LES SYSTEMES LOGIQUES COMBINATOIRES

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1 ciences e Technologies de l Indusrie e du Développemen Durable La chaine d informaion numérique 1 ère TI2D CI10 : Validaion de la commande d un sysème Cours ET 1. Logique combinaoire LE YTEME LOGIQUE COMBINATOIRE La résoluion des problèmes de logique combinaoire indui de connaîre l'algèbre de Boole. Ce algèbre perme de raduire des signaux (ou ou rien) en expressions mahémaiques en remplaçan chaque signal élémenaire par des variables logiques e leur raiemen par des foncions logiques. Ces foncions seron appelées foncions combinaoires e l'éude de la logique combinaoire nous conduira à réaliser des codeurs, des ranscodeurs e même des circuis arihméiques. Une fois assemblées, ces foncions combinaoires simples donneron naissance à des circuis réalisan des opéraions rès complexes uilisées dans l'élaboraion des processeurs, DP, AIC, FPGA... En abordan le concep de logique combinaoire avec l'algèbre de Boole comme ouil mahémaique, nous éudions les principales combinaisons logiques souven uilisées à des fins echniques. Les différenes foncions logiques de base son décries sous cinq formes : - Une représenaion logique : symbole logique :logigramme - Une représenaion arihméique : able de vérié, - Une représenaion algébrique : équaion de l'algèbre de Boole, - Une représenaion emporelle : chronogramme, - Une représenaion élecrique : schéma développé à conacs. De nombreux ableaux e peis schémas accompagnen chaque chapire. Les propriéés de l'algèbre de Boole (associaivié, commuaivié...), les lois de DE MORGAN, nous permerons de résoudre les problèmes de logique combinaoire e d'éudier les différenes soluions combinaoires e echnologiques. 2. Variable logique George Boole, mahémaicien, logicien e un peu philosophe es né le 2 novembre 1815 à Lincoln, dans le Lincolnshire (Angleerre).C'es le père fondaeur de la logique moderne. En 1854 il réussi là où Leibniz avai échoué : allier en un même langage mahémaique e symbolisme. Le bu : raduire des idées e des conceps en équaions, leur appliquer ceraines lois e reraduire le résula en ermes logiques. Pour cela, il crée une algèbre binaire n'accepan que deux valeurs numériques : 0 e 1.L'algèbre booléenne ou algèbre de BOOLE éai née. Les ravaux héoriques de Boole, rouveron des applicaions primordiales dans des domaines aussi divers que les sysèmes informaiques, les circuis élecriques e éléphoniques, l'auomaisme... CI10 Cours logique combinaoire E.docx Lycée Jules Ferry Versailles 1/8

2 1 ère TI2D LOGIQUE COMBINATOIRE Cours 3. Noion de base De nombreux disposiifs élecroniques, élecromécaniques (mécanique, élecrique, pneumaique, ec...) foncionnemen en TOUT ou RIEN. Ceci sous-enend qu'ils peuven prendre 2 éas. Exemple : Arrê marche Ouver fermé enclenché déclenché avan arrière vrai faux conducion blocage Pour ces raisons, il es beaucoup plus avanageux d'employer un sysème mahémaique n'uilisan que 2 valeurs numériques (exemple O ou 1) pour éudier les condiions de foncionnemen de ces disposiifs. C'es le sysème BINAIRE. L'ensemble des règles mahémaiques qui pourron êre uilisées avec des variables ne pouvan prendre que 2 valeurs possibles représene : L algèbre de Boole Noion de variable binaire La variable logique es une grandeur qui peu prendre 2 valeurs qui son repérées habiuellemen 0 ou 1. Cee variable es die binaire e se noe par une lere comme en algèbre. Exemple : a b x Physiquemen, cee variable peu correspondre à l'un des disposiifs ciés ci-dessus don les 2 éas représenen les 2 valeurs possibles que peu prendre cee variable. D'une façon générale, ces 2 éas son repérés H e L e on aribue : - A l'éa H (high) la valeur 1, - A l'éa L (low) la valeur 0. On rouvera parfois cee noaion du zéro : Ø pour évier la confusion avec la lere O. La variable binaire es aussi appelée variable booléenne Noion de foncion logique Une foncion logique es le résula de la combinaison (logique combinaoire) d'une ou plusieurs variables logiques reliées enre elles par des opéraions mahémaiques BOOLEENNE bien définies : la valeur résulane de cee foncion dépend de la valeur des variables logiques, mais de oue façon cee résulane ne peu êre que O ou 1.Une foncion logique possède donc une ou des variables logiques d'enrée e une variable logique de sorie. Cee foncion logique se noe par une lere comme en algèbre. Exemple : B F X CI10 Cours logique combinaoire E.docx Lycée Jules Ferry Versailles 2/8

3 1 ère TI2D LOGIQUE COMBINATOIRE Cours 3.3. Noion de logique combinaoire La logique combinaoire, à l'aide de foncions logiques, perme la consrucion d'un sysème combinaoire. Un sysème es di combinaoire quand il es de ype boucle ouvere, c'es-à-dire qu'aucune des sories n'es bouclée en an qu'enrée. A chaque combinaison d'enrée correspond une seule sorie. Les sysèmes combinaoires son les plus simples e peuven se représener par une able de vérié indiquan pour chaque éa d'enrée quel es l'éa de sorie correspondan. 4. Idenificaion de la foncion réalisée Les circuis de logique combinaoire réalisen la foncion TRAITER de la chaîne d'informaion : 4.1. Variables Booléennes Une variable logique (die booléenne) ne peu prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Voici un exemple : Récepeur (Lampe) L = 1 Lampe allumée L = 0 Lampe éeine CI10 Cours logique combinaoire E.docx Lycée Jules Ferry Versailles 3/8

4 1 ère TI2D LOGIQUE COMBINATOIRE Cours Conac a = 0 Pas d acion a = 1 Acion 4.2. Table de vérié C'es un ableau qui donne l'éa de la sorie en foncion des différenes combinaisons d'éas de ses variables d'enrée. Chacune des combinaisons des variables d'enrée es écrie sur une ligne différene. i n défini le nombre de variables d'enrée, la able de vérié comporera 2 n combinaisons différenes. Exemple : Enrées orie X Y Z Chronogrammes + X e Y son les variables d enrée es la variable de sorie i n = 2 La able de vérié compore 2n=4 combinaisons soi 4. Un chronogramme es une représenaion graphique qui perme de visualiser, en foncion du emps, l'éa de la sorie correspondan aux différenes combinaisons d'éas logiques des enrées 5. Les opéraeurs logiques 5.1. Opéraeur OUI ou égalié chéma à conacs ymbole AFNOR ymbole américain Table de vérié Equaion e e La lampe es allumée si e es acionné e e = e ( égal e) es idenique à e CI10 Cours logique combinaoire E.docx Lycée Jules Ferry Versailles 4/8

5 1 ère TI2D LOGIQUE COMBINATOIRE Cours 5.2. Opéraeur NON ou complémenaion chéma à conacs ymbole AFNOR ymbole américain Table de vérié Equaion La lampe es allumée si e n es pas acionné 5.3. Opéraeur ET (AND) e = /e ( égal e barre) es le complémen de e chéma à conacs ymbole AFNOR ymbole américain Table de vérié Equaion e La lampe es allumée si e son acionnés e e =. ( égal e ) Un «zéro» en enrée force un «zéro» en sorie 5.4. Opéraeur OU (OR) chéma à conacs ymbole AFNOR ymbole américain Table de vérié Equaion La lampe es éeine si e ne son pas acionnés = + ( égal ou ) Un «un» en enrée force un «un» en sorie CI10 Cours logique combinaoire E.docx Lycée Jules Ferry Versailles 5/8

6 1 ère TI2D LOGIQUE COMBINATOIRE Cours 5.5. Opéraeur NON ET (NAND) chéma à conacs ymbole AFNOR ymbole américain Table de vérié Equaion La lampe es éeine si e son acionnés = /(.) = / + / ( égal e le ou barre) Un «zéro» en enrée force un «un» en sorie 5.6. Opéraeur NON OU (NOR) chéma à conacs ymbole AFNOR ymbole américain Table de vérié Equaion La lampe es allumée si e ne son pas acionnés = /. / = /(+) ( égal ou le ou barre) Un «un» en enrée force un «zéro» en sorie CI10 Cours logique combinaoire E.docx Lycée Jules Ferry Versailles 6/8

7 1 ère TI2D LOGIQUE COMBINATOIRE Cours 5.7. Opéraeur OU exclusif (XOR) chéma à conacs ymbole AFNOR ymbole américain Table de vérié Equaion La lampe es allumée si a ou b es acionné = = /. +./ ( égal e barre ou barre e ) La sorie es à «un» si l une des enrées es à «un» 5.8. Opéraeur Idenié (XNOR) chéma à conacs ymbole AFNOR ymbole américain Table de vérié Equaion La lampe es allumée si a ou b es acionné = /( ) =. + /./ ( égal e ou barre e barre) La sorie es à «un» si les deux enrées on le même éa logique CI10 Cours logique combinaoire E.docx Lycée Jules Ferry Versailles 7/8

8 1 ère TI2D LOGIQUE COMBINATOIRE Cours 6. L algebre de boole L'algèbre de Boole défini les opéraions mahémaiques poran sur des variables logiques. Elle observe la priorié des opéraions avec par ordre décroissan de priorié : - La foncion NON, - La foncion ET, - La foncion OU. Les règles suivanes son uilisées pour simplifier les équaions logiques 6.1. Propriéés poran sur une variable Règle Opéraeur OU Opéraeur ET Involuion a =a Idempoence a + a = a a a =a Complémenarié a + a =1 a a =0 Elémen neure a + 0 =a a 1=a Elémen absorban a + 1=1 a 0 = Propriéés poran sur plusieurs variables Règle Opéraeur OU Opéraeur ET Commuaivié a + b =b + a a b =b. a Associaivié a + ( b + c) =(a+b)+c a ( b c) = (a.b).c Disribuivié a + b c =(a+b)(a+c) a ( b + c) =(a.b)+(a.c) Absorpion a + a b =a a ( a + b) =a Absorpion a + a b =a+b a ( a + b) =a.b 6.3. Théorème de DE MORGAN Le complémen d'une somme es égal au produi des complémens des ermes de la somme : = Le complémen d'un produi es égal à la somme des complémens des ermes du produi : = CI10 Cours logique combinaoire E.docx Lycée Jules Ferry Versailles 8/8

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