Section 8. MAT Mathématiques d appoint pour l électromécanique. Calculs vectoriels. Site web CSPO :

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1 MAT Mathématiques d appoint pour l électromécanique Section 8 Calculs vectoriels Site web CSPO : Sylvie Leblond Gilles Coulombe

2 Mise en situation Un de vos collèges de travail a observé à l aide d un oscilloscope les ondes V1, V2 et V3 d un circuit électrique. Il a dessiné les vecteurs de phase qui représentent ces ondes et vous transmet l information suivante : Il vous demande de calculer la tension de la source E de ce circuit. Comment allez-vous procéder? Vous savez que la tension de la source E est la somme vectorielle des tensions aux bornes des charges V1, V2 et V3. Il vous suffit donc d effectuer cette opération pour obtenir le résultat. 1

3 Partie 1 : Notion de vecteurs 1.Scalaire Dans la vie courante, on utilise souvent un seul nombre pour exprimer une certaine quantité : j ai 51 ans je pèse 72,5 kg ce bureau mesure 60 cm Dans ces expressions qui décrivent, l âge, la masse, une longueur, il suffit d utiliser un seul nombre réel. Ces nombres sont des scalaires. 2. Vecteur Pour d autres types de grandeurs, un nombre seul ne suffit pas à décrire complètement la situation : aujourd hui, le vent sur le lac souffle à 15 km/h du nord-est ce matin, j ai roulé sur 10 km en direction nord Dans ces expressions, les quantités sont caractérisées par une grandeur, une direction et un sens. Ces nombres sont des vecteurs. En résumé Un vecteur, c est une quantité scalaire ayant : une grandeur (ex.: 4 cm) une direction (ex.: 32 o au-dessus de l horizontal) un sens (flèche A vers B) Dans cet exemple, le vecteur d orientation de 32. a une norme (grandeur) de 4 cm et un angle 2

4 3. Vocabulaire lié aux vecteurs Norme : la grandeur d un vecteur Angle d orientation : la direction et le sens d un vecteur sont définis par l angle d orientation ; cet angle est formé par la flèche qui représente le vecteur et la partie positive d un axe horizontal qui passe par l origine du vecteur. L angle est mesuré en tournant dans le sens anti-horaire. Vecteur a une norme de 2 cm et un angle d orientation de α = 40 Vecteur a une norme de 3 cm et un angle d orientation de α = 130 2cm 3cm 4. D autres façons d exprimer des vecteurs Voici des exemples d autres expressions de vecteurs, et leurs équivalences à l angle d orientation utilisé en mathématique. A) On connait l angle par rapport à la verticale Par exemple, un angle de 30 par rapport à la verticale (à droite ou à gauche de celle-ci) correspond à un angle d orientation de α = 60 ou de α = 120. OU 3

5 B) On connait l angle par rapport à l horizontal Par exemple, un angle de 30 par rapport à l horizontale correspond à un angle d orientation de α = 30 ou de α = 150. OU C) On connait l angle par rapport aux points cardinaux Par exemple, un angle de S 35 O (35 à l ouest du sud) correspond à un angle d orientation de α = 235. N E O S Démonstration Geogebra : Norme et angle d orientation d un vecteur 4

6 Exercice 1 À l aide d une règle et d un rapporteur, tracez le vecteur décrit (α est le symbole pour l angle d orientation). a) de 2 cm, α = 25 b) de 2,5 cm; α = 125 c) de 4 cm, α = 230 d) de 5 cm; α = 170 5

7 e) de 3,5 cm et un angle de 60 à f) de 3,5 cm et un angle de droite de la verticale N 70 O à l ouest du nord 5. Vecteur et plan cartésien Dans un plan cartésien, on peut identifier un vecteur à l aide de coordonnées (x,y). Le vecteur comporte 2 composantes : composante horizontale (en x): X 2 X 1 = ΔX composante verticale (en y) : Y 2 Y 1 = ΔY 6

8 Exemple 1 Voici un exemple d un vecteur qui a comme point de départ l origine du plan cartésien. Composante verticale Y 2 Y 1 = ΔY Composante horizontale X 2 X 1 = ΔX Composante horizontale (déplacement en x) : 3 0 = 3 Composante verticale (déplacement en x) : 4 0 = 4 On écrit : Exemple ΔX = X 2 X 1 = 7 2 = 5 ΔY = Y 2 Y 1 = 3 1 = 2 On peut écrire : 7

9 Exemple ΔX = X 2 X 1 = 5 2 = 3 ΔY = Y 2 Y 1 = 1 3 = -2 On écrit : Exemple 4 ΔX = X 2 X 1 = -1 (-3) = ΔY = Y 2 Y 1 = -1 (-2) = On écrit : 8

10 6. Trouver la norme d un vecteur Afin de trouver la norme d un vecteur, il suffit d utiliser ses composantes dans la formule de Pythagore. Reprenons les exemples 1 à 4 : 1. Composante verticale Y 2 Y 1 = ΔY La norme de ce vecteur est 5. Composante horizontale X 2 X 1 = ΔX

11 Exercice 2 Trouvez la norme des vecteurs suivants. a) Le vecteur AB, étant donné d) Le vecteur BA, étant donné A (0 ;7,5) et B (4,0) A (-3,1) et B (-1,-5) b) Le vecteur CD, étant donné e) Le vecteur CB, étant donné C (-4 ;5,2) et D (-1,5 ;0) B (0,6) et C (0,-2) c) Le vecteur AC, étant donné f) Le vecteur CD, étant donné A (2,0) et C (-3,0) C (5,5 ;-1) et D (4,3 ;-6) 10

12 7. Trouver l angle d orientation d un vecteur Rappel Dans un triangle rectangle, la tangente de l un des angles aigus est le rapport entre la mesure du côté opposé à cet angle et la mesure du côté adjacent à cet angle. Exemple 1 +2 θ +5 Reproduisons le triangle rectangle : 2 unités θ 5 unités Il faut utiliser les valeurs absolues des composantes. Dans cet exemple, l angle obtenu de 22 correspond à l angle d orientation α puisque l angle entre l axe horizontal positif et le vecteur est dans le sens anti-horaire. L angle d orientation de ce vecteur est donc de

13 Exemple 2 +3 θ -2 Reproduisons le triangle rectangle (valeurs absolues des composantes) : 3 unités θ 2 unités L angle obtenu de 34 n est pas l angle d orientation puisqu il est dans le sens horaire. Pour obtenir l angle d orientation α il faut faire une autre étape. Un angle de 34 sous l horizontale (axe positif) est situé dans le 4e quadrant et équivaut à l angle d orientation suivant : α = θ α = = 326 α = 326 θ = 34 L angle d orientation de ce vecteur est donc de

14 Exemple 3 4 unités +4 θ θ -3 3 unités L angle obtenu de 53 n est pas l angle d orientation puisqu il est obtenu à partir de l axe horizontal négatif en plus d être dans le sens horaire. Pour obtenir l angle d orientation α il faut faire une autre étape. Un angle de 53 au-dessus de l horizontale (axe négatif) est situé dans le 2e quadrant et équivaut à l angle d orientation suivant: α = θ α = = 127 θ = 53 α = 127 L angle d orientation de ce vecteur est donc de

15 Exemple 4 5 unités -5 θ θ 3 unités -3 L angle obtenu de 31 n est pas l angle d orientation puisqu il est obtenu à partir de l axe horizontal négatif. Pour obtenir l angle d orientation α il faut faire une autre étape. Un angle de 31 au-dessous de l horizontale (axe négatif) est situé dans le 3e quadrant et équivaut à l angle d orientation suivant : α = 211 α = θ α = = 211 θ = 31 L angle d orientation de ce vecteur est donc de

16 Résumé du calcul de l angle d orientation d un vecteur Soit le vecteur On calcul l angle θ avec la relation suivante : Selon la position du vecteur dans le plan cartésien, l angle d orientation α est obtenu avec l un des calculs suivants : X Y X Y X+ Y X+ Y Démonstration Geogebra : Norme et angle d orientation d un vecteur par quadrant 15

17 Exercice 3 Trouvez la norme et l orientation des vecteurs suivants : 16

18 Exercice 4 Trouvez la norme et l orientation des vecteurs suivants : 17

19 8. Trouver les composantes d un vecteur à partir de la norme et de l angle d orientation Rappel Prenons le vecteur qui a une norme de et un angle d orientation de α. y α x Pour calculer la composante horizontale de, on utilise le rapport cos. Pour calculer la composante verticale de, on utilise le rapport sin. Exemple : Calculons la composante horizontale et verticale du vecteur qui a une norme de 7 unités et un angle d orientation de 40 Donc 18

20 Exercice 5 Trouvez la composante horizontale des vecteurs suivants. 19

21 Partie 2 : Opérations sur les vecteurs 1. Relations entre deux vecteurs A) Vecteurs orthogonaux Se dit de vecteurs qui sont perpendiculaires. La différence entre leur angle d orientation est de 90 ou 270. Orthogonaux = perpendiculaires u v OU B) Vecteurs colinéaires (ou linéairement indépendant) Colinéaires = parallèles (peu importe le sens et la grandeur) u v Si deux vecteurs colinéaires ont en plus la même norme, ils sont non seulement colinéaires, mais aussi : 1. équipollents : si même norme et même angle d orientation (même direction et sens) 2. opposés : si même norme et même direction mais de sens contraire (la différence entre les angles d orientation est de 180 ) 20

22 2. Addition de vecteurs Voici une méthode géométrique qui permet de trouver le résultat de la somme de deux vecteurs, appelée la résultante. Exemple 1 Trouver la résultante de la somme des vecteurs et, sachant que et. Étape 1 Tracer l un des vecteurs à partir de l origine du plan cartésien Étape 2 À partir de l extrémité de équipollent à, tracer un vecteur vecteur initial 21

23 Étape 3 Compléter le triangle en traçant la résultante qui part de l origine du vecteur, et qui rejoint l extrémité du vecteur Sur le graphique : Preuve algébrique : Exemple 2 Trouver la somme des vecteurs et vecteur initial Preuve algébrique : Exemple 3 Trouver la somme des vecteurs et Preuve algébrique : vecteur initial Démonstration Geogebra : Somme de vecteurs à partir de leurs coordonnées 22

24 Exercice 6 Trouvez la somme des vecteurs suivants. a) et c) et b) et 23

25 2. Soustraction de vecteurs Soustraire un vecteur équivaut à additionner son opposé. Exemple Trouver la résultante de la différence des vecteurs et, sachant que et. Étape 1 Tracer les deux vecteurs Étape 2 Trouver l opposé du vecteur Si alors Étape 3 Effectuer l addition Sur le graphique : Preuve algébrique : 24

26 Exercice 7 Effectuez les opérations demandées. a) c) si et si et b) d) si et si et 25

27 3. Produit d un scalaire par un vecteur Il est possible de multiplier un scalaire par un vecteur. Exemple 1 Effectuer géométriquement et algébriquement, sachant que. Géométriquement Algébriquement Exemple 2 Effectuer géométriquement et algébriquement, sachant que. Géométriquement Algébriquement Capsule vidéo : Opérations sur les vecteurs 26

28 4. Combinaison linéaire de vecteurs Il est possible d effectuer des opérations sur des vecteurs qui sont multipliés par un scalaire. Exemple Sachant que et, trouver Solution algébrique Représentation géométrique 1. Vecteurs 2. Vecteurs 3. Somme des vecteurs 27

29 Exercice 8 Calculez algébriquement les expressions suivantes. 28

30 5. Addition de vecteurs à partir de la norme et de l angle d orientation La trigonométrie demeure un outil indispensable à l étude des vecteurs. Elle nous permet de trouver la norme et l angle d orientation de la résultante de deux vecteurs. Voici deux exemples, et leurs étapes de résolution. Exemple 1 Deux vecteurs, et, forment un angle de 40. L angle d orientation de est de 25. Déterminer la norme de la résultante de +, ainsi que son angle d orientation. Étape 1 Calculer les composantes de. 8 α = 25 y x Étape 2 Calculer les composantes de. Son angle d orientation est de = 65 6 y α = 65 x 29

31 Étape 3 Calculer algébriquement les composantes de la résultante de +. Étape 4 Calculer la norme de. Étape 5 Calculer l angle d orientation de. Comme les composantes x et y sont toutes deux positives (1 er quadrant), la mesure de l angle d orientation α est donc égale à θ. α = θ = Donc, le vecteur a une norme de 13,17 et son angle d orientation est de 41,98. 30

32 Exemple 2 Soit les deux vecteurs et (voir le schéma). Déterminer la norme de la résultante de +, ainsi que la mesure de son angle d orientation. Étape 1 Calculer les composantes de. 4 α = 35 y x Étape 2 Calculer les composantes de. Son angle d orientation est = 140 y x 5 40 α = 140 Note : sin 40 = sin 140 «y» positif dans le 1 er et 2 e quadrant cos 40 = -cos 140 «x» positif dans le 1 er quadrant «x» négatif dans le 2 e quadrant Étape 3 Calculer algébriquement les composantes de la résultante de et. 31

33 Étape 4 Calculer la norme de. Étape 5 Calculer l angle d orientation de. Comme la composante x est négative et la composante y est positive, le vecteur se trouve dans le 2e quadrant. La mesure de l angle d orientation α n est donc pas égale à θ. Il faut la calculer avec la formule suivante : Donc, le vecteur unités a une norme de 5,53 et son angle d orientation est de 95,71. Démonstration Geogebra : Somme de vecteurs à partir de leur norme et leur angle d orientation 32

34 Exercice 9 Trouvez la norme et l angle d orientation du vecteur résultant de. 33

35 Exercice 10 Trouvez la norme et l angle d orientation du vecteur résultant demandé. = 8 = 13 = 11,7 Orientation : 286 Orientation : 206 Orientation :

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37 Exercice 11 Trouvez la norme et l angle d orientation du vecteur résultant demandé. = 7 = 9 = 14,6 Orientation : 35 Orientation : 132 Orientation :

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