Chapitre 6 Thalès _ Agrandissements-Réductions
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- Émile Desjardins
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1 3ème Chapitre 6 Thalès _ Agrandissements-Réductions I_ Théorème de Thalès A. Configurations de Thalès B. Enoncé du théorème de Thalès Si, dans le triangle ABC, N (AB). P (AC). (NP) // (BC) alors, d'après le théorème de Thalès, on a l'égalité de rapports suivante: AN AB = AP AC = NP BC ou AB AN = AC AP = BC NP C. Utilisation du théorème de Thalès Le théorème de Thalès sert à déterminer des longueurs. Exercice type 1 (EF) // (TK). SE = 3 cm ; SF = 4,3 cm ; SK = 9 cm et TK = 6 cm. Déterminons ST, EF et FT.
2 Dans le triangle STK: E (SK). F (ST). (EF) // (TK). Utilisons le théorème de Thalès. SE SK = SF ST = EF KT d'où 3 9 = 4,3 ST = EF 6 Rédaction type Calcul de ST: ST = 9 4,3 = 12,9 3 La longueur du segment [ST] est de 12,9 cm. Calcul de EF: EF = 6 3 = 2 9 La longueur du segment [EF] est de 2 cm. Calcul de FT: S [FT] donc FT = FS + ST = 4,3 + 12,9 = 17,2 La longueur du segment [FT] est de 17,2 cm. Exercice type 2 (UV) // (ST). US = 3 cm ; UV = 5 cm ; RV = 7 cm et VT = 4 cm. Déterminons ST et RU. Dans le triangle RST: U (RS). V (RT). (UV) // (ST). Utilisons le théorème de Thalès. RU RS = RV RT = UV ST Rédaction type or V [RT] donc RT = RV + VT = = 11 La longueur du segment [RT] est de 1 cm. U [RS] donc RS = RU + US = RU + 3 d'où RU RU 3 = 7 11 = 5 ST
3 Calcul de ST: ST = = ,9 La longueur du segment [ST] est de 55 7 cm soit 7,9 cm à 1 mm près. Calcul de RU : 11 RU = 7 (RU + 3) on applique l'égalité des produits en croix 11 RU = 7 RU on développe 11RU 7RU = 7RU RU on isole d'un même côté les termes où figure l'inconnue 4RU = RU = on multiplie chaque côté par l'inverse du nombre qui multiplie l'inconnue RU = 21 4 = 5,25 La longueur du segment [RU] est de 5,25 cm. II_ Théorème réciproque de Thalès A. Enoncé du théorème réciproque de Thalès Si, dans le triangle EFG, A (EF). B (EG). La position du point A par rapport aux points E et F est la même que celle du point B par rapport aux points E et G. EA EF = EB EG alors, d'après le théorème réciproque de Thalès: les droites (AB) et (FG) sont parallèles. B. Utilisation du théorème réciproque de Thalès Le théorème réciproque de Thalès sert à prouver que des droites sont parallèles.
4 1. Cas où les droites sont effectivement parallèles Exercice type 1 MU = 4 cm ; MV = 12 cm ; MS = 5 cm et VT = 3 cm. Prouvons que les droites (UV) et (ST) sont parallèles. Calculs préliminaires: MU MS = 4 5 = 0,8 V [MT] donc MT = MV + VT = = 15 La longueur du segment [VT] est de 15 cm. MV MT = = 4 5 = 0,8 Rédaction type On constate que MU MS = MV MT Dans le triangle MST: U (MS). V (MT). La position du point U par rapport aux points M et S est la même que celle du point V par rapport aux points M et T. MU MS = MV MT Utilisons le théorème réciproque de Thalès. (UV) // (ST). Exercice type 2 PA = 7 cm ; PB = 9,1 cm ; PK = 9 cm et BL = 20,8 cm. Prouvons que les droites (AB) et (KL) sont parallèles. Calculs préliminaires: PA PK = 7 9 = 7 11,7 9 11,7 = 81,9 105,3 P [BL] donc PL = BL PB = 20,8 9,1 = 11,7 La longueur du segment [PL] est de 11,7 cm. PB PL = 9,1 11,7 = 9,1 9 11,7 9 = 81,9 105,3 Rédaction type On constate que PA PK = PB PL
5 Dans le triangle PKL: A (PK). B (PL). La position du point A par rapport aux points P et K est la même que celle du point B par rapport aux points P et L. PA PK = PB PL Utilisons le théorème réciproque de Thalès. (AB) // (KL). 2. Cas où les droites ne sont pas parallèles Exercice type AB = 15 cm ; CN = 8 cm ; AM = 24 cm et AC = 12 cm. Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles? Rédaction type Calculs préliminaires: AB AM = = 0,625 C [AN] donc AN = AC + CN = = 20 La longueur du segment [AN] est de 20 cm. AC AN = = 0,6 On constate que AB AM AC AN Dans le triangle ABC: B (AM). C (AN). La position du point B par rapport aux points A et M est la même que celle du point C par rapport aux points A et N. AB AM AC AN Utilisons le théorème de Thalès. Les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
6 3. Justification de la nécessité d'avoir les points alignés dans le bon ordre AB = 15 cm ; CN = 8 cm ; AM = 24 cm et AC = 12 cm. O S OQ = 3 12 = 1 4 O R O P = 2 8 = 1 4 on constate que O S OQ = O R O P Nous avons: Dans le triangle OPQ: R (OP). S (OQ). O S OQ = O R O P. mais la position du point R par rapport aux points O et P n'est pas la même que celle du point S par rapport aux points O et Q. Ici, les droites (RS) et (PQ) ne sont pas parallèles. III_ Partage d'un segment ou d'une demi-droite Exercice type 1 On considère un segment [AB]. On veut construire, uniquement à l'aide de la règle non graduée et du compas, le point M du segment [AB] tel que AM = 5 7 AB. a) Construction: On construit une demi-droite d'origine A distincte de la demi-droite [AB). A l'aide du compas, on gradue cette demi-droite. Au bout de la cinquième graduation, on place le point M' qui correspondra à M et au bout du septième, on place le point B' qui correspondra au point B. On trace le segment [BB'] puis la droite parallèle au segment [BB'] passant par M'. Cette droite coupe le segment [AB] en M.
7 b) Justification de la construction: Dans le triangle ABB': M (AB). M' (AB'). (MM') // (BB'). Utilisons le théorème de Thalès. AM AB = AM ' AB' = MM ' BB' or, d'après la graduation mise en place, AM ' AB' donc AM AB = 5 7 AM AB AB = 5 7 AB = 5 7 d'où AM = 5 7 AB Exercice type 2 On considère un segment [EF]. On veut construire, uniquement à l'aide de la règle non graduée et du compas, le point P de la demi-droite [EF) tel que EP = 11 6 EF. a) Construction: On construit une demi-droite d'origine E distincte de la demi-droite [EF). A l'aide du compas, on gradue cette demi-droite. Au bout de la onzième graduation, on place le point P' qui correspondra à P et au bout du sixième, on place le point F' qui correspondra au point F. On trace le segment [FF'] puis la droite parallèle au segment [FF'] passant par P'. Cette droite coupe la demi-droite [EF) en P.
8 b) Justification de la construction: Dans le triangle EFF': P (EF). P' (EF'). (PP') // (FF'). Utilisons le théorème de Thalès. EP EF = EP ' EF ' = PP ' FF ' or, d'après la graduation mise en place, EP ' EF ' donc EP EF = 11 6 EP 11 EF = EF 6 EF d'où EP = 11 6 EF = 11 6 IV_ Agrandissements - réductions A. Définition On dit qu'une figure ou un solide subit un agrandissement ou une réduction de rapport k si toutes ses longueurs sont multipliées par k. Si k > 1, on est dans le cas d'un agrandissement. Si k < 1, on est dans le cas d'une réduction. Exemples: 1. Sur la figure ci-contre, AB'C'D' est un agrandissement de ABCD. Le rapport d'agrandissement est: k = AB' AB = AD ' AD = B' C ' BC = C' D ' CD = 3 1 = 3 ABCD est donc une réduction de AB'C'D' de rapport Aire du carré ABCD = AB AD = 1 1 =1 Aire du carré AB'C'D' = AB' AD' = 3 3 = 9 Aire du carré ABCD = AB AD = 1 3 AB' 1 3 AD' = 1 2 Aire de AB'C'D' 3 AB AB' = 1 3 Aire du carré AB'C'D' = 3 AB 3 AD = 3 2 Aire de ABCD
9 2. Sur la figure ci-contre: EF'G'H'I'J'K'L' est un agrandissement de EFGHIJKL. Le rapport d'agrandissement est: k = EF' EF = G ' H' GH = G ' K ' GK =... = 2 1 = 2 EFGHIJKL est donc une réduction de EF'G'H'I'J'K'L' de rapport EF = 1 EF' 2 Volume du cube EFGHIJKL = EF EH EI = = 1 Volume du cube EF'G'H'I'J'K'L' = EF' EH' EI' = = 8 = = 8 = 2 EF 2 EH 2 EI = 2 3 Volume de EFGHIJKL Volume du cube EFGHIJKL = EF EH EI = 1 2 EF' 1 2 EF' 1 2 EI' = Volume de EF'G'H'I'J'K'L' Volume du cube EF'G'H'I'J'K'L' = EF' EH' EI' = 2 EF 2 EH 2 EI = 2 3 Volume de EFGHIJKL B. Propriétés Les agrandissements réductions de rapport k multiplient: les longueurs par k. les aires par k 2. Les volumes par k 3. Exercices types: 1. Sur la figure ci-contre plaçons les points F' et G' tels que le triangle EF'G' soit une réduction du triangle EFG de rapport 1 2. a) Déterminons EF'. b) Déterminons l'aire de EFG puis celle de EF'G'. a) Le segment [EF'] est une réduction du segment [EF] de rapport 1 2. Propriété: Les réductions de rapport k multiplient les longueurs par k. Conclusion: EF' = 1 2 EF = = 2 La longueur du segment [EF'] est de 2 cm.
10 b) Aire du triangle EFG = EF EG = L'aire du triangle EFG est de 12 cm 2. = 24 2 = 12 Le triangle EF'G' est une réduction du triangle EFG de rapport 1 2. Propriété: Les réductions de rapport k multiplient les aires par k 2. Conclusion: Aire du triangle EF'G' = 1 2 L'aire du triangle EF'G' est de 3 cm On considère la figure ci-contre. On donne SO = 9 cm, OA = 6 cm et SI = 3 cm. a) Déterminons le volume du cône C. 2 Aire du triangle EFG = = 3 Donnons en la valeur exacte et une valeur arrondie à 1 mm 3 près. b) Déterminons le rapport de réduction permettant de passer du cône C au cône C'. c) Déterminons le volume du cône C'. Donnons en la valeur exacte et une valeur arrondie à 1 mm 3 près. C C' a) Volume du cône C = 1 rayon du cône C hauteur du cône C 3 = 1 3 OA2 SO = = = ,292 Le volume du cône C est de 108 cm 3, soit 339,292 cm 3 à 1 mm 3 près. b) Le cône C' est une réduction du cône C de rapport SI SO = 3 9 = 1 3. c) Le cône C' est une réduction du cône C de rapport 1 3. Propriété: Les réductions de rapport k multiplient les volumes par k 3. Conclusion: Volume du cône C = = = 4 12,566 Volume du cône C' Le volume du cône C' est de 4 cm 3, soit 12,566 cm 3 à 1 mm 3 près.
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