Université Hassan II Année universitaire : Faculté des sciences Ben M sik Département de Physique Master Traitement de l Information

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1 Université Hassan II Année universitaire : Faculté des sciences Ben M sik Département de Physique Master Traitement de l Information 1 / Considérons le signal réel suivant : Série n si t 0 x(t) = 0.5 si t < 0 +1 si t 0 = 0.5 sgn(t) où sgn(t) = 1 si t < 0 a- En remarquant que x (t) = (t) et en utilisant les propriétés de la transformée de Fourier, déterminer l expression de X(f), la transformée de Fourier de x(t). b- Déduire, de la question précédente, la transformée de Fourier de U(f) de l échelon unité. 2 / On considère le signal x(t) = rect. a- Tracer le graphe de y(t) = x(t) x t et calculer sa TF. b- On introduit le signal de période 2T défini par : z(t) = y(t 2nT) et on décompose z(t) en série de Fourier sous la forme : z(t) = Z e Exprimer le coefficient Z n en fonction d une intégrale faisant apparaître le signal y(t). c- Donner l expression de Z n en fonction de la TF de y(t) en un point particulier que l on précisera et calculer Z n. 3 / Soit x(t) le signal porte de largeur : x(t) = rect a- Calculer la transformée de Fourier du signal x(t) et sa densité spectrale d énergie. b- Montrer que la fonction d autocorrélation de ce signal est le signal triangle de base égale à 2 et d amplitude en t = 0, qu on note tri 2 (t). c- Calculer la transformée de Fourier du signal tri 2 (t). T d- On introduit le signal périodique x(t) de période T défini par : x(t) = tri 2 (t) pour t <. 2 Calculer la transformée de Fourier du signal x(t). 4 / On considère le signal défini par : x(t) = x (t) + x (t) avec x = A e, i = 1, 2 où f 1 et f 2 sont des fréquences positives, A 1 et A 2 des constantes positives, 1 et 2 des phases à l origines données. a- Le signal x(t) est-il à énergie finie? Calculer la TF X(f) de x(t). b- On considère le signal observé Page 1 sur 2

2 t T 2 y(t) = y(t) + y(t) où y(t) = x(t) rect pour i = 1, 2 T Ce signal est-il à énergie finie? Calculer la TF Y(f) de y(t). c- Représenter qualitativement l allure de Y (f). d- Déterminer les deux fréquences les plus proches de f i pour lesquelles Y i (f) s annule (ces fréquences sont symétriques par rapport à f i ) pour i = 1, 2. e- En regardant les modules de Y 1 et Y 2, discuter le choix de T qui permet de séparer les fréquences f 1 et f 2 dans le cas où f 1 f / On souhaite réaliser un système de cryptage du son: pour un signal de spectre borné, il s agit de permuter la partie positive et la partie négative du spectre, comme indiqué sur la figure ci-dessous. Le son devient alors incompréhensible et peut être décrypté par l opération inverse. a- Montrer que pour tout signal m(t) de transformée de Fourier M (f) : TF m(t)cos (2πf t)] = 1 2 M(f f ) M(f + f ) b- En multipliant le signal par une sinusoïde puis en filtrant le résultat par un filtre passebas, on peut réaliser la permutation fréquentielle. Expliquer comment, en illustrant votre explication par des figures. c- Comment alors décrypter le son? 6 / Soit un signal déterministe x(t) = cos déterministe y(t) = rect tel que T = 2T 0. t, ce signal est tronqué par un autre signal a- Représenter les signaux x(t) et y(t). b- Donner l expression analytique du signal tronqué y 1 (t) et représenter le. c- Calculer le spectre du signal y 1 (t) et représenter le. d- Calculer la fonction d autocorrélation de y 1 (t). e- En déduire la densité spectrale de puissance. Page 2 sur 2