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1 CHAPITRE 6.! TORSION Définiions Torsion une barre e secion circulaire Recherche e la isribuion es conraines Relaions fonamenales Dimensionnemen Conraines issibles Applicaion au calcul arbre A) Arbres creux B) Arbres pleins Déformaion issible Applicaion au calcul arbre Remarques concernan le imensionnemen es arbres A) Relaion couple - puissance B) Noion e couple maximum Torsion une barre à secion ransversale non circulaire Choix e la forme e la secion roie Applicaions Torsion un arbre muni une rainure e clavee Torsion un profilé à parois minces A) Profilés ouvers B) Profilés fermés Version u 1 juille 01 (10h0)

2 CHAPITRE 6.! TORSION 6.1. Définiions Par l exemple e la racion e e la compression, nous avons mis en évience quelques-unes es plus imporanes propriéés e l éa e conraine. Lors e la racion (compression) l éa e conraine se réuisai à la seule composane normale σ. Lors e la orsion, l éa e conraine se réuira aux seules composanes ans le plan e la secion. fig Exemple une barre soumise à orsion. Auremen i, la orsion pure es un éa e charge el que ans oue secion roie une pièce il n exise qu un momen e orsion. De plus : Une barre soumise principalemen à orsion pore le nom arbre. Par convenion, le momen e orsion (effor inerne) es posiif s il agi ans le sens ani-horlogique pour un observaeur qui regare la secion. On peu monrer, à parir e la loi e Hooke, qu un pei élémen soumis uniquemen à es conraines angenielles (éa e cisaillemen pur) se éforme en faisan apparaîre un angle γ (appelé angle e cisaillemen) proporionnel à. (Voir figure ci-conre). γ G (éq. 6.1) fig Convenion e signe +. fig Loi e Hooke. R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

3 La quanié G, appelé moule e cisaillemen ou moule e Coulomb (1) ou moule élasicié ransversale, épen u maériau e es exprimée en N/mm. Remarque : Cee formule es à rapprocher e la loi e Hooke : σ ε. E Il exise une relaion enre le moule e Young e le moule e Coulomb. Cee relaion s écri : E G 1 ν ( + ) (éq. 6.) Noaion : ν coefficien e Poisson - Remarque : On observe que, quelque soi la valeur u coefficien e Poisson ν, le moule élasicié ransversale G sera oujours inférieur au moule élasicié longiuinal E. En aures ermes, un maériau sera oujours moins rigie sous l effe un momen e orsion, que sous l effe un effor e racion. Applicaion 6.1. Que vau le moule e Coulomb e l acier sachan que : E N mm ν 00.? e Soluion : Applicaion irece e la formule éq. 6.. : E G N mm 1+ ν ( ) ( ) Remarque : Souven pour l acier on pren, en première approximaion, G N mm. Applicaion 6.. Que vau le coefficien e Poisson e la fone grise sachan que : E N mm e que le moule e Coulomb G 6000 N mm? Soluion : Applicaion irece e la formule éq. 6.. : E E G ν 1 1+ ν G ( ) (1) Coulomb : ingénieur e physicien français ( ) R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

4 6.. Torsion une barre e secion circulaire Recherche e la isribuion es conraines Consiérons une barre e secion circulaire soumise à un momen e orsion consan. fig On consae que, pour es raisons e symérie, chaque secion roie ourne ans son plan, auour e son cenre, comme un ensemble rigie. On en éui : que oue secion roie plane rese roie plane après éformaion. De plus, l expérience monre que la longueur une barre soumise à orsion ne varie pas an que l angle e orsion es pei. On consae que les conraines angenielles agissan sur une secion roie son proporionnelles à la isance ρ à l axe e l arbre e maximales à la périphérie. La isribuion es es représenée à la figure ci-conre. Les ensions varien onc linéairemen e 0 à max. La ension maximale se siuan à la périphérie e la pièce. fig Disribuion es conraines angenielles e orsion Relaions fonamenales Trois hypohèses afin éablir les ifférenes relaions fonamenales e la orsion : [H1] pas e variaion e secion (secion consane); [H] [H] momen e orsion consan; éformaion angulaire peie par rappor à la longueur. Si l angle e éformaion γ es pei, nous pouvons l assimiler à sa angene. Nous écrirons ès lors : γ. g γ. Si, comme l angle es pei, nous pouvons assimiler l arc e cercle à une roie, e, ès lors écrire : fig R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

5 lgγ rϕ lγ rϕ (1) La loi e Hooke s écrivan : γ G () nous obenons : rϕ G rθ G l () Noaions : G r γ n θ l moule e Coulomb rayon e la secion circulaire angle e cisaillemen éformaion angulaire angle relaif e éformaion longueur e la barre N/mm mm ra ra ra/mm mm Analysons le phénomène e orsion quan un momen e orsion!μ proui une éformaion élasique u cylinre-éprouvee. Sur la figure ci-essous,!μ es représené par le couple F-F, forces siuées ans le plan e la secion roie exrémié; mais ans le cas iéal e orsion que nous éuions, nous evons imaginer es couples f-f, ans le plan e la secion (en chaque mm par exemple). Sur chaque élémen e surface ΔA nous avons essiné la force f angene à la circonférence e rayon ρ; ces forces son elles que leur momen : ρ i f i. Isolons par une coupure (secion roie) un ronçon arbre. Pour le mainenir en équilibre, il fau appliquer sur chaque élémen e secion ΔA es forces angenielles f. Le pois éan négligé, pour mainenir ce ronçon en équilibre, nous pouvons appliquer à chaque élémen ΔA (à chaque mm par exemple) une force f siuée ans le plan e la coupure, onc angenielle. L ensemble es forces f consiue la réacion au couple!. Quelles son les coniions équilibre imposées par la saique? ( f i ) 0 e ( C i ) 0 fig Ces coniions son saisfaies si à chaque force f nous faisons corresponre comme l inique la figure une force f égale e e sens opposés à f. Dans ce cas : R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

6 ' ρ i f i () La conraine angenielle es par éfiniion une force par unié e surface. Dans nore cas, nous pouvons ire : f i ' fi' ΔAi ΔAi Avec la relaion () nous avons : ' ρ f ρ ΔA. i i i i Inrouisons la relaion () ans l équaion ci-essus : ρ ρ θ G ΔA ρ ΔA θ G. ( ) i i i i i En ce rappelan que : I ρ Δ A, 0 i i nous obenons la relaion enre le momen e orsion e les aures paramères. Soi : I 0 θ G (5) On ainsi éuire les eux relaions fonamenales pour le calcul es barres rones soumises à orsion. La première onne la relaion enre la éformaion angulaire n (ou l angle relaif θ) e le momen e orsion. A parir e l équaion (5), nous écrirons : θ max GI0 (éq. 6.19) [ra/mm] e sachan que : ϕ l θ, nous obenons : ϕ l GI 0 (éq. 6.1) [ra] La secone onne la relaion enre la conraine angenielle maximum max e le momen e orsion. En mean l équaion () ans l équaion (), nous obenons : max I r W 0 p (éq. 6.) [N/mm ] ( max se siuan à la périphérie e la secion circulaire) Noaions : I O r momen e orsion momen inerie polaire e la secion rayon e la secion circulaire Nmm mm mm e plus : G.I O I O /r es appelé rigiié à la orsion es appelé moule e résisance à la orsion ou moule e résisance polaire Nmm mm R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

7 6.. Dimensionnemen Conraines issibles 1) Dans le cas un maériau ucile, la conraine angenielle issible en orsion es obenue en enan compe un coefficien e sécurié S par rappor à la limie élasicié en cisaillemen e : (éq. 6.) e S On peu monrer que les crières e résisance permeen e éerminer e à parir e la limie apparene élasicié R e en racion : R e onc : ecis ( ) ( ) R 058 S e. (éq. 6.5) e ) Si le maériau es fragile, l expérience monre que la rupure se proui suivan une surface hélicoïale inclinée à 5E par rappor à l axe e l arbre (ex. : la craie). La fissuraion es ue aux conraines fig Rupure fragile en orsion. normales e racion qui aeignen leur valeur maximale σ max sur es facees conenues ans la surface hélicoïale. Dès lors la conraine angenielle issible se éerminera à parir e la résisance à la rupure R m e non plus à parir e e : R m (éq. 6.6) S ) Quel que soi le ype e maériau uilisé, le imensionnemen es secions roies evra êre el que les conraines angenielles maximales max ne épassen pas la conraine angenielle issible : max (éq. 6.7) ) Les coefficiens e sécurié S seron les mêmes que ceux éfinis au chapire Tracion - Compression Applicaion au calcul arbre Déerminons la relaion qui exise enre le iamère exérieur un arbre e secion annulaire (iamère inérieur i ), soumis à un momen e orsion, en foncion e la conraine angenielle issible ). A) Arbres creux On suppose connu la proporion qui exise enre le iamère exérieur e le iamère inérieur i. Soi : k. i R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

8 Dès lors : max W p ( i ) ( 1 k ) où : (éq. 6.0) ( 1 k ) ( 1 k ) Après mise en évience u iamère, on rouve l équaion pour la concepion es arbres : (éq. 6.1) ( 1 k ) ( 1 k ) Ainsi que la formule érivée concernan le couple issible ransmis pour un arbre onné : B) Arbres pleins ( 1 ) 0 ( 1 ) k. k (éq. 6.) 16 Pour un arbre cylinrique plein e iamère, on aura ans les formules précéenes : 0 k 0 e ans ce cas nous obenons : i (éq. 6.) (éq. 6.5) 0. (éq. 6.6) 16 R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

9 6... Déformaion issible Généralemen, on limie l angle relaif e orsion à une valeur issible θ éerminé suivan le ype uilisaion e la barre : θmax θ (éq. 6.7) Remarques : 1) En général les arbres e ransmission se calculen à la éformaion issible pluô qu à la conraine issible, e ans ce cas θ vau : θ θ ( ) / m (éq. 6.8) ra / m ( ) ) Si l angle θ es exprimé en E/mm, il fau converir, en ra/mm suivan la formule : θ [ ra / mm] θ [ / mm] 180 (éq. 6.9) 6... Applicaion au calcul arbre Déerminons la relaion qui exise enre le iamère exérieur un arbre e secion annulaire (iamère inérieur i ), soumis à un momen e orsion, en foncion e la éformaion angenielle issible θ. A) Arbres creux On supposera connu la proporion : k. Dès lors : θ max GI 0 ( i ) G ( 1 ) θ k G i où : θ 10. (éq. 6.) ( 1 ) ( 1 ) k G k G 179. (éq. 6.) θ Gθ ( 1 k ) G ( 1 k ) ( 1 ) θ 01 ( 1 ) k G. k Gθ (éq. 6.) si θ es exprimé en ra/mm, en N.mm, G en N/mm e en mm. R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

10 B) Arbres pleins Pour un arbre cylinrique plein e iamère, on aura ans les formules précéenes : 0 k 0 e ans ce cas nous obenons : i θ 10 G. (éq. 6.6) G 179. (éq. 6.7) G θ G θ Gθ 01. Gθ (éq. 6.8) En résumé : Arbres cours Arbres longs : ils se calculen uniquemen à la résisance. : ils se calculen à la éformaion, malgré une résisance convenable Remarques concernan le imensionnemen es arbres A) Relaion couple - puissance Dans e nombreuses applicaions e orsion on connaî la puissance à ransmere e non le momen e orsion. Si el es le cas, connaissan la puissance P à ransmere (en wa) e la viesse e roaion n e ce arbre (en ours par minue), nous pouvons rerouver le momen e orsion par la relaion : P ω (éq. 6.9) avec ω la viesse e roaion ra/s e la relaion enre n e ω es : n n ω (éq. 6.50) 60 0 où : 0 P n P 955. (éq. 6.51) n Sans oublier que si P es en W e n en ours/min, es en Nm. Il faura onc ransformer le momen e orsion en Nmm pour qu il soi compaible avec les formules précéenes. B) Noion e couple maximum Souven les machines, élecriques e aures, son imensionnées pour un couple nominal. Cepenan, lors u calcul es arbres e ransmissions e ces machines, il fau enir compe es chocs évenuels qui peuven se prouire suie à la ransmission es ifférens effors. C es pourquoi, on majore le couple nominal un cerain coefficien e choc k c (voir ableau es coefficiens e choc ans le chapire Inroucion à la résisance es maériaux). R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

11 Le momen e orsion à uiliser ans les formules précéenes sera onc : kc nominal (éq. 6.5) Applicaion 6.. Un moeur élecrique une puissance e 0 kw ourne à la viesse e 600 r/min. Son arbre es en acier ( G N mm ). Déerminer son iamère ans le cas où : a) on consière l arbre comme cour avec une conraine issible 0 N mm ; b) on consière l arbre comme un arbre e ransmission avec un angle relaif issible θ 05. m. Soluion : a) Arbre cour 80 P n m 5 mm b) Arbre long 05. θ ra m P ng 6 θ m 56 mm Applicaion 6.. Un moeur élecrique une puissance e 10 kw ourne à la viesse e 750 r/min. Son arbre es en acier XC e limie élasique égale à 0 N/mm. Déerminer son iamère si on pren un coefficien e sécurié égal à.. L arbre u moeur es cour; on peu onc le consiérer comme sollicié uniquemen à la orsion (sans flexion). Soluion : Recherche e la conraine issible Re N mm S. Recherche u momen e orsion 0 P Nm n 750 Nmm Recherche u iamère : arbre cour mm R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

12 Applicaion 6.5. On consière l une es barres e orsion servan à la suspension élasique u châssis une auomobile. L effor qui agi à l exrémié D u levier CD, e longueur 00 mm, es e 00 an. a) Calculer le iamère e la barre sachan qu elle es en acier au chrome-silicium-molybène 5 SCD 6 pour lequel on peu ere une conraine angenielle e 00 N/mm. b) Calculer la longueur e la barre e façon que la levier ourne au plus un angle e 18E lorsque la voiure repose sur ses roues. On calculera G. Soluion : a) Calcul u moule élasicié ransversal Acier 5 SCD 6 : E 0000N mm ν 085. e E G N mm 1+ ν ( ) ( ) fig Applicaion 6.5. a) Calcul u iamère F l Nmm mm 5 mm 00 b) Calcul e la longueur ϕ θ max 10. θ G e l ϕ 18 ϕ ra 180 ϕ G l mm R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

13 6.. Torsion une barre à secion ransversale non circulaire On consae expérimenalemen que, sous l acion u momen e orsion, la secion e la barre subi un gauchissemen. Celui-ci provoquera l appariion e conraines normales si les secions ne peuven se éformer libremen. Si nous supposons que : [H1] [H] [H] les imensions e la secion roie e la fig Torsion une barre non circulaire. barre ne varien pas suivan l axe e celleci, le momen e orsion es consan le long e la barre, les exrémiés son libres e gauchir, la orsion es qualifiée e libre e seules es conraines angenielles apparaissen ans la secion roie. Ean onné que l hypohèse e la conservaion es secions planes n es plus vérifiée, le problème ne pourra pas êre résolu par la résisance es maériaux mais par la héorie e l élasicié. Néanmoins, on pourra se raccrocher aux formules générales vues précéemmen moyennan un momen inerie e un moule e résisance à la orsion approprié. Auremen i, les formules éfiniives pour le calcul es conraines angenielles maximales max e e l angle e orsion θ max se présenen comme sui : θ max GI (éq. 6.67) [ra/mm] e : [N/mm max (éq. 6.68) ] W Noaions : I W momen inerie en orsion libre moule e résisance en orsion libre mm mm Pour les valeurs es ifférens I e W voir ableau es moules e résisance à la orsion au chapire omen inerie. A ire exemple la isribuion es conraines angenielles ans une secion recangulaire es schémaisée à la figure fig ciconre. La conraine angenielle maximale se prouisan au milieu u gran côé. fig Disribuion es conraines. R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

14 Dans le cas es secions pleines, on peu aussi uiliser la formule e Sain-Venan () afin e calculer le momen e orsion libre. Soi : I A 0 I 0 (éq. 6.69) [m ] Noaions : A I 0 la surface e la secion pleine l inerie polaire e la secion m m Applicaion 6.6. Un reuil à main es commané par eux hommes onnan chacun un effor e 00 N. Quel es le côé u carré à faire sur l arbre pour le placemen e la manivelle, celle-ci ayan une longueur e 00 mm? Prenre comme conraine issible : 60 N/mm. Soluion : Le momen e orsion exercé sur l arbre es égal à : F L Nmm ( ) ( ) Pour un carré, nous avons le moule e résisance à la orsion qui es égal à : W c Recherche u côé via la formule e la conraine c W 0 08 c c mm c 5 mm Recherche u iamère issible e l arbre c mm 5 5. cos5 cos5 6 mm () Sain-Venan (Ahémar Jean Claue Barré e) : ( ) R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

15 6.5. Choix e la forme e la secion roie Afin e imensionner économiquemen la barre, la coniion e résisance : W ou W max (éq. 6.75) oi non seulemen êre vérifiée, mais il fau veiller à réuire au minimum le pois e la barre. Soi, par éfiniion, le rappor sans imension w : w W A ou W p A (éq. 6.76) Noaion : A la surface e la secion pleine m Ce rappor es éfini pour comparer ifférenes secions roies. Il oi êre aussi gran que possible (voir Tableau 6.1.). Il en ressor que les profilés ouvers résisen rès mal à la orsion, que les profilés fermés son meilleurs que les profilés ouvers e même forme, e que la forme la plus inéressane es celle es secions annulaires. Comparaison, u poin e vue résisance / pois, e ifférenes secions en orsion (w ), flexion (w f ) e flambemen (w fb ) Secion w W A w f W f A w fb I min A Circulaire Annulaire in / ex Recangulaire b/h (carré) / 1/ HEA 100 Y IPE IPN Tableau Comparaison résisance / pois e ifférenes secions. Il es onc souven préférable, u poin e vue e la résisance es maériaux, pour les gros arbres e ransmissions e prenre un arbre creux pluô qu un arbre plein. Sans enrer ans le éail e la émonsraion, on peu monrer que le gain e pois e l arbre creux par rappor à un arbre plein, (pour une même conraine nominale), sui la loi suivane : R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

16 k g 1 k 1 (éq. 6.77) 1 + k De même on peu monrer que le gain e pois e l arbre creux par rappor à un arbre plein, (pour une même éformaion), sui la loi suivane : k g θ 1 1 k (éq. 6.78) 1 + k Noaions : k g k g θ k coefficien e gain e pois (pour une même conraine) coefficien e gain e pois (pour une même éformaion) rappor (iamère inérieur sur iamère exérieur) Tou ceci peu êre résumé ans le ableau ci-après : k k g k g θ Tableau Gain e pois pour une même conraine k g ou une même éformaion k g θ (arbre creux par rappor à l arbre plein).. Noons qu à parir e : k 08., le gain e pois es au moins e 50 %. En avan-proje, on peu se permere e prenre : k 08.. Remarque imporane : Nous avons oujours inérê à avoir k 09. afin évier ou risque e flambemen e orsion. En effe si la parois es rop mince, l arbre (ube) périra par flambemen e non par épassemen e la limie e rupure (exemple e la boîe e Coca). R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

17 Applicaion 6.7. Soi un arbre hélice e baeau e 15 m e longueur. La puissance a ransmere es e.5 W à 50 r/min. La conraine issible e l acier en orsion es e 80 N/mm. a) Déerminer le iamère e l arbre e l angle e orsion ( G N mm ). b) Ensuie remplacer ce arbre par un arbre e ransmission creux pour obenir le même angle e orsion que précéemmen e ce pour un gain e pois e 50 %. Soluion : Recherche u momen e orsion 6 0 P n 50 5 Nm Recherche u iamère mm 80 Recherche e la éformaion angulaire e ce arbre θ max ra mm G Pour rappel : [] [ ra ] 180 θ θ / mm 057. / m Recherche u iamère inérieur pour un gain e pois e 50 % Dans le ableau résumé, on remarque pour un gain e pois e k g θ 50 %, il fau : k ( 1 k ) Gθ ( ) mm 0 mm k mm 180 mm i i Remarque : Avec les iamères e 0 mm exérieur e 180 mm inérieur, nous n avons pas un gain e 50 % 8 Applicaion 6.8. Un arbre creux e iamère exérieur e 50 mm e e iamère inérieur e 0 mm, a une longueur e 1.50 m. a) Calculer le moule e orsion e la secion roie. b) Sachan que la conraine angenielle es e 0 N/mm, calculer le couple moeur ransmis par ce arbre. c) Déuire u résula précéen la puissance ransmise sachan que la viesse e roaion es e 100 r/min. ) De quel angle ournen les secions exrêmes, l une par rappor à l aure? (Prenre G N mm ). R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

18 Soluion : a) oule e orsion I 0 ( i ) ( 50 0 ) 6 65 mm b) Couple ou omen e orsion ( ) 0. 1 k Nmm Nm c) Puissance ransmise P n 100 ω kw 0 0 ) Angle e orsion θ 10. k G θ ( 1 ) ra mm [ m] θ [ ra mm] m Déviaion sur la longueur e l arbre : θ To Applicaion 6.9. Un arbre creux e iamère exérieur e 10 mm e e iamère inérieur e 100 mm, a une longueur e m. Il ourne à la viesse e 180 r/min. Un sysème e mesure sroboscopique inique un angle e orsion e enre les eux exrémiés e l arbre. Déerminer la puissance ransmise e la conraine e orsion maximale, prenre G 77 GPa. Soluion : a) Angle relaif e orsion θ [ ] θ [ m] ra m l b) Couple ou momen e orsion k Gθ ( ) Nmm Nm R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

19 c) Puissance ransmise n P ω W 0 0 ) Conraine maximale max 51. ( 1 k ) N mm Applicaion Esimer la conraine maximale e l angle oal e orsion e l ensemble es ubes un forage pérolier, lorsque la profoneur aeine par le répan es e 000 m e que le couple e orsion corresponan es e 0 knm. Le rain e ubes vissés les uns aux aures es assimilable à un ube unique e iamère exérieur 115 mm e e iamère inérieur e 9 mm. Soluion : a) Conraine maximale max N mm ( 1 ) k b) Angle e orsion l ϕ ra ( 1 ) k 9 G Soi l équivalen e 15.7 ours! R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

20 6.6. Applicaions Torsion un arbre muni une rainure e clavee Déerminaion u iamère un arbre e ransmission pourvu une clavee longiuinale. Nous parirons e l équaion fonamenale e la orsion pour éerminer le iamère e l arbre. max W Il s agi, mainenan e éerminer le moule e résisance en orsion libre W. fig Nous pourrions prenre W corresponan à un isque muni une rainure e clavee [voir ableau en annexe], mais nous remarquons que nous avons rois inconnues : le iamère, la largeur a e la rainure e clavee ainsi que sa profoneur. En fai, les imensions es clavees longiuinales (onc les rainures) son normalisées en foncion u iamère e l arbre [voir ableau en annexe]. E lors un pré-imensionnemen on peu ere que la largeur e la rainure a es, environ, le quar u iamère, c es-à-ire : a 05.. De plus, la profoneur e la rainure es, environ, la moiié e la largeur, c es-à-ire a. De plus, nous pouvons, ès à présen enir compe e l effe enaille [voir concenraion e conraine ], e nous supposerons que la secion uile soumise à orsion es une ellipse (voir figure ci-conre). Le moule e résisance en orsion libre une ellipse éan égal à : fig W ( ellipse ) p 16 (éq ) Noaions : p le gran axe e l ellipse (c es-à-ire le iamère le l arbre) le pei axe le l ellipse mm mm e, ans nore cas : p a où : 075. W ( ellipse ) 16 e : 16 max 075. e onc : (éq ) 075. Dès lors, connaissan le iamère e l arbre e ransmission on recherchera les imensions R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

21 exaces e la rainure e clavee (largeur a e profoneur ) pour vérifier, à l aie cee fois-ci u moule e résisance corresponan à un isque oé une rainure e clavee, si on ne épasse pas la valeur e la conraine e orsion issible. Applicaion Un moeur élecrique une puissance e 10 kw ourne à la viesse e 750 r/min. Son arbre es en acier XC e limie élasique égale à 0 N/mm. Déerminer son iamère si on pren un coefficien e sécurié égal à. e sachan que celui-ci es muni une rainure e clavee. Soluion : Recherche e la conraine issible Re N mm S. Recherche u momen e orsion 0 P Nm n 750 Nmm Recherche u iamère mm 80 Dimension e la rainure e clavee normalisée : a 8 mm e mm Vérificaion : recherche u moule e résisance W ( ) a ( ) mm recherche e la conraine maximale réelle max N mm OK W 786 La ifférence es relaivemen grane pour enir compe es concenraions e conraine. R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

22 6.6.. Torsion un profilé à parois minces Par éfiniion, une barre es à parois minces si son épaisseur (E es largemen inférieur à ses aures imensions (e l orre e 1/10 ème ). On isinguera les profilés ouvers (les quare premiers) e les profilés fermés (secions en caissons) (les rois erniers). Nous supposeron, comme nous l avons fai pour les secions non circulaires, que la orsion es libre. A) Profilés ouvers Les conraines son praiquemen réparies linéairemen suivan l épaisseur u profil. fig Exemples e barres à parois minces. On peu émonrer que ans le cas e profilés composés (formés élémens recangulaires épaisseurs inégales) que les conraines maximales les plus imporanes se évelopperon au milieu es côés posséan l épaisseur la plus grane. Soi : max 1 k 1 e max ( li ei ) (éq ) Noaions : l i e i e max k 1 longueur épaisseur corresponane à la longueur épaisseur maximum coefficien e forme mm mm mm - k k k pour les profilés laminés en : T, U ou L pour les profilés laminés en : I, H pour les aures profilés laminés. De plus, ans la mesure où la secion possèe un ou plusieurs angle(s) renran(s), il y a appariion e concenraion e conraines, e onc la conraine à l enroi e ces angles se calcule par : * K max (éq ) Noaions : * max K la conraine au roi e l angle renran. la conraine onnée par (éq ). le faceur e concenraion e conraine N/mm N/mm - Ce faceur K es un faceur sans imension supérieur à 1 e auan plus imporan que le rayon e raccoremen r es faible vis-à-vis e l épaisseur e. K pouvan êre éerminer par : R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

23 B) Profilés fermés e K 17. (éq ) r Pour les secions fermées à parois minces, on uilise la formule e Bre afin e calculer l inerie e orsion libre : I A A s si es () e i (éq. 6.10) [m ] fig Noaions : A s i e i aire limiée par la ligne moyenne e la secion longueur e la ligne moyenne i épaisseur corresponane m m m Quan au moule e résisance en orsion libre W il peu ce calculer suivan la formule suivane : W A emin (éq. 6.11) [m ] Noaion : e min l épaisseur minimale u profilé m La conraine e orsion ainsi que l angle maximal e orsion se éerminen par les formules classiques ( 6..). R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

24 Applicaion 6.1. Ci-conre une coupe une es poures un pon roulan, bipoure, e 1 onnes e une porée e 1.8 m. En enan compe e la charge, es ivers pois mors, ainsi que e la charge ynamique, on peu esimer la charge sur un gale comme éan égal à 0.5 kn ( Pv 80, 5 kn ). La charge ynamique horizonale peu êre esimée à Ph 01. Pv. Quan au pois e la passerelle F il es égal à.8 kn. Calculer la conraine e la éformaion maximum e cee poure en caisson. fig Applicaion 6.1. Soluion : Calcul e l aire limiée par la ligne moyenne e la secion 6 A + mm si si Calcul e : e e i i Calcul u momen inerie e orsion libre A I mm cm si e i Calcul u moule e orsion libre W A e mm 016 cm min Recherche u momen e orsion maximum omen e orsion û à la pression es gales 1 Pv Ph Nmm omen e orsion û au pois e la passerelle F Nmm omen e orsion résulan cas 1 Pleine charge e sans passerelle : o Nmm cas Pleine charge e avec passerelle : R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

25 o Nmm cas Sans charge, chario à une exrémié e avec passerelle : o Nmm D où : max Nmm Conraine maximale e orsion max max 68. N mm W 0168 Angle maximum e orsion max 180 ( ) 1800 ϕ l GI Remarques : 1) Le momen e orsion es repris par les exrémiés. Pour le calcul e l angle e orsion il fau onc prenre la moiié u momen e orsion maximum. ) Dans le même éa espri, la longueur es onc la moiié e la porée. R. Ierbeek Résisance es aériaux - Torsion Page

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