normales, puis à celles de cisaillement en présentant les deu approimations classiques faites pour leur calcul. Le bilan étant de dire qu on négligera dans la majorité des cas les contraintes tangentielles de fleion devant les contraintes normales de fleion. ommaire 1 Définition Relation effort tranchant/moment fléchissant Relation contrainte normale/moment fléchissant Équation de la déformée Contraintes tangentielles Ordre de grandeur des contraintes Critère de dimensionnement Ce qu il faut retenir Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 65

2 5 ollicitation élémentaire : la fleion Ce premier chapitre est consacré à la mise en place des hpothèses fondamentales de la RdM. En partant de définitions générales, on restreindra peu à peu le cadre à l étude des poutres droites chargées dans leur plan de smétrie. 1 Définition Une poutre, ou un tronçon de poutre, est sollicitée en fleion simple dès que le torseur des efforts intérieurs se présente sous la forme suivante : Ω T! æ Tint = M! f i de plus, T = 0, alors on parle de fleion pure. Avant d établir les relations entre les composantes du torseur des efforts intérieurs et les contraintes, nous allons établir une relation entre l effort tranchant et le moment fléchissant. 2 Relation effort tranchant/moment fléchissant charge linéique : p ' +d Figure I.40: Tronçon de poutre isolé On considère un petit tronçon de poutre compris entre les abscisses et + d tel qu il est représenté sur la Figure I.40. On suppose que les efforts etérieurs qui s eercent sur ce tronçon sont une charge linéique uniforme sur toute la longueur d. On notera que cette hpothèse permet de simplifier la démonstration qui reste valable dans le cas général. On suppose de plus que les torseurs des efforts intérieurs qui s eercent en et 0 correspondent à de la fleion simple. Isolons alors le tronçon de poutre de longueur d. Le bilan des actions mécaniques etérieurs sur le tronçon donne : En : Ω T! æ T int = M! f En 0 : La charge linéique : p! Tint = Ω (T + dt )! (M f + dm f )! æ 0 66 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf

3 2 Relation effort tranchant/moment fléchissant Appliquons alors le Principe Fondamental de la tatique au tronçon de poutre. L équation en résultante, projetée sur! s écrit : T + T + dt pd = 0 L équation de moment écrite au milieu de 0, projetée sur! s écrit (la charge linéique ne génère pas de moment au milieu de 0 ): M f + M f + dm f + T d 2 + (T + dt ) d 2 = 0 En négligeant les termes du second ordre dans l équation de moment, on en déduit : dt d = p et dm f d = T Cette deuième relation est un outil utile pour vérifier la cohérence du torseur des efforts intérieurs calculés. De plus, on en déduit qu en fleion pure, puisque T = 0, on a nécessairement M f constant (indépendant de l abscisse ). Pour aller plus loin, il faut connaître la répartition des contraintes dans la section. Pour déterminer cette répartition, nous allons nous baser sur un constat géométrique. Étude d un tronçon se déformant On considère un tronçon de poutre soumis à de la fleion. La Figure I.41 représente ce tronçon avant et après déformation. Le problème est alors d évaluer la variation de longueur R dα dα a' 1 a a 1 +d Figure I.41: Tronçon de poutre avant et après déformation d une fibre aa 1 d ordonnée par rapport à la ligne moenne. Cette fibre après déformation se transforme en aa1 0. On constate epérimentalement que les fibres situées au dessus de la fibre moenne se raccourcissent, tandis que les fibres situées sous la fibre moenne s allongent. La fibre moenne ne change pas de longueur : on l appelle aussi fibre neutre. Les constats précédents amènent à deu conséquences. Les fibres s allongent ou se raccourcissent et sont donc soumises à des contraintes normales. Entre chaque fibre, on a des variations de longueur qui induisent des contraintes tangentielles. On a donc à la fois des contraintes tangentielles dites longitudinales (dans le plan (!,! )), et par réciprocité, des contraintes tangentielles transversales (dans le plan (!,! )) comme celà est représenté sur la Figure I.43 et la Figure I.45. Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 67

4 5 ollicitation élémentaire : la fleion Nous allons dans un premier temps nous intéresser uniquement au contraintes normales. Pour celà revenons sur l allongement subit par la fibre aa 1. La déformation de cette fibre s écrit : avec : Dont on peut déduire que : = aa0 1 aa 1 aa 1 aa 0 1 = (R )dæ et aa 1 = d (R )dæ d = d = (R ) dæ d 1 Or par définition la courbure, inverse du raon de courbure R, est : Ainsi : 1 R = dæ d = 1 dæ dæ 1 = d d = R Cette déformation engendre alors une contrainte que l on peut déterminer à partir de la loi de Hooke : æ = E = E R Avec cette dernière équation, on connait la répartition des contraintes dans une section droite. Nous allons pouvoir donc intégrer cette contrainte sur la section. 3 Relation contrainte normale/moment fléchissant Avec : Pour déterminer cette relation, il suffit d écrire la relation intégrale suivante : Ω T! æ ( RR! ) Tint = M! = T (M,! )d RR! f M ^! T (M,! )d! T (M,! ).! = E R La projection de l équation en résultante sur l ae! est vérifiée et traduit le fait que la ligne ne moenne ne s allonge pas ce qui valide l hpothèse de départ. Intéressons nous maintenant uniquement au contraintes normales, alors on ne prend en compte que la projection du vecteur contrainte sur l ae!. Pour déterminer la relation cherchée, il suffit alors de projeter le moment de l équation précédente sur l ae! : ZZ! M f = M ^ æ! d.! avec M! =! +! On en déduit : D ou : ZZ M f = æd avec æ = E R M f = E ZZ 2 d R 68 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf

5 3 Relation contrainte normale/moment fléchissant La quantité RR 2 d est appelée moment quadratique de la section par rapport à l ae (,! ). En effet cette quantité est l intégrale de la distance au carré d un point de la section droite par rapport à l ae (,! ). Cette grandeur ne dépend que de la section, et est notée I. On pose donc : ZZ I = 2 d On a en particulier pour une section circulaire, et pour une section rectangulaire : section circulaire : I = ºr 4 4 = ºd 4 64 et section rectangulaire : I = bh3 12 h diamètre d = 2 r raon r b Figure I.42: Paramétrage des sections On écrit alors : M f = E R I avec E R = æ On peut en déduire finalement la relation recherchée : æ = M f I σ ma σ ma -σ ma -σ ma Figure I.43: Répartition linéaire des contraintes normales dans l épaisseur Cette relation permet de déterminer les contraintes normales en fonction du moment fléchissant. Les contraintes ont une répartition qui est linéaire dans l épaisseur de la poutre Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 69

6 5 ollicitation élémentaire : la fleion de par la dépendance à la distance à la fibre neutre. A la fibre neutre, les contraintes normales sont nulles, et leur valeur maimale est obtenue au plus loin de la fibre neutre : pour = d/2 dans le cas d une section circulaire, et pour = h/2 pour une section rectangulaire. Cette répartition est représentée sur la Figure I.43 dans le cas d un moment fléchissant négatif. 4 Équation de la déformée ous les actions de fleion, la ligne moenne de la poutre va se déformer. On caractérise par v(), l équation de la courbe caractéristique de la ligne moenne après déformation (cf Figure I.44). La ligne moenne après déformation est aussi appelée déformée et la valeur de la déformée en un point est appelée flèche. O v() Figure I.44: Déformée de la ligne moenne Comme l équation de la ligne moenne est définie en coordonnées cartésiennes, on peut en déduire l epression du raon de courbure R : R = (1 + v 0 2 ) 3 2 v 00 De plus, le fait que l on se place dans l hpothèse des petites perturbations permet de négliger dans l epression précédente le terme v 0 2 devant 1, soit 1 + v 02 º 1. En remplaçant alors R = 1 v 00 dans l epression M f = E R I, on en déduit immédiatement l équation différentielle vérifiée par la déformée v(), relation de comportement globale entre la flèche et le moment fléchissant : EI v 00 = M f L intégration de l équation précédente et la prise en compte des conditions au limites (liaisons de la poutre avec l etérieur) permettra de déterminer la forme de v() (on trouve généralement pour v() une epression polnomiale par morceau). 5 Contraintes tangentielles Comme nous l avons dit précédemment, les contraintes tangentielles sont à la fois longitudinales et transversales comme celà est représenté sur la Figure I.45. De plus, compte tenu que les contraintes normales ne varient qu en fonction de la distance à la fibre neutre (elles sont donc constantes dans la largeur), on peut en déduire que les contraintes tangentielles sont elles aussi constantes dans la largeur. Il ne reste donc plus qu à déterminer leur répartition dans la hauteur de la section (dépendance en fonction de ). Pour commencer, 70 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf

7 5 Contraintes tangentielles τ τ τ Figure I.45: Répartition des contraintes tangentielles dans la largeur supposons que les contraintes tangentielles ne dépendent pas de. Elles sont donc uniformes sur toute la section droite. L écriture de l équation de résultante en projection sur! tirée de la relation intégrale sur le torseur des efforts intérieurs s écrit dans ce cas : Et comme ø est uniforme sur, on en déduit : ZZ T = ød ø = T On a donc avec cette première epression un moen de calculer les contraintes tangentielles sous l hpothèse qu elles sont uniformes sur la section. Cette epression est souvent utilisée, car elle donne un majorant de la valeur de la contrainte tangentielle. Malheureusement, elle n est pas eacte, car les contraintes tangentielles ne sont pas uniforme sur la section : elles dépendent de. Pour trouver une epression plus générale, isolons un bout de poutre limité par les surfaces 1, 3, 2 et la surface etérieure de la poutre, comme celà est représenté sur la Figure I d ' 2 3 b() Figure I.46: Isolement d un petit bout de poutre Comme précédemment, le bilan des actions mécaniques etérieures fait apparaître : Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 71

8 5 ollicitation élémentaire : la fleion En : En 0 : Tint Tint = = Ω Ω T! M f! æ (T + dt )! (M f + dm f )! On peut alors, section par section, lister les contraintes qui s eercent : sur 1 : sur 2 : sur 3 : æ 1 = M f I et ø 1 () æ 2 = M f+ dm f I ø() æ et ø 2 () À partir de ce bilan, écrivons alors l équilibre statique de ce tronçon, en se concentrant uniquement sur l équation de résultante en projection sur l ae! : oit : Z 1 M f I d En simplifiant, puisque 1 = 2, on en déduit : Z Z Z æ 1 d+ 1 æ 2 d+ 2 ød = 0 3 Z 2 M f+ dm f I d+ ø()b()d = 0 Z dm f d+ ø()b()d = 0 1 I 0 Et en divisant par d : 1 Z dm f d+ ø()b() = 0 I d 1 En utilisant le fait que T = dm f d, il vient finalement : ø() = T Z A() avec A() = d b() I 1 Cette epression permet d avoir une meilleure approimation de la contrainte tangentielle dans la section droite. Elle fait en particulier intervenir A() qui est le moment statique de la section 1 par rapport à l ae!. On peut remarquer sur cette epression que lorsqu on s éloigne au maimum de la ligne moenne (soit en = d/2 où = h/2 selon la de section), l intégrale qui permet de calculer A() est nulle puisque la section sur laquelle on intègre est nulle. Ainsi la contrainte tangentielle est nulle sur les deu surfaces supérieures et inférieures de la poutre. Après avoir évalué les contraintes normales et tangentielles, nous allons tenter de les comparer, ou au moins d avoir une idée de leur ordre de grandeur. 72 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf

9 6 Ordre de grandeur des contraintes 6 Ordre de grandeur des contraintes Nous allons noter o dg ( ), l ordre de grandeur de la quantité. Par eemple, pour le premier calcul de la contrainte tangentielle : On peut écrire : ø = T o dg (ø) = T a 2 où a est une dimension caractéristique de la section On peut aussi évaluer l ordre de grandeur de la contrainte tangentielle obtenue avec la seconde formule : o dg (A()) = a 3 o dg (I ) = a 4 o dg (b()) = a Donc : o dg (ø) = T a 2 On retrouve bien évidemment le même résultat puisque la contrainte tangentielle, quelle que soit la méthode de calcul utilisée, est du même ordre de grandeur. Intéressons nous à la contrainte normale : æ = M f I avec dm f = T d Ainsi : o dg (M f ) = T l où l est la longueur la poutre Et on en déduit : o dg (æ) = T l a 3 On peut donc en déduire le rapport des ordres de grandeur de la contrainte tangentielle et de la contrainte normale : o dg (ø) o dg (æ) = a l Or le rapport a/l est l élancement de la poutre (rapport entre la plus grande dimension transversale et la longueur). Pour que le solide étudié puisse être considéré comme une poutre (cf. les hpothèses), le rapport a/l est inférieur à 1/5 et est bien souvent plus faible. On peut donc considérer que dans le cas de la fleion, les contraintes tangentielles sont négligeables devant les contraintes normales. Ainsi, les seules contraintes réellement dimensionnantes sont : les contraintes normales en traction/compression les contraintes tangentielles en torsion les contraintes normales en fleion 7 Critère de dimensionnement Pour dimensionner la poutre on utilise donc uniquement le critère sur la contrainte normale, qui est le même que celui déjà évoqué en traction/compression. Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 73

10 5 ollicitation élémentaire : la fleion On peut aussi prendre en compte un critère sur la flèche maimale, qui traduit, moennant un coefficient de sécurité s 0, que la flèche maimale v(n) en un point N doit rester inférieure à une valeur donnée dépendante des conditions d utilisation : s 0 v(n) v lim On pourrait aussi imaginer un critère de rotation maimale de la section droite associé à la grandeur!, c est à dire à dv d = v 0 (). 74 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf

11 8 Ce qu il faut retenir 8 Ce qu il faut retenir Une poutre, ou un tronçon de poutre, est sollicitée en fleion simple dès que le torseur des efforts intérieurs se présente sous la forme suivante : Tint = Ω T! M f! i de plus, T = 0, on parle alors de fleion pure. Le moment fléchissant et l effort tranchant sont liés par la relation : dm f d = T. æ Les contraintes normales se calculent à l aide de : σ ma σ ma æ = M f I où est la distance à la fibre neutre et ZZ I = 2 d section circulaire : I = ºr 4 4 = ºd σ ma -σ ma et rectangulaire : I = bh3 12 L équation de la flèche est : EI v 00 = M f à laquelle s ajoutent les conditions de liaisons. Les contraintes tangentielles sont négligeables devant les contraintes normales. On peut néanmoins les calculer avec : ø = T τ ou ø() = T A() b() I avec A() = Z 1 d τ τ et b() est la largeur de la poutre à la distance de la fibre neutre. Pour dimensionner la poutre on utilise un critère en contrainte (comme celui vu en traction/compression) ou en flèche maimale : s 0 v(n) v lim, s 0 est un coefficient de sécurité supérieur à 1. Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 75

12 5 ollicitation élémentaire : la fleion 76 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf