Fonctions, variations

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1 FONCTIONS Fonctions, variations Les savoir-faire du chapitre. Résoudre graphiquement des équations ou des inéquations.. Déterminer graphiquement le tableau signes d une fonction.. Dresser le tableau de variations d une fonction à partir de sa courbe représentative..3 Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations.. Utiliser un tableau de variations ou une courbe..5 Maîtriser le calcul littéral. Le problème de Nabolos Erickos a placé un trésor (T) dans son champ rectangulaire (ABCD) à l endroit indiqué sur la figure et il souhaite faire deviner son emplacement à Nabolos (N). Celui-ci aura uniquement le droit de se déplacer le long de la clôture (pointillés) du champ de A à C en passant par B et sans faire marche arrière. Erickos lui dira alors au fur et à mesure s il "chauffe" (autrement dit s il se rapproche du trésor donc si la distance NT diminue) ou s il "refroidit" (autrement dit s il s éloigne du trésor donc si la distance NT augmente). Aidez Erickos à compléter le tableau suivant avec des flèches qui montent ou qui descendent selon l évolution de la distance NT. D A 6 T C 5 B Compteur de mètres parcourus par Nabolos Variations de la distance NT 7

2 S entraîner Savoir-faire - Méthodes. Résoudre graphiquement des équations ou des inéquations. Pour résoudre une équation du type f() = k, on trace la droite d équation y = k. Les abscisses des points d intersections avec la courbe C f sont les solutions de l équation. Pour résoudre une inéquation du type f() > k, on trace la droite d équation y = k. Les abscisses des points de la courbe C f qui se situent au dessus de cette droite sont les solutions de l inéquation. Résoudre graphiquement : f() = f() = f() > f() < C f C g -3 - Résoudre graphiquement : f() < g() f() = g() g() f() Déterminer graphiquement le tableau signes d une fonction. ) Dresser le tableau de signes de f() ci-contre. Signe de f() ) Dresser le tableau de signes g()ci-contre. Signe de g(). Dresser le tableau de variations d une fonction à partir de sa courbe représentative. Dresser le tableau de variations de la fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous Chapitre F. Fonctions, variations

3 .3 Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations. Tracer deu courbes compatibles avec ce tableau de variations. 3 5 f(). Utiliser un tableau de variations ou une courbe. Voici le tableau de variation d une fonction f définie sur l intervalle[ 3 ; 6] : 3 6 f() ) En utilisant le tableau de variations, comparer f(3) et f(). ) Donner le nombre de solutions de l équation f() =, puis celui de l équation f() =. Donner un encadrement pour chacune des ces solutions (on les notera,,...). 3) Résoudre dans [ 3 ; 6] l inéquation f() 3. ) Donner les etréma de la fonction f sur [ 3 ; 6] en précisant en quelles valeurs ils sont atteints..5 Maîtriser le calcul littéral. On considère la fonction g définie sur R par g() = ( 3) 6. Montrer que pour tout réel, g() = ( 3)( ) ( 6) Chapitre F. Fonctions, variations 9

4 Définition Intervalles On considère une fonction d telle que d(3) =. Traduire cette notation en complétant les phrases cidessous :... est l image de a pour image est un antécédent de a pour antécédent(s)... Traduire chaque phrase par une égalité : ) L image de par la fonction f est. ) 8 a pour image 5 par la fonction f. 3) est l image de 5 par la fonction f. ) 7 est un antécédent de par la fonction f. 3 On étudie le processus p qui, à tout entier compris entre et 99, associe son chiffre des dizaines. ) Donner p(). ) Donner le (ou les) antécédent(s) éventuel(s) de par p. 3) Trouver les réels tels que : p() = 3 p(3) = On définit f et g, deu fonctions : f est la fonction qui à un nombre réel associe le nombre obtenu en procédant de la manière suivante : on ajoute au nombre, on élève le résultat obtenu au carré, on retranche 6. De même, on définit la fonction g par le procédé suivant : on retranche 5 au nombre, on prend l inverse du résultat obtenu, on multiplie par. ) Quelle est l image de 3 par f? ) Donner l epression correspondant à f. Ecrire le résultat sous forme développée. 3) Quelle est l image de par g? ) Donner l epression correspondant à g. 5) Quel réel n a pas d image par g? 5 Un club de foot propose des places à e pour les non-abonnés et à e pour les abonnés (achat de la carte d abonnement en début de saison : e). Eprimer en fonction du nombre de match le pri total p na () payé par un non abonné et le pri total p a () payé par un abonné. 6 Compléter à l aide des symboles ou /....] ; [ 3, 7...[ 5; 3, 8]...[; ] 5...] ; [ 6...] ; [...[; [ 7 Traduire par des inégalités l appartenance du nombre à l intervalle donné. ] ; 3] [ 3; [ ] ; [ [ 5; 3] 8 Ecrire sous forme d intervalle l ensemble décrit par les inégalités suivantes : 6 < 9 Ecrire sous la forme d intervalles : ) L ensemble des réels strictement positifs. ) L ensemble des réels strictement compris entre et. 3) L ensemble des réels supérieurs ou égau à. Images et antécédents Calculer f() et f( ) pour la fonction f définie par f() = 3. La fonction m est définie sur R par m() = 3 5. Quel est l antécédent de? Celui de 3? On définit deu fonctions k et l, définies sur R, par : k() = 3 etl() =. ) Déterminer le(s) antécédent(s) de par la fonction k. ) Déterminer le(s) antécédent(s) de 3 par la fonction l. 3) Citer un nombre qui n a pas d antécédent par l. 3 Soit une fonction f définie sur [ ; ] par : f() = 3 3 Avec l aide de la calculatrice, construire un tableau de valeurs de la fonction f avec un pas de,5. Avec l aide de la calculatrice, dresser un tableau de valeurs de la fonction r définie sur [ ; ] par r() = avec un pas de. Chapitre F. Fonctions, variations

5 5 Voici la courbe représentative d une fonction f..5 Par lecture graphique, déterminer : ) l ensemble de définition de f. ) l image de par f ; l image de par f. 3) f(, 5) et f(). ) les antécédents éventuels de,5 par f ; 5) les antécédents éventuels de par f. 6) les antécédents éventuels de par f. Représentations graphiques 6 Fonctions? Parmi les graphiques proposés, lesquels correspondent à la représentation graphique d une fonction? 8 Soit f définie sur[ ; ] qui à associe 5. ) Éditer un tableau de valeurs de f avec la calculatrice. ) Tracer la courbe représentativec f de f. 3) Vérifier le tracé sur l écran de la calculatrice. 9 f est la fonction définie sur R par f() = 3. Les points suivants sont-ils des points de la courbe représentative de f? A( ; 7) B(; 6) C ( 3 ; ) 3 Traduire par des égalités du type y = f() chacune des phrases suivantes. ) C passe par le point de coordonnées( ; 5). ) C coupe l ae des ordonnées au point d ordonnée. 3) La courbe C passe par l origine du repère. ) C coupe l ae des abscisses au point d abscisses et 3. f est la fonction définie sur R par f() = 9 et C sa courbe représentative. ) Le courbe C passe-t-elle par l origine du repère? Justifier. ) B est un point de C et son abscisse est égale à. Quelle est son ordonnée? 3) Eiste-t-il un point de C d ordonnée nulle? a c C f C h b d C g C k f est la fonction définie par : f() = 3. On note C sa courbe représentative. ) Quel est l ensemble ( ) de définition de f? ) Le point A 3 ; est-il un point de C? 3) Nabolos affirme que le point de coordonnées ( 5;, ) est sur C. A-t-il raison? ) En quel(s) point(s), la courbe C coupe-t-elle l ae des abscisses? Lectures graphiques e C m f C p 3. Voici la courbe représentative d une fonction g définie sur [ 5; 5]. Résoudre graphiquement : 7 Tracer la courbe représentative de f définie par f() = ( ) sur R pour entre et. ) g() = ) g() = 3 3) g() = ) g() = Chapitre F. Fonctions, variations

6 . Voici la courbe représentative d une fonction h définie sur [ 5; 5]. Résoudre graphiquement : 8. Voici les courbes représentatives de deu fonctions u et v définies sur [ 5; 5]. Estimer les solutions des (in)équations ci-dessous. ) h() ) h() < 3) h() < ) h() > 5) h() < 6) h() C u C v ) u() = v() ) u() v() 3) u() < v() 5. Dresser le tableau de signes de la fonction représentée dans l eercice précédent. 6.. On donne ci-contre la représentation graphique d une fonction f définie sur [ ; 7]. 9 Fonctions définies sur R. Dresser les tableau de signes des fonctions définies sur R, représentées ci-dessous. 5 ) C f ) Résoudre graphiquement : a) l équation f() = ; d) l inéquation f() ; b) l équation f() = 3 ; e) l inéquation f() <. c) l inéquation f() < ; f) l inéquation f(). ) C g ) Dresser le tableau de signes de la fonction f sur [ ; 7]. C h 6 7. Voici les courbes représentatives sur [ 5; 5] de deu fonctions l et m. Résoudre graphiquement : 3) ) m() > ) l() = m() 3) l() < m() ) l() m() C m C m C l ) Chapitre F. Fonctions, variations

7 Tableau de variations et courbes 33.3 Voici le tableau de variations d une fonction f. 3. Voici la représentation graphique d une fonction f. 3 9 f() 3 Préciser l ensemble de définition de f, puis tracer une courbe susceptible de représenter la fonction f. ) Décrire les variations de la fonction avec des phrases sur son ensemble de définition. ) f est-elle monotone sur[; 3]? et sur [; ]? 3) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur son ensemble de définition. 3. Dresser le tableau de variations de la fonction f à partir de sa représentation graphique cidessous. 3. Voici la représentation graphique d une fonction g. 35. Pour chacune des courbes suivantes, établir le tableau de variations sur sur[ ; ] des fonctions représentées. ) Décrire les variations de la fonction avec des phrases sur son ensemble de définition. a C f b C g ) Dresser le tableau de variation de la fonction g sur son ensemble de définition. 3.3 Voici le tableau de variations d une fonc- tion f. 3 f() c C h d C u ) Quel est l ensemble de définition de la fonction f? ) Tracer deu courbes différentes susceptibles de représenter graphiquement la fonction f dans un même repère. Chapitre F. Fonctions, variations 3

8 36..3 Voici des informations concernant une fonction f définie sur l intervalle[ ; 5]. f( ) = f(5) = f() = 3 f() = f est croissante sur [ ; ] et sur [; 5] ; f est décroissante sur [; ]. Dresser le tableau de variations de f. Tracer une courbe susceptible de représenter graphiquement la fonction f. 37. Proposer un tableau de variations d une fonction f définie sur ] ; 6] telle que : f est croissante sur] ; [ et décroissante sur]; 6] ; f() = et l image de 6 est 6. Utilisation d un tableau de variations 38. Voici un tableau de variations. f() 8 9 ) Quel est l ensemble de définition de la fonction f? ) Déterminer l image de 8 par la fonction f. 3) Peut-on déterminer les antécédents de par f? Même question avec les antécédents de 3? ) Donner les valeurs de f( ) et f(8). 5) Peut-on déterminer le point en lequel la courbe représentative de f coupe l ae des ordonnées? 6) Peut-on déterminer en combien de points la courbe représentant la fonction f coupe l ae des abscisses? 39. Voici le tableau de variations d une fonction f. f() Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie, fausse ou si on ne peut pas conclure. Justifier. ) f(3) < f() 3) f(5, ) < f(5, 9) ) f(, 9) > f(5, 9) ) f(7) > f() 5) La courbe représentative de f coupe deu fois l ae des abscisses. 6) Le point A(; 3) est sur la courbe représentative de f. 5. Voici le tableau de variations d une fonction f. f() 3,5 Comparer si possible les nombres suivants. ) f( ) et f( ) ) f(3, 6) et f(3, 7) ( ) ( ) ( ) 3 7 ) f et f 5) f et f() 3 3) f( ) et f() 6) f( ) et f(3). Soit f une fonction définie sur[ ; 5] telle que : f() ) Encadrer f() quand : 5 3 a) [ ; ] b) [; 5] ) Si [ ; 5], que peut-on dire de f()? 3) A quel intervalle appartient f(3)? ) La courbe représentative de f peut-elle couper l ae des ordonnées au point A(; 3)? Justifier. Etrema. Pour chacune des courbes suivantes, déterminer le maimum et le minimum de f et préciser en quelles valeurs ils sont atteints. a b 6 Chapitre F. Fonctions, variations

9 3. ) Pour chaque tableau de variations ci-dessous, déterminer le maimum et le minimum de la fonction (et préciser en quelles valeurs ils sont atteints). a) b) c) f() g() p() ) Préciser les etrema de la fonction f sur l intervalle [ 5; ]. 3) Préciser les etrema de la fonction g sur l intervalle [ 6; 5]. Calcul littéral.5 Soit f la fonction définie sur R par : f() = ( ) 9 ) Montrer que f() = 8. ) Montrer que f() = ( )( ). 3) Résoudre l équation f() =. 5.5 Soit f la fonction définie sur R par : f() = 3 ) Montrer que f() = ( 6)( 5). ) Montrer que f() = ( )( 3). 3) Résoudre l équation f() =. 6.5 ) On considère A = ( 3)( ) ( 7). Un élève affirme que quel que soit le nombre, la valeur de A est toujours égale à 3. Comment peut-on vérifier que cet élève à raison? ) Soit C = ( 6)( ) et D = ( ). A t-on C = D pour tous les réels? 7.5 ) Développer et réduire D = (a5) (a 5). ) On pose D = Sans utiliser la calculatrice, en se servant de la question., trouver la valeur de D (indiquer les étapes du calcul). Problèmes. Approfondissement 8 On s intéresse à un carré de côté de longueur cm. ) Eprimer son périmètre P en fonction de. ) Eprimer son aire A en fonction de. 3) Eprimer son aire A en fonction de son périmètre P. 9 Voici un programme de calcul : Choisir un nombre entier ; Ajouter 3 ; Multiplier le résultat par 7 ; Ajouter le triple du nombre de départ ; Soustraire au résultat. Clémentos effectue le programme de calcul et trouve 55. Qu en pensez-vous? Argumentez. 5 Il eiste différentes unités de mesure de la température : en France on utilise le degré Celsius ( C), au Etats-Unis on utilise le degré Fahrenheit ( F). Pour passer des degrés Celsius au degrés Fahrenheit, on multiplie le nombre de départ par, 8 et on ajoute 3 au résultat. ) Qu indiquerait un thermomètre en degrés Fahrenheit si on le plonge dans une casserole d eau qui gèle? On rappelle que l eau gèle à C. ) Qu indiquerait un thermomètre en degrés Celsius si on le plonge dans une casserole d eau portée à F? Que se passe t-il? 3) a) Si l on note la température en degré Celsius et f() la température en degré Fahrenheit, eprimer f() en fonction de. b) Quelle est l image de 5 par la fonction f? c) Quel est l antécédent de 5 par la fonction f? d) Traduire en terme de conversion de température la relation f() = 5. Chapitre F. Fonctions, variations 5

10 5 On considère les programmes de calculs suivants : Programme A Choisir un nombre ; Lui ajouter ; Calculer le carré de la somme obtenue ; Soustraire au résultat le carré du nombre de départ. Programme B Choisir un nombre ; Ajouter au double de ce nombre. ) On choisit 5 comme nombre de départ. Quel résultat obtient-on avec chacun des deu programmes? ) Démontrer que, quel que soit le nombre choisi, les résultats obtenus avec les deu programmes sont toujours égau. 5 Un commercial loue un véhicule pendant une journée. Le pri de la location est constitué d une partie fie de 5e et d une partie proportionnelle à la distance parcourue au coût de,e par kilomètre. ) Donner le pri, ene, de la location P() en fonction de la distance parcourue (en km). ) Quelle a été la distance parcourue pour le pri de 95e? 55 Lors d une course en moto-cross, après avoir franchi une rampe, Nabolos a effectué un saut record en moto. Le saut commence dès que Nabolos quitte la rampe. On note t la durée (en secondes) de ce saut. La hauteur (en mètres) est déterminée en fonction de la durée t par la fonction h suivante : h : t ( 5t, 35)(t 3, 7) 5 On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration C d un médicament dans le sang d un patient. La fonction C est représentée ci-dessous..5 Concentration (mg/l) rampe durée t = s hauteur h.5 Temps (h) ) Quelle est la concentration du médicament dans le sang au bout de h? ) Quelle inéquation a pour solution l intervalle de temps où la concentration du médicament est au plus égale à? 3) À quels moments la concentration dans le sang estelle de,5 mg/l? ) Ce médicament est jugé efficace quand la concentration dans le sang dépasse,8 mg/l. Quelle est donc sa période d efficacité? (On arrondira grossièrement.) 53 f est la fonction définie sur R par : f() = 87 ( ) ) Calculer f( ) puis f. 3 ) Rechercher algébriquement les éventuels antécédents de 7 par f. distance horizontale d Voici la courbe représentative de cette fonction h. O Les réponses seront justifiées à l aide de calculs. ) Calculer h(). Que peut-on en déduire? ) Développer et réduire l epression de h. 3) A quelle hauteur se trouve Nabolos lorsqu il quitte la rampe? ) Combien de temps dure le saut de Nabolos? 5) Peut-on dire que le nombre 3,5 est un antécédent du nombre 3,77 par la fonction h? 6) Jérémyos affirme que la hauteur maimale a été obtenue avant,8 seconde. A-t-il raison? 6 Chapitre F. Fonctions, variations

11 56 L unité est le centimètre. 59 Dire si chacune des affirmations suivantes est A E C vraie ou fausse. ) Si f() < f(5), alors f est strictement croissante sur ABC est un triangle rectangle en A, tel que AB = 8 et AC = 6. [; 5]. ) Si pour tout de[; 8], f() >, alors f est croissante La parallèle à la droite (BC) passant par un point D du segment D sur [; 8]. 3) Si f est décroissante sur [ 3; ], alors pour tout de [AB], coupe le segment [AC] en E. [ 3; ], f() f( 3). ) Si f() 3 alors 3 est le maimum de f. On pose AD =. Déterminer la position du point D sur le segment [AB] de sorte que le périmètre f() du triangle ADE soit égal au périmètre g() du trapèze ECBD. 57 On considère le programme de calcul suivant : Choisir un nombre ; Prendre le carré de ce nombre ; Ajouter 6 fois le nombre de départ au résultat précédent ; Afficher le résultat final. On note le nombre choisi au départ. ) Eprimer en fonction de le résultat final obtenu. ) Déterminer tous les nombres que l on peut choisir pour que le résultat final soit. 58 Lors d une activité sportive, il est recommandé de surveiller son rythme cardiaque. Les médecins calculaient autrefois, la fréquence cardiaque maimale recommandée f m eprimée en battements par minute, en soustrayant à l âge a de la personne eprimé en années. ) Traduire cette dernière phrase par une relation mathématique. ) Des recherches récentes ont montré que cette relation devait être légèrement modifiée. La nouvelle relation utilisée par les médecins est : f m (a) = 8, 75a. a) Calculer la fréquence cardiaque maimale à 6 ans recommandée aujourd hui par les médecins. b) Déterminer l âge pour lequel la fréquence cardiaque maimale recommandée est de 8 battements par minute. B 6 On considère une fonction f définie et strictement croissante sur [; ], avec f() = et f(3) = 5. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. ) Le maimum de f est f(). ) f() >. 3) Si [; 3], alors f() [; 5]. ) f() < 5. 6 Soit f une fonction croissante sur [ ; ] et décroissante sur [; 3], telle que f() =. Dresser le tableau de signes de f() sur [ ; 3]. 6 Un producteur de pommes de terre peut en récolter à ce jour 7 kg et les vendre,ele kg. S il attend, sa récolte augmentera de 75 kg par jour, mais le pri baissera de,3epar jour. ) S il vend toute sa production aujourd hui, quel sera son chiffre d affaires? ) On suppose qu il attend 3 jours pour récolter. Calculer la quantité qu il récoltera, le pri du kg de pommes de terre, et en déduire le chiffre d affaires. 3) On suppose que le producteur attend n jours pour récolter (n est un nombre entier compris entre et 3). a) Eprimer Q(n), la quantité de pommes de terre qu il pourra récolter le n e jour, en fonction de n. b) Eprimer P(n), le pri du kg de pommes de terre le n e jour, en fonction de n. c) Démontrer que après n jours, le chiffre d affaire est donné par : R(n) =, 5n 39n ) Sur la calculatrice, faire afficher une table de valeurs pour R(n) pour n allant de à 3, avec un pas de. 5) Utiliser cette table pour déterminer la valeur de n correspondant à un chiffre d affaire maimal pour ce producteur. Quel sera alors ce chiffre d affaires? Chapitre F. Fonctions, variations 7

12 63 Sur la figure ci-dessous : AB = 5 cm, AH = 3 cm, CH = cm. M est un point du segment[ab]. A On note f()l aire (en cm ) du triangle MCH, qui varie en fonction de la distance AM notée (en cm). ) Déterminer f(), f(), f(3) et f(5). ) Quel est l intervalle des valeurs possibles de? M 3) Uniquement par des considérations d ordre géométrique, dresser le tableau de variations de la fonction f. 6 On étudie la fonction f définie sur R par : f() = ( ). ) Conjecturer le sens de variation de la fonction f. ) Démontrer que f(b) f(a) = (b a)(ab ). 3) On suppose que a < b <. a) Quel est le signe de b a? b) Comparer ab et puis f(b) et f(a). c) En déduire le sens de variation de f sur] ; [. ) On suppose que < a < b. Quel est le sens de variation de la fonction f? 5) La fonction f admet-elle un etrema? Lequel? Algorithmes 65 ALGO On considère l algorithme ci-dessous : Variables : a est un réel Traitement : Sortie : Afficher a H C Saisir la valeur de a a prend la valeur a a prend la valeur a En saisissant, a =. Après eécution, qu affiche cet algorithme? Pour un nombre a quelconque, quel est le résultat affiché à la sortie de l algorithme? Quel nombre peut-on saisir pour obtenir comme affichage : 5? B 66 ALGO On considère l algorithme ci-dessous : Variables :, a, b et y des nombres réels Traitement : Sortie : Afficher y Compléter le tableau suivant : 3 a b ab Saisir la valeur de Affecter à a la valeur Affecter à b la valeur a Affecter à y la valeur ab y Soit f la fonction qui à associe le réel y. Donner l epression algébrique de la fonction f sous forme développée. 67 ALGO Voici un algorithme : Variables Entrée Initialisation Traitement, y, a et b réels tels que a < b p réel strictement positif Saisir a, b et p Affecter à la valeur a Tant que b y prend la valeur 3 65 Afficher y prend la valeur p Fin Tant que ) On choisit d eécuter cet algorithme avec a =, b = 3 et p =. Compléter le tableau ci-dessous. ) Quel est l objectif de cet algorithme? Condition b y Condition b y Etape Etape Etape Etape 3 Etape Etape 5 8 Chapitre F. Fonctions, variations