Chapitre 7 : Régimes sinusoïdaux

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1 Chapitre 7 : Régimes sinusoïdau I / Math pour la physique 1. Trigonométrie 2. Les complees II Généralités 1. Définition a ) amplitude b ) pulsation c ) phase à l origine d ) eercice 2. Valeur moyenne 3. Valeur efficace 4. représentation graphique III Représentation de Fresnel 1. Vecteur tournant 2. Vecteur de Fresnel 3. Eercice IV Représentation complee 1. Définition 2. Représentation 3. Eercices V Etude des circuits linéaires 1. Fréquence 2. loi fondamentale 3. déphasage a ) observation b ) définition c ) eemple d ) avance ou retard e ) simplification M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 1

2 I / Math pour la physique 1. Trigonométrie sin est une fonction périodique de période 2π qui varie entre 1 et 1. Voir doc 1 sin 0 π/4 π/2 π 3π/2 2π π 2π - 1 cos est une fonction périodique de période 2π qui varie entre 1 et 1. sin 0 π/4 π/2 π 3π/2 2π π 2π - 1 On peut retrouver les valeurs de cos et sin sur le cercle trigonométrique. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 2

3 Voir doc 2 Remarque : cos² + sin² = 1 sin(+π/2) = cos 2. Les complees Definition : Un nombre compleez est un nombre faisant intervenir i tel que i²=-1 Remarque : en physique, i est appelé j pour ne pas confondre avec une intensité. On représente un nombre complee Z dans le plan complee : y.j b.j Z ϕ a Z Eemple, placer Z 1 =2+3j et Z 2 =5+5j et Z 3 =[1 ; 90 ] M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 3

4 Ecritures écriture arithmétique : Z= a + j.b où a est la partie réelle et b la partie imaginaire du nombre complee écriture polaire : Z= [ Z ; ϕ ] où Z est le module et ϕ l argument du nombre complee Relations de passages passage de l écriture arithmétique à l écriture polaire Z= a ² + b² ϕ= arctan b/a c est à dire tanϕ=b/a passage de l écriture polaire à l écriture arithmétique a= Z.sinϕ b= Z.cosϕ Eemple, donner Z 1 =2+3j en polaire ; Z 2 =[7,07 ; 45 ] en algébrique. Opérations addition / soustraction : en algébrique (2+3j)+( 5+5j)=7+8j multiplication / division : en algébrique (2+3j).( 5+5j)= 10+10j+15j+15j² = j 15 = j en polaire [3,6 ; 0,98rad][7,07 ; π/4rad]= = [ 3,6 7,07 ; 0,98+π/4] M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 4

5 II Généralités La grande majorité de l énergie électrique est produite sous forme alternative. Les grandeurs périodiques sont la somme de grandeurs sinusoïdales ( Fourier, décomposition harmonique) 1. Définition Une grandeur alternative sinusoïdale est une grandeur périodique dont la valeur instantanée est une fonction sinusoïdale du temps. u(t)= û.sin(ωt+ϕ) û où t est la variable temps (en s) û est l amplitude de u (en V) ω est la pulsation (en rad.s -1 ) ϕ est la phase à l origine des temps (en rad) θ=ωt+ϕ est la phase de u à l instant t (en rad) - T a) amplitude Voir doc 3 Par définition, le sinus varie entre 1 et 1 ; donc u varie entre -û et û. L amplitude d une grandeur sinusoïdale est sa valeur maimale, appelée aussi, valeur crête : c est û. b) pulsation ω en radian par seconde : rad.s -1 ( car ωt est en radian) on montre que ωt=2π où T est la période du signal (en s) or T=1/f donc ω=2π/t=2πf T en s ; f en Hz ; ω en rad.s -1 c) phase à l origine Voir doc 4 A chaque instant t correspond un angle (car ωt en rad), on l appelle phase θ. ϕ est la phase de u(t) quand t=0s. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 5

6 Rq : quand t = 0s ; u(t) = û.sin ϕ Eemples : si ϕ = 0 ; u(t=0) = 0 si ϕ = π/4 ; u(t=0) = 0.7 û si ϕ = π/3 ; u(t=0) = 0.87 û si ϕ = π/2 ; u(t=0) = û Choi arbitraire donc ϕ dépend de l observateur ( contrairement à l amplitude, pulsation, fréquence qui sont intrinsèques au signal ). Comment lire ϕ sur le graph? C est le décalage entre le «départ» de la sinusoïde ( ϕ>0 si le départ est avant t=0s. ϕ<0 si le départ est après t=0s. Phase à l origine ) et l instant t=0s. û T T T π/ π/ 2 t θ/ ω ϕ=0 u=û.sin(ωt) - û t θ/ω ϕ=π/2 u=û.sin(ωt+π/2) - û t θ/ω ϕ=π u=û.sin(ωt+π) M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 6 -

7 d) eercice on a une tension sinusoïdale d amplitude 3V et de période T=0,1s. 1. calculer sa fréquence f 2. calculer sa pulsation ω 3. représenter u(t) avec ϕ=0 4. représenter u(t) avec ϕ=π/2 1. f=1/0,1=10hz 2. ω=2πf=20π=62.8 rad.s Remarque: sin(ωt+π/2) = cos(ωt) M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 7

8 2. valeur moyenne la valeur moyenne d une grandeur sinusoïdale est nulle puisqu elle est alternative. û A 1 A 1 T Voir doc 5 - û Rq : 2V u=2v 3. Valeur efficace On démontre que la valeur efficace U peut s eprimer en fonction de l amplitude û : U= u ² = û U= û 2 2 Démo : Or D où u=û.sin(ωt+ϕ) donc u²=û².sin²(ωt+ϕ) sin²θ= 1 cos 2 2θ u²=û². 1 cos2( ωt+ ϕ) 2 2 Donc u²= û ) 2 ² cos2( 2 ² û ω t + ϕ Donc u²= û² -0 2 Donc u= û² = û 2 2 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 8

9 4. Représentation graphique Représenter u 1 (t)=4 2 sinωt u 2 (t)=3 2 sin(ωt + π/3) u 1 (t) + u 2 (t) Calcul très laborieu : on introduit un nouvel outil : III Représentation de Fresnel 1. Vecteur tournant Voir doc 6 A l epression et à la représentation cartésienne, on peut associer un vecteur tournant à la vitesse angulaire ω. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 9

10 2. Vecteur de Fresnel u(t)= U 2 sin( ωt + ϕ ) une grandeur sinusoïdale est caractérisée par son amplitude ( = valeur efficace 2 ) et sa phase θ = ωt + ϕ on associe donc à cette tension un vecteur tournant à ω et on le représente à l instant t=0s. on a : norme du vecteur valeur efficace angle entre vecteur et OX phase à l origine ϕ U U ϕ O X 3. Eercice 1 Représenter par leur vecteur de Fresnel ces deu tensions : u 1 (t)= 2 2 sin( ωt + π/4 ) u 2 (t)= 3 2 sin( ωt - π/6 ) U 1 O X 2 Représenter les courants : i 1 (t)= 3 2 sin( ωt + π/2 ) i 2 (t)= 2 sin( ωt ) I 1 I 2 O X 3 D après leurs vecteurs de Fresnel, donner l epression de ces deu tensions: O U 4 X u 3 (t)= 3 2 sin( ωt - π/4 ) u 4 (t)= 2 2 sin( ωt + π/4 ) U 3 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 10

11 Résolution des problèmes, uniquement graphique, donc nouvel outil encore plus performant : IV Représentation complee 1. Définition A une grandeur sinusoïdale u, on associe une grandeur complee U On a module U de U valeur efficace U de u(t) argument ϕ de U phase à l origine ϕ de u(t) 2. Représentation y.j U= a ² + b² ϕ=arctan b/a 3. Eercice B=sinϕ U ϕ u U a=ucosϕ 1 Donner l écriture complee de ces deu tensions u 1 (t)= 2 2 sin( ωt + π/4 ) U 1 = [2 ;π/4]=2cosπ/4+2jsinπ/4= j u 2 (t)= 3 2 sin( ωt - π/6 ) = [3 ;-π/6]=3cos-π/6+3jsin-π/6=3 3/2 3/2j = 2,6 1,5 j 2 De même pour ces courants : i 1 (t)= 3 2 sin( ωt + π/2 ) I 1 = [ 3 ; π/2 ] = 3j i 2 (t)= 2 sin( ωt ) I 2 = [ 1 ;0 ] = 1 3 D après leurs formes complees, donner l epression de ces deu tensions: U 3 = [ 3 ; -π/4 ] u 3 (t)= 3 2 sin( ωt - π/4 ) U 3 = [ 2 ; π/4 ] u 4 (t)= 2 2 sin( ωt + π/4 ) M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 11

12 V Etude des circuits linéaires 1. fréquence Quand un circuit ne comporte que des éléments linéaires et est alimenté par une tension sinusoïdale u de fréquence f, tous les courants et toutes les tensions de ce circuit ont la même fréquence. On peut alors utiliser la représentation de Fresnel puisque tous les vecteurs tournent à la même vitesse ω. On peut également utiliser la représentation complee. 2. Lois fondamentales Comme en continu, les lois des nœuds, des mailles et d Ohm s appliquent au valeurs instantanées. Eemple1 : Connaissant i 1 (t)= 4 2 sin( 100π.t + π/6 ) et i 2 (t)= 6 2 sin( 100π.t + π/3 ), donner l epression de i 3 (t). i 1 i 2 On utilise les deu méthodes : Fresnel et les Complees i 3 Fresnel : on dessine i 1 et i 2 et on les ajoute on représente i 1 par I 1 Norme : 4 Angle : π/6 I 2 Norme : 6 Angle : π/3 Or la loi des nœuds donne : i 3 = i 1 + i 2 I 2 I 3 + O I 1 X On mesure I 3 = 9,6 A et (OX, I 3 )= 48 =0,84 rad Conclusion : i 3 (t)= 9,6 2 sin( 100π.t + 0,84 ) M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 12

13 En complee : I 1 = [ 4 ; π/6 ] donc a = 4cos(π/6) = 4 3/2 = 4 0,866 = 3,46 b = 4sin(π/6) = 4 0,5 = 2 donc I 1 =a+bj=3,46+2j de même I 2 = [6 ; π/3] = 3+5,20j car a = 6cos(π/3) = =3 b = 6sin(π/3) = 6 3/2 = 6 0,866 = 5,20 d où loi des nœuds : I 3 = I 1 + I 2 = 3,46+2j + 3+5,20j = 6,46 + 7,20j I 3 = [ 9,7 ; 0,84 rad ] car I 3 = (6,46²+7,2²) et ϕ i3 =arctan(7,20/6,46) Eemple2 : i 1 i 3 u GBF u 1 i 2 u 3 u4 u 2 1 Déterminer l epression de i 1 (t) sachant que i 2 =0,05 2sin628t et i 3 =0,03 2sin(628t+π/3) 2 Déterminer u(t) sachant que u 1 =3sin(628t+0,5) et u 2 =4sin(628t-1,2) 1 Fresnel : on dessine i 2 et i 3 et on les ajoute on représente i 2 par I 2 Norme : 0.05 Angle : 0 I 3 Norme : 0.03 Angle : π/3 + Or la loi des nœuds donne : i 1 = i 2 + i 3 I 3 I 1 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) O X 13 I 2

14 On mesure I 1 = 0.07 A et (OX, I 1 )= 20 =0,4 rad Conclusion : i 1 (t)= sin( 100π.t + 0,4 ) En complee : I 2 = (0,05 ; 0) = 0,05 et I 3 = (0,03; π/3)= j donc I 1 = I 2 + I 3 = 0, j = ( 0,07 ; 0,38 ) i 1 =0,07 2sin(628t+0,4) 2 U = U 1 + = ( 3/ 2 ; 0,5 ) + ( 4/ 2 ; -1,2 ) = j = (3.3 ; 0,51 ) 3. Déphasage a) observation Lorsqu on observe à l oscilloscope deu tensions sur un même circuit, on constate qu elles sont décalées : on dit qu il eiste une différence de phase ou déphasage. Voie 1 Voie 2 Voir doc 7 GBF R C R= C= u 2 + u 1 ϕ U 1 ϕ 2 O ϕ 1 X M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 14

15 b) définition Soient deu tensions de même fréquence u 1 (t)= U 1 2 sin( ωt + ϕ 1 ) u 2 (t)= 2 sin( ωt + ϕ 2 ) on les représente par leurs vecteurs de Fresnel : U 1 (U 1 ; ϕ 1 ) et ( ; ϕ 2 ) Les vecteurs tournent à la même vitesse angulaire ω donc on a toujours : (U 1 ; ) = ϕ = ϕ 2 -ϕ 1. + Déphasage de u 2 par rapport à u 1 : ϕ u2/u1 = ϕ 2 -ϕ 1. ϕ 2 ϕ U 1 O ϕ 1 X c) eemple on a un courant et une tension de pulsation ω u(t)= U 2 sin( ωt + ϕ u ) i(t)= I 2 sin( ωt + ϕ i ) donc, le déphasage de u par rapport à I est l angle ( I, U ) : ϕ = ϕ u - ϕ i I + ϕ U On part de i, on va à u ϕ i O ϕ u X M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 15

16 d) avance ou retard si ϕ 2 > ϕ 1 alors u 2 est en avance sur u 1 si ϕ 2 < ϕ 1 alors u 2 est en retard sur u 1 Voir doc 8 comment savoir qui est en avance sur la courbe? 1 ere méthode : on cherche le passage par zéro par valeurs croissantes d une des sinusoïdes : - si à cet instant, l autre sinusoïde est positive, elle est en avance sur la première - si elle est négative, elle est en retard. 2 eme méthode : la première courbe qui atteint son maimum est en avance sur l autre cas particuliers : ϕ u2/u1 = ϕ 2 -ϕ 1 = 0 rad u 1 et u 2 sont en phase ϕ u2/u1 = ϕ 2 -ϕ 1 = π rad u 1 et u 2 sont en opposition de phase ϕ u2/u1 = ϕ 2 -ϕ 1 = π/2 rad u 1 est en quadrature retard par rapport à u 2. ϕ u2/u1 = ϕ 2 -ϕ 1 = -π/2 rad u 1 est en quadrature avance par rapport à u 2. e) Simplification on prend u ou i comme origine des phases M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 16

17 Si : φ 2 > φ Cours 1 alors u 7 2 en avance sur u 1 u 2 u 1 U 1 φ 2 φ 1 Si : φ 2 > φ 1 alors u 2 en retard sur u 1 u 2 U 1 u 1 φ 1 φ 2 Si : φ 2 = φ 1 alors u 2 et u 1 sont en phase u 2 U 1 u 1 φ 1 φ 2 Si : φ 2 = φ 1 alors u 2 et u 1 sont en opposition de phase u 2 u 1 φ 1 φ 2 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) U 17 1

18 Docs élève M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 18

19 doc 1 sin est une fonction périodique de période 2π qui varie entre 1 et 1. 0 π/4 π/2 π 3π/2 2π sin 1 π 2π - 1 cos est une fonction périodique de période 2π qui varie entre 1 et 1. 0 π/4 π/2 π 3π/2 2π sin 1 π 2π - 1 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 19

20 doc 2 doc 3 û T - û M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 20

21 doc 4 Phase à l origine û T/4 T/2 T π/2ω π/ω 2π/ω t θ/ω - û û t θ/ω - û û t θ/ω - û M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 21

22 doc 5 û A 1 A 1 T - û doc 6 doc 7 u 2 + u 1 ϕ U 1 ϕ 2 O ϕ 1 X M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 22

23 Si : φ 2 > φ Cours 1 alors u 7 2 en avance sur u 1 doc 8 u 2 u 1 U 1 φ 2 φ 1 Si : φ 2 > φ 1 alors u 2 en retard sur u 1 u 2 U 1 u 1 φ 1 φ 2 Si : φ 2 = φ 1 alors u 2 et u 1 sont en phase u 2 U 1 u 1 φ 1 φ 2 Si : φ 2 = φ 1 alors u 2 et u 1 sont en opposition de phase u 2 u 1 φ 1 φ 2 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) U 23 1