- Module M2 - Fondamentaux d analyse

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1 - Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp

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3 Table des matières Table des matières Généralités sur les fonctions 5. Qu est ce qu une fonction? Définitions Quelques fonctions usuelles Graphe d une fonction Règles de définition Variables muettes Paramètres Opérations sur les fonctions Type d assemblage de fonctions Ensemble de définition Domaine de définition et graphe Limites. Définitions Limite finie en un point Limite finie en l infini Limite infinie en un point Limite infinie en l infini Eemples de limites Calcul pratique de limites Limites de référence Opérations algébriques sur les limites Relation d ordre Équivalence Croissance comparée de log, ep et puissance Continuité. Continuité Continuité en un point Définition Cas de non-continuité Prolongement par continuité Continuité sur un intervalle Ensemble de continuité d une fonction Définition Ensemble de continuité des fonctions usuelles Opérations sur les fonctions Dérivation 5

4 4 Table des matières 4. Dérivabilité Dérivabilité en un point a Définitions Interprétation géométrique Dérivabilité et continuité Dérivabilité sur un intervalle Calcul pratique de la dérivée d une fonction Ensemble de dérivabilité et dérivées des fonctions usuelles Opérations sur les fonctions Dérivées à l ordre n Sens de variation d une fonction Définitions Accroissements finis Etrema Différentielles Différentielle à l ordre Du formalisme des physiciens à celui des mathématiciens Définitions Opération sur les différentielles Différentielle à l ordre n Études de fonctions 5 5. Plan d étude d une fonction Domaine d étude Définition Symétries graphiques Sens de variation d une fonction Étude du sens de variation Tableau de variation Branches infinies Fonctions usuelles Bijections et fonctions réciproques Bijections Fonctions réciproques Fonctions usuelles Développements limités (DLs) 5 6. Notion de négligeabilité Définition Propriétés Développement limité Définition Formule de Taylor-Young pour le calcul des DL en Développement limité et approimation Développements limités usuels Opérations sur les DLs Développements limités et limites Bibliographie 57 Bibliographie 57

5 CHAPITRE Généralités sur les fonctions. Qu est ce qu une fonction?.. Définitions Définition. FONCTION, ENSEMBLE DE DÉFINITION, IMAGE, ENSEMBLE IMAGE, ANTÉCÉDENT. Une fonction, notée f, est une relation qui relie chaque élément d un ensemble de départ E f avec au plus un élément y d un ensemble d arrivée A f.. L ensemble de définition d une fonction, noté D f, est le sous-ensemble de E f constitué par les qui sont effectivement en relation par f avec un élément y de A f.. Si appartient à D f alors l unique élément y avec lequel il est en relation se note f (). On dit que y est l image de par f. 4. L ensemble formé par les images de tous les éléments de D f par f est un sous-ensemble de A f appelé ensemble image et noté I f. 5. Pour un élément de D f et son image y par f, est appelé un antécédent de y par f. Une fonction f est donc définie par trois informations : son ensemble de départ E f, son ensemble d arrivée A f et la règle de définition liant à y, dont sont déduit une quatrième information cruciale : l ensemble de définition D f 4. Elle se note : Notation. { E f : f A f y (.) Dans tout ce module, nous ne travaillerons que sur des fonctions de IR dans IR 5, ce qui signifie que les éléments de l ensemble de départ E f, ainsi que leurs images y dans l ensemble d arrivée A f, seront réels. Eemple La fonction carré est définie par : carré : { IR IR. Les ensembles de départ et d arrivée sont D carré = A carré = IR ; la règle de définition est y = carré()= ; l ensemble de définition est IR et l ensemble image est IR + 6. On remarque que :. Par abus de langage, la règle de définition est souvent appelée fonction, au risque d oublier les ensembles de départ et d arrivée. 4. Il ne servira à rien d étudier une fonction en des éléments qui n ont pas d images! 5. Par simplification de langage, nous parlerons de fonctions réelles 5

6 6 Généralités sur les fonctions. Pour n importe quel élément de D f, on peut toujours calculer son carré et donc lui associer (au plus) une valeur y = dans IR. Il s agit bien d une fonction.. Inversement, partant d un nombre y de l ensemble d arrivée A f, il n eiste pas toujours un antécédent de y par la fonction carré : l antécédent de y doit se comprendre ici comme étant l élément de IR dont le carré vaut y, c est à dire tel que = y. Si y <, on peut trouver au moins un nombre complee c tel que c = y (il s agit d ailleurs de c = i y et c = i y ), mais on ne peut pas trouver de nombres réels tel que = y. Donc si y <, y n a pas d antécédent par la fonction carré. Par contre, si y, y a deu antécédents par la fonction carré : = y et = y... Quelques fonctions usuelles Les fonctions usuelles, supposées connues, et leur ensemble de définition sont données table.. Fonction Epression D f Fonction constante k, avec k IR IR Fonction affine a+ b, avec a,b IR IR Monôme n, avec n IN IR Fonction polynomiale a n n + a n n a + a IR avec a n, a n,..., a, a réel et a n Racine carrée IR + Racine n-ième n = /n, avec n IN IR + Inverse IR Logarithme népérien ln() IR + Eponentielle e IR Sinus sin() IR Cosinus cos() IR Tangente tan()= sin() { π } IR \ cos() + kπ,k ZZ TABLE.: Fonctions usuelles et leurs domaines de définition. Graphe d une fonction Il est intéressant de disposer d une courbe représentative d une fonction : elle synthétise de façon visuelle (sans formule mathématiques) la définition de la fonction. Cette courbe représentative 7 est un dessin du graphe de la fonction dans le plan P, muni du repère orthonormé (, i, j ) : l ae des abscisses représente l ensemble de départ E f, l ae des ordonnées l ensemble d arrivée. On construit le graphe point par point : en faisant varier dans l ensemble de départ E f, on calcule son image y = f () par f puis on reportant le point M de coordonnées (, y) ( étant la valeur de l abscisse et y la valeur de l ordonnée). Définition. GRAPHE GÉOMÉTRIQUE Le graphe géométrique de f, noté G f, est défini par 8 : G f = { M(, f ()) P / D f } (.) 7. Il est d usage de l appeler graphe au lieu de courbe représentative, bien que la définition mathématique de ces deu objets soit différentes.

7 .. Règles de définition 7 Définition. GRAPHE GÉOMÉTRIQUE, EQUATION CARTÉSIENNE G f se définit également en faisant apparaître l équation cartésienne du graphe y = f () 9. G f = { M(, y) P / D f, y = f () }, (.) autrement dit, G f est l ensemble des points M du plan P d abscisse et d ordonnée y tel que appartienne à D f et y soit l image de par f. Eemple G f Le graphe géométrique de la fonction cube restreinte à l ensemble de départ [ ;] et définie par : { [ ;] IR cube restreint : (.4) est donné à droite. 5 5 y = f() y M(, y ) avec y =f( ). Règles de définition Dans l eemple précédent, la règle de définition de la fonction cube a une formalisation analytique très simple, au sens où elle se base sur une seule formule, valable quel que soit l élément de l ensemble de départ. Les règles de définition peuvent être plus complees. Prenons l eemple de la fonction valeur absolue. Pour déterminer la valeur absolue d un réel, il faut distinguer cas de figures : lorsque est positive (par eemple =.), sa valeur absolue est (ici.). par contre, lorsque est négatif (par eemple =.4), il faut supprimer l information de signe. Mathématiquement parlant, cela revient à multiplier le nombre par (en effet ( ) (.4)=.4). La formalisation mathématique de ces deu points conduit à la définition de la valeur absolue : Définition 4. VALEUR ABSOLUE valeur absolue : IR IR, avec { =, si =, si < (.5).. Variables muettes Le choi de la variable pour représenter un élément de l ensemble de départ et décrire la règle de définition d une fonction f n est qu arbitraire ; nous pourrions très bien choisir t (notamment si l ensemble de départ E f est lié à une information de temps). Tout l intérêt de la formalisation analytique de la fonction est justement de décrire la règle de définition pour n importe quel élément de E f (et donc n importe quelle variable le représentant) : on dit que est une variable muette. Elle permet de jongler aisément dans les écritures des images de la fonction. Si la fonction f est définie pour la variable et que l on veut calculer son image f (t) pour l élément t de E f, il suffit de remplacer par t dans la règle de définition. Eemple Soit la fonction f définie pour tout de IR dans IR par f ()= + +, alors : si on remplace par (un autre élément de E f ), f ( )= + +. comme on souhaite le faire avec les fonctions en informatique

8 8 Généralités sur les fonctions (+ T ) (+ T ) si on remplace par (+ T ), f (+ T )= + (+ T ) + si =., f (.)=. +. (.) +.. Paramètres Les fonctions peuvent également contenir un paramètre (qu on appelle parfois inde de la fonction). Ce paramètre permet de donner une écriture générique à un ensemble de fonctions. Il s assimile à une variable globale utilisée en informatique. Eemple La fonction porte de durée T, paramétrée par la variable T, est définie par la règle de définition suivante : [, si T f T ()= T, T ] (.6), sinon Son graphe est donné sur les deu figures ci-dessous pour différentes valeurs de T (à gauche le cas T =, à droite le cas T = 4). Là encore, on peut aisément jongler dans l écriture de la fonction, en faisant attention de bien repérer ce qui a trait à la variable muette de la fonction et à ses paramètres : La fonction porte de durée U est donnée pour tout de E f par : [ f U ()= U, si U, U ], sinon (.7) L image de 5t par la fonction porte de durée T est : [, si 5t T f T (5t)= T, T ] [, i.e. si t T, T ], sinon (.8) /T.6 G f y = f().4 y = f().4 /T.. G f. 5 5 T. 5 5 T.4 Opérations sur les fonctions Une fonction complee peut se définir comme un assemblage (par eemple une somme) de fonctions plus simples. Il convient alors de définir les types d assemblage (ou opérations) de fonctions avec lesquelles nous allons travaillé..4. Type d assemblage de fonctions Les définitions des types d assemblage de fonctions, résumées ici au règles de définitions, sont présentées table. pour deu fonctions f et g. Eemple

9 .4. Opérations sur les fonctions 9 Fonction Notation Définition de l image Fonction somme de f et g f + g (f + g )()= f ()+ g () Fonction opposée de f f ( f )() = f () Fonction différence de f et g f g (f g )()= f () g () Fonction produit de f et g f g (f g )()= f ()g () Fonction inverse de f Quotient de f et g f f ( ) ( f f ()= f () ) ()= f () g () g g Amplification de f par λ λf (λf )() = λf () (λ R) Composition de f par g g f (g f )()= g (f ()) TABLE.: Définitions des opérations usuelles sur les fonctions La fonction réelle h à valeurs dans IR définie par h() = (+ ) est la fonction produit des deu fonctions (elles aussi réelles à valeurs dans IR) f ()= et g ()=+, puisque pour tout réel, h() = f ()g (). La fonction h définie par h()= est l amplification de la fonction inverse f ()= d un facteur. On peut également la décrire comme le produit de la fonction inverse f ()= et de la fonction constante g ()=. Revenons sur le cas plus complee de la composition. Notons h = g f la fonction composée de f par g. Calculer l image de par h, notée z = h() = g ( f ()), revient : à appliquer f à l élément pour obtenir f () puis à appliquer g à l élément f () pour obtenir g ( f ()), autrement dit, à calculer l image de par f, notée y = f (), puis à calculer l image de y par g : z = h()= g ( f () ) = g (y) avec y = f () (.9) C est donc une sorte de mise en cascade des fonctions, que l on représente souvent sous la forme donnée figure de droite. On pourra remarquer que pour calculer l image par de la composée h, on fait agir f puis g, alors que l écriture de la composée s écrit à "l envers" : g f. f h = g f f() = y g g(y) = z Eemple La composition trouve notamment son intérêt lorsqu on veut programmer une fonction sur un ordinateur et éviter des calculs redondants. Soit la fonction h réelle définie par : h()= (.) Une programmation "naïve" de h conduirait à coder 4 opérations ( addition (+ ), inversion /(+ ) puis additions (+,+)). Posons maintenant f la fonction telle que f () = + (qui ne nécessite qu une addition pour être implémentée) et notons y = f (). On remarque alors que h() = y + y et donc si l on pose g (y)= y+ y, h est la composée de f par g (puisque h()=g (y)=g (f ())). g pouvant être codée avec opérations (une inversion et une addition), nous n avons plus besoin pour calculer h() que de opérations au total.

10 Généralités sur les fonctions.4. Ensemble de définition Partant de l ensemble de définition des fonctions usuelles, on peut déduire celui de fonctions plus complees en utilisant les règles d opérations sur les fonctions. Ces règles sont données table.. Fonction Somme f + g Opposée f Différence f g Produit f g Inverse f Ensemble de définition D f+g = D f D g D f = D f D f+g = D f D g D f g = D f D g D /f = { D f /f () } Quotient f g D f /g = { D f D g /g () } Amplification λf (avec λ IR) D λf = D f Composition g f D g f = { D f /f () D g } TABLE.: Ensemble de définition des fonctions issues d une opération sur des fonctions usuelles Eemple Ensemble de définition de la fonction réelle définie par h()= + : h est le produit de la fonction polynomiale f ()=+ définie sur D f = IR et de la fonction inverse g ()=, d ensemble de définition D g = IR. Donc d après les règles d opération sur les fonctions, l ensemble de définition du produit h = f g est D h = D f D g = IR IR, autrement dit l ensemble des points communs entre IR et "IR privé de ", soit D h = IR. Ensemble de définition de la fonction réelle définie par h() = 5 : si l on pose y = 5, on a h()= y ; on se rend compte que h est la composée de la fonction f : 5 par la fonction g : y y. f a pour l ensemble de définition D f = IR (comme fonction affine) ; g est la fonction usuelle racine cubique (y n y avec n= ), définie sur D g = IR+. D après les règles d opérations sur les fonctions, l ensemble de définition de la composée h est l ensemble des réels de D f tel que les images y = f () appartiennent à D g : on cherche donc les réels tels que les y = f ()= 5 appartiennent à IR +, autrement dit tels que y = 5. Comme 5 si et seulement si 5, alors D h = [5;+ [..4. Domaine de définition et graphe Les réels n appartenant pas à l ensemble de définition d une fonction f ne peuvent pas être les abscisses de point de la courbe représentative de f puisqu ils n ont pas d images par la fonction f. Eemple Considérons la fonction h()= ( )(+ ). Il s agit de la composition de la fonction polynomiale f ()=( )(+ ) avec la fonction racine g (y)= y. Déterminons son domaine de définition : la fonction g étant définie sur IR +, d après les règles d opérations sur les fonctions, h n est définie que pour les D f (avec D f IR) tel que f () IR +. Comme f () est un polynôme ayant deu racines ( et ), on peut rapidement tracer son tableau de signe :. où signifie intersection

11 .4. Opérations sur les fonctions f() + La fonction h est donc définie dans ] ; ] [;+ [ où indique la réunion. Son graphe est donné figure à droite ; on y voit bien que tous les points entre ] ;[ ne sont pas définis par h et n ont donc pas d images associées. Un "trou" apparaît dans le graphe de la fonction. + y = h() G h

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13 CHAPITRE Limites L étude des limites d une fonction f traite de l analyse locale du comportement d une fonction : lorsqu on fait tendre vers (i.e. lorsqu on approche de) a, on souhaite connaître le comportement de f () notamment savoir si la fonction tend vers une valeur l finie ou infinie. On s intéressera au comportement local d une fonction en un point précis a (fini), mais aussi à son comportement en l infini (lorsque a vaut+ ou ).. Définitions La limite d une fonction f en a (a étant aussi bien un réel fini que+ ou ) se note : Notation. lim f ()=lim f (.) a a.. Limite finie en un point Définition 5. La fonction f admet une limite finie l IR au point a, i.e. lim f ()=lim a a si (SSI) pour tout ǫ>, il eiste un réel η> tel que pour tout D f f = l, si et seulement si < a <η alors f () l <ǫ (.) autrement dit, on peut rendre f () aussi voisin de l que l on veut à la seule condition de prendre suffisamment voisin de a... Limite finie en l infini Définition 6. La fonction f a pour limite l R en+, i.e. lim f ()=lim f = l, SSI pour tout ǫ>, il eiste + + un réel A> tel que pour tout D f : si > A alors f () l <ǫ (.) autrement dit, on peut rendre f () aussi proche de l que l on veut à la condition de prendre suffisamment grand.

14 4 Limites Définition 7. La fonction f a pour limite l R en, i.e. lim f ()=lim f = l, SSI pour tout ǫ>, il eiste un réel A> tel que pour D f : si < A alors f () l <ǫ (.4).. Limite infinie en un point Définition 8. La fonction f a pour limite+ en a, i.e. lim f ()=lim a a un réel η> tel que pour tout D f f =+, SSI pour tout B >, il eiste si < a <η alors f ()>B (.5) autrement dit, on peut rendre f () aussi grand que l on veut à la seule condition de prendre suffisamment voisin de a. Définition 9. La fonction f a pour limite en a, i.e. lim f ()=lim a a un réel η> tel que pour tout D f, f =, SSI pour tout B >, il eiste si < a <η alors f ()< B (.6)..4 Limite infinie en l infini Définition. La fonction f a pour limite + en +, i.e. lim f ()=lim f =+, SSI pour tout B >, il + + eiste un réel A> tel que pour D f si > A alors f ()>B (.7) autrement dit, on peut rendre f () aussi grand que l on veut à la seule condition de prendre suffisamment grand. Définition. La fonction f a pour limite + en, i.e. lim f ()=lim f =+, SSI pour tout B >, il eiste un réel A> tel que pour tout D f, si < A alors f ()>B (.8) Définition. La fonction f a pour limite en +, i.e. lim f ()=lim f =, SSI pour tout B >, il + + eiste un réel A> tel que pour tout D f, si > A alors f ()< B (.9) Définition. La fonction f a pour limite en, i.e. lim f ()=lim f =, SSI pour tout B >, il eiste un réel A> tel que pour tout D f, si < A alors f ()< B (.)

15 .. Définitions 5..5 Eemples de limites Une visualisation des quatre configurations de limites est donnée ci-dessous : lim sin c ()= avec sin c ()= sin(π) π lim + = lim =+ lim =+ + Donnons une interprétation graphique à la définition des limites en prenant l eemple d une limite finie l en un point a (figure en haut à gauche). On est assuré que tous les points du graphe G f, c est à dire les points M(, f ()) au voisinage du point (a,l) se trouvent à l intersection de deu tuyau : le premier, vertical, représente les points du plan dont l abscisse est distante de a d au plus η (à gauche comme à droite de a), c est à dire tel que < a <η, le second, horizontal, représente les points du plan dont l ordonnée y est distante de l d au plus ǫ (en dessous comme au dessus de l), dès que l on a pu trouver un η satisfaisant, c est à dire tel que f () l <ǫ. Dans les définitions précédentes des limites en un point a, on fait tendre vers a indifféremment par valeurs supérieures à a (à droite de a) ou par valeurs inférieures à a (à gauche de a). On peut limiter la façon de faire tendre vers a : soit au valeurs supérieures de a (à la partie à droite de a dans le tuyau) ; on parlera alors de limite par valeur supérieure, notée lim a + f (), soit au valeurs inférieures de a (à la partie à gauche a dans le tuyau) ; on parlera alors de limite par. Les définitions effectives sont : lim f ()=l a + SSI ǫ>, η> tel que D f si < a< η alors f () l <ǫ lim a f ()=l SSI ǫ>, η> tel que D f si < a < η alors f () l <ǫ lim f ()=+ a + SSI B >, η> tel que D f si < a< η alors f ()>B lim a f ()=+ SSI B >, η> tel que D f si < a < η alors f ()>B

16 6 Limites valeur inférieure, notée lim a f (). Ces définitions étant relativement complees et donc peu utilisables en pratique, nous allons être amenés à définir un ensemble d outils pour pouvoir calculer la limite des fonctions.. Calcul pratique de limites.. Limites de référence Les limites d un ensemble de fonctions usuelles sont supposées connues et sont résumées table.. Fonction Limite en Limite en+ Limite en Constante k (k R) k k k Puissance n (n N ) + si n pair + Racine carrée si n impair non définie + + Inverse + si + si Log népérien ln() non défini + pour + Eponentielle e + Sin pas de limite pas de limite Cos pas de limite pas de limite Tan pas de limite pas de limite Arctangente π π TABLE.: Limites des fonctions usuelles.. Opérations algébriques sur les limites Étant donnée deu fonctions f et g dont on connaît les limites, on peut déterminer - grâce à différents théorèmes - les limites des fonctions somme, différence, amplification, produit et quotient. Les résultats de ces théorèmes sont résumés dans les tables., où la fonction signe est définie par : Définition 4. FONCTION SIGNE sign() =, si >, si =, si < (.) Les notations utilisées sont les suivantes : (*) indique que le signe dépend des fonctions, FI indique une Forme Indéterminée, ces deu cas nécessitant une étude à part entière plus poussée. sign() désigne la fonction signe ; cette fonction vaut si >, - si <. Eemple Limite en de la fonction f () =.arctan() Cette fonction est le produit de la fonction, ( de limite ) ( en, et de) la fonction arctangente de limite π/ en. Donc par produit, lim f ()= lim. lim arctan() =. lim f ()= a + SSI B >, η> tel que D f si < a< η alors f ()< B lim f ()= a + SSI B >, η> tel que D f si < a < η alors f ()< B

17 .. Calcul pratique de limites 7 lim f a ou lim a ou L L L+ L lim f + g a ou + L + L FI + FI Somme lim f a ou lim a ou L L LL lim f g a ou + L sign(l ) si L FI si L = L sign( L ) si L FI si L = Produit lim f a ou L lim λf a ou λl + sign(λ) si λ si λ= sign( λ) si λ si λ= Amplification lim f a ou lim g a ou lim a ou L L L/L si L,L ± (*) si L et L = FI si L= L = + L sign(l ) si L ± (*) si L = L sign( L ) si L ± (*) si L = L + FI f g Quotient TABLE.: Limites résultant d opérations sur les fonctions.. Relation d ordre Si l on sait comparer une fonction f () à une autre g () dont on connaît la limite, on peut dans certains cas déduire la limite de f. Ce sont les relations d ordres énoncées ainsi : Théorème. RELATION D ORDRE EN + Soient trois fonctions f, g et h, définies sur IR. Pour tout suffisamment grand (i.e. tendant vers+ ),. si f () g () et lim g =+, alors lim f =+, + +. si f () g () et lim g =, alors lim f =, + +. si f () l g () et lim g =, alors lim f = l. + + Théorème. RELATION D ORDRE EN Soient trois fonctions f, g et h, définies sur IR. Pour tout suffisamment proche de,. si f () g () et lim g =, alors lim f =,. si f () g () et lim g =+, alors lim f =+.. si f () l g () et lim g =, alors lim f = l.

18 8 Limites Théorème. Soient trois fonctions f, g et h, définies sur IR et a désignant indifféremment un réel fié,+ ou. Si f () g () h() et lim a f = lim a h, alors lim a g = lim a f = lim a h. Eemple Limite de la fonction f () = ( + cos()) en + Cette limite n est pas immédiate car cos() n a pas de limite en +. Par contre, on sait que pour tout réel, cos(), donc +cos(). Dès lors que devient assez grand (notamment devient positif), on déduit en multipliant l inégalité précédente par que f (). Comme les deu fonctions et tendent vers + en +, alors par relation d ordre, f () aussi : lim + f =+...4 Équivalence Définition 5. EQUIVALENCE Deu fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de a (a désignant indifféremment un réel fié, + ou ) s il eiste un intervalle I contenant a et une fonction ǫ définie sur I tel que : I, f ()= g ()(+ǫ()) avec lim a ǫ()= (.) On note alors : Notation. f a g (.) La notion d équivalence est très importante et très pratique (notamment en physique) : elle indique que deu fonctions ont un comportement "quasi identique" (à une quantité ǫ près qu on pourra souvent négliger) au voisinage d un point ou au voisinage d un infini. Pour s en convaincre, il suffit de voir sur la figure de droite à quel point la fonction tangente est "proche" de sa fonction équivalente en, qui n est autre que la fonction : tan() De fait, dans ce voisinage, les deu fonctions ont les mêmes limites. En physique, on échange souvent l une et l autre dans l écriture des epressions mathématiques, en fonction des besoins. y = f() G f : f()=tan() G g : g()= Théorème 4. Si f a g, alors lim a f = lim a g. Pour le calcul des limites, on peut donc utiliser toutes les équivalences usuelles résumées table.. Cette table est complétée par deu résultats très utiles sur les polynômes et les fractions rationnelles.

19 .. Calcul pratique de limites 9 (+ ) α +α (avec α IR + ) ( ) α α (avec α IR + ) ( ) α +α (avec α IR + ) (+ ) α α (avec α IR + ) ln(+ ) ln( ) sin() arcsin() π cos() arccos() tan() arctan() TABLE.: Table des équivalences usuelles Théorème 5. ÉQUIVALENT D UN POLYNÔME Une fonction polynomiale de type P() = a n n + a n n a + a où l entier naturel n est le degré du polynôme, a n, a n,... a et a ses coefficients réels avec a n, admet pour équivalent : en+ et en : le monôme de plus haut degré muni de son coefficient, c est à dire f () + a n n et f () a n n. en : le monôme de plus petit degré muni de son coefficient non nul, c est à dire f () a j j où j est le plus petit indice (variant de à n) tel que a j. Théorème 6. ÉQUIVALENT D UNE FRACTION RATIONNELLE Une fraction rationnelle de type F () = P() où P() = a n n + a n n a + a et Q() Q() = b m m + b m m +...+b + b sont deu polynômes de degré respectifs n et m admet pour équivalent : en+ et en : le quotient du monôme de plus haut degré de P() muni de son coefficient sur a n n le monôme de plus haut degré de Q() muni de son coefficient, c est à dire f () + b m m et a n n f () b m m. en le quotient du monôme de plus petit degré de P() muni de son coefficient non nul sur le a j j monôme de plus petit degré de Q() muni de son coefficient non nul, c est à dire f () b i i où j est le plus petit indice (variant de à n) tel que a j et où i est le plus petit indice (variant de à m) tel que b i. Eemple Équivalent du polynôme P()= + 5+ On a P()= , donc : P() +, car le monôme de plus haut degré de P() est P(), pour la même raison P(), car le monôme de plus petit degré et de coefficient non nul de P() est. Eemple Équivalent de la fraction rationnelle F ()= F () + 6 4, car le monôme de plus haut degré du numérateur (P()= + 5+ ) est et celui du dénominateur (Q()=6 4 +.) est 4, F () pour les mêmes raisons 64 F (), car le monôme du numérateur, de plus petit degré et de coefficient non nul,. est et le monôme du dénominateur (Q()= ), de plus petit degré et de coefficient non nul est.

20 Limites..5 Croissance comparée de log, ep et puissance Un dernier résultat très intéressant concerne les fonctions logarithme et eponentielle qui tendent toutes deu vers + en +. On sait comparer l allure de leurs courbes par rapport à celle des fonctions puissances : ce sont les règles de croissance comparée du logarithme et de l eponentielle au fonctions puissance. Théorème 7. RÈGLES DE CROISSANCE COMPARÉE, DITE ln()<< α << e Pour tout réel α>, ln() lim + α = lim + e α = G f : f()=ln() G g : g()=ep() G h : h()= Ces règles indiquent qu en+, le logarithme tend moins vite vers l infini que n importe quelle fonction puissance, qui elles-même tendent moins vite vers l infini que l eponentielle. Pour s en convaincre, il suffit de regarder les graphes de ces fonctions sur la figure de droite. y = f()

21 CHAPITRE Continuité La notion de continuité s intuite rapidement à partir du graphe représentatif d une fonction : il s agit "de pouvoir tracer ce graphe sans lever le stylo" ; la courbe représentative "ne saute pas" d un point à un autre. Ce chapitre définit la notion de continuité d abord au travers d une étude très localisée de la fonction (en un point) puis sur des plages plus larges d étude de la fonction (i.e. sur des intervalles).. Continuité.. Continuité en un point... Définition Définition 6. CONTINUITÉ EN UN POINT Soit un point réel du domaine de définition D f de f. Une fonction réelle f est :. continue au point SSI lim f ()= f ( ).. continue à droite du point SSI lim f ()= f ( ). +. continue à gauche du point SSI lim f ()= f ( ). Les trois figures ci-dessous illustrent la notion de continuité f() y y y.5 f().5.5 f() Continuité en Continuité à droite de Continuité à gauche de Remarque : Une fonction ne peut pas être continue en un point où elle n est pas définie.... Cas de non-continuité La notion de continuité s apprécie aussi dès qu on s intéresse au configurations pour lesquels une fonction f n est pas continue. On peut distinguer les deu cas de figures suivant :

22 Continuité Cas nř Cas nř y y f n est pas définie en Dans cet eemple, = et f ()= f définie en mais lim f () f ( ) Dans cet eemple, = et f ()=sign()... Prolongement par continuité Lorsqu une fonction f n est pas définie en un point fini, mais qu elle admet la même limite finie l en par valeurs inférieures et par valeurs supérieures ( lim f ()= lim f ()=l), on peut déduire de f une autre + fonction f ˆ qui, elle, est continue en. Cette fonction f ˆ est appelée prolongement par continuité de f et est telle que : Définition 7. PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ DE f f ˆ : IR IR { f (), si D f (et donc ) (.) f ˆ( )=l, si = Eemple Continuité du sinus cardinal en La fonction sin(π) n est pas définie en π mais peut être prolongée par continuité en, sin(π) sin(π) puisque lim = lim =. Son prolongement est la fonction sinus cardinal, notée + π π sin c et définie par : y.5.5 { sin(π), si IR sin c ()= + π, si = Son graphe est donné figure de droite. (.) Continuité sur un intervalle Définition 8. CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE Une fonction f est définie et continue sur un intervalle [a, b] si les trois conditions suivantes sont réunies :

23 .. Continuité. f est continue en tout point ]a;b[. f est continue à droite de a. f est continue à gauche de b Théorème 8. L image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle... Ensemble de continuité d une fonction... Définition Définition 9. ENSEMBLE DE CONTINUITÉ On appelle ensemble de continuité d une fonction f, noté C f, l ensemble formé par les réels (de l ensemble de définition D f ) en lesquels la fonction f est continue. En pratique, on fait rarement appel au définitions de la continuité pour déterminer l ensemble de continuité d une fonction f. On préfère (si cela est possible) écrire f sous forme d une suite d opérations (somme, produit, etc...) impliquant des fonctions usuelles dont on connaît l ensemble de continuité. On utilise ensuite les règles d opérations sur les fonctions.... Ensemble de continuité des fonctions usuelles Les ensembles de continuité (notés C f ) des fonctions usuelles sont données table.. Fonction Epression C f Constante k, avec k IR IR Monôme n, avec n IN IR Polynôme a n n + a n n a IR avec n IN, a n IR et a n,..., a, a IR Racine carrée IR + Racine n-ième n = /n avec n IN IR + Inverse IR Fraction rationnelle N () D() IR \ { IR/D()=} Sinus sin() IR Cosinus cos() IR { π } Tangente tan() IR \ + kπ,k Z Log. népérien ln() IR + Eponentielle ep() IR Valeur absolue IR TABLE.: Ensemble de continuité des fonctions usuelles... Opérations sur les fonctions Partant de l ensemble de continuité des fonctions usuelles, on peut déduire celui de fonctions plus complees en utilisant les règles d opérations sur les fonctions. Ces règles sont données table..

24 4 Continuité Fonction Ensemble de continuité Somme f + g C f+g = C f C g Opposée f C f = C f Différence f g C f+g = C f C g Produit f g C f g = C f C g Inverse f C /f = { C f /f () } Quotient f g C f /g = { C f D g /g () } Amplification λf (λ IR) C λf = C f Composition g f C g f = { C f /f () C g } TABLE.: Ensemble de continuité des fonctions issues d une opération entre deu fonctions f et g a Eemple Ensemble de continuité de la fonction h()=, avec a un paramètre réel quelconque a La fonction h est le quotient de la fonction f : a, définie sur D f = IR et continue sur C f = IR, et de la fonction affine g : a définie sur D g = IR et continue sur D g = IR. Ensemble de définition : D après les règles d opérations sur les fonctions, h est définie pour l ensemble des de D f D g (autrement dit IR) tel que g (). Or a = SSI = a donc l ensemble de définition de h est D h = IR \ {a}. Ensemble de continuité : D après les règles d opérations sur les fonctions, h est continue sur l ensemble des de C f C g (soit IR) tel que g (), donc comme précédemment h est continue sur IR \ {a}. Pourrait-on prolonger la fonction h par continuité en a? Si a, on a f ()= a =( a) tandis que si < a (autrement dit a< ), f ()= a = ( a). On doit donc distinguer la limite en a par valeurs supérieures de celle par valeurs inférieures : on a a lim h()= lim a + a + a = lim a a + a = lim = a + et a lim h()= lim a a a = lim ( a) a + a = lim a =.5 Donc h ne peut pas être prolongé par continuité en a car lim a + h lim a h. Le graphe de la fonction, donné sur la figure de droite dans le cas particulier où a =, confirme cette conclusion : on constate que la fonction présente un saut en a et qu elle tend à droite et à gauche de a vers des valeurs différentes. y.5.5 a.5 5 5

25 CHAPITRE 4 Dérivation La dérivée d une fonction permet de déterminer comment une fonction varie quand la quantité dont elle dépend (son argument) change. Plus précisément, son epression donne le rapport entre les variations infinitésimales de la fonction et les variations infinitésimales de son argument. Par eemple, la vitesse est la dérivée d une fonction eprimant le déplacement d un objet par rapport au temps, et l accélération est la dérivée, par rapport au temps, de la vitesse. Dans ce chapitre, on rappelle les définitions relatives au dérivées, ainsi que les techniques de calcul de la fonction dérivée. 4. Dérivabilité 4.. Dérivabilité en un point a 4... Définitions Définition. TAUX DE VARIATION On appelle tau de variation de f entre les points et de D f la quantité, notée T f (, ), définie par : T f (, )= f ( ) f ( ) (4.) Il est illustré sur la figure de droite : graphiquement, le tau de variation T f (, ) est la pente de T (, ) f la droite orientée passant par les deu points du G f M(, f( )) graphe : M(, f ( )) et M(, f ( )) y = f() M(, f( )) Définition. DÉRIVABILITÉ EN UN POINT, NOMBRE DÉRIVÉ Une fonction f définie sur un intervalle I (inclus dans le domaine de définition D f de f ) est dérivable en a I s il eiste un réel A et une fonction ǫ tel que : f () f (a) T f (, a)= a = A+ ǫ() avec lim a ǫ()=. (4.) On note le nombre dérivé de f en a : A= f (a) (4.) Cette définition donne également le développement limité de f à l ordre, c est à dire une approimation de la fonction f au voisinage de a sous la forme d un polynôme de degré (et d un reste) : f ()= f (a)+ f (a)( a)+( a)ǫ() (4.4) 5

26 6 Dérivation Nous reviendrons au chapitre?? sur cet outil très utilisé en physique. f () f (a) Théorème 9. f est dérivable en a (avec a D f ) SSI lim admet une valeur finie A. Dans ce a a cas, son nombre dérivé en a est f (a)= A Interprétation géométrique Considérons le graphe de la fonction f : 4 ( ) +, donné sur la figure cicontre. Le tau de variation T f (, a) entre et a s interprète graphiquement comme la pente de la droite passant par le point M(a, f (a)) (d abscisse a et d ordonnée f (a)) et le point M(, f ()) (d abscisse et d ordonnée f ()). Lorsqu on fait tendre vers a, on rapproche le point M(, f ()) du point M(a, f (a)) en suivant le tracé du graphe de f. La droite passant par ces points tend alors vers la tangente à la courbe au point M(a, f (a)). La pente de cette tangente n est autre que le nombre dérivée f (a). y M(a, f(a)) M(, f()) 4 5 Comme dans le cas de la continuité, on peut faire tendre vers a seulement par valeurs supérieures ( > a) ou par valeurs inférieures ( < a). On parlera alors de dérivabilité à droite et à gauche de a. f est dérivable à droite de a si lim a + f () admet une valeur réelle finie notée A d. f est dérivable à gauche de a si lim a f () admet une valeur réelle finie notée A g. Eemple Cas de dérivabilité à gauche et à droite Certaines fonctions, non dérivables en a, peuvent néanmoins admettre une dérivée à droite et une dérivée à gauche différentes. C est le cas de la fonction f : + en. Prenons un réel positif et non nul quelconque. Le tau d accroissement entre les points et (avec comme >, = ) est : f () f () + T f (, ) = = = +. Donc lim T f (, )=. Par contre, si l on prend +.5 maintenant un réel négatif et non nul, le tau d accroissement entre les points et (avec cette fois <, = ) devient :.5 f () f () T f (,) = = ( Tgte en à gauche Tgte en à droite ( )+ ), soit T f (,)= +. Donc lim T f (,)= On a deu tangentes (en vert et en rouge) à la courbe en : l une à droite de de pente / et l autre à gauche de de pente /. y G f 4... Dérivabilité et continuité Théorème. Si f est dérivable en a alors f est continue en a.

27 4.. Dérivabilité Dérivabilité sur un intervalle Définition. DÉRIVABILITÉ SUR UN INTERVALLE, ENSEMBLE DE DÉRIVABILITÉ. Une fonction f est dérivable sur un intervalle I SSI f est dérivable en tout point de I.. On appelle ensemble de dérivabilité d une fonction f, noté B f, l ensemble des réels en lesquels la fonction est dérivable. Définition. DÉRIVÉE On appelle fonction dérivée (ou dérivée) de f la fonction qui à tout de l ensemble de dérivabilité B f associe le nombre dérivé de f en, f (). On note cette fonction f. { f B : f IR f () (4.5) 4.. Calcul pratique de la dérivée d une fonction Avant de procéder au calcul de la dérivée d une fonction, il convient toujours de déterminer sur quel ensemble la fonction est dérivable. On peut alors faire appel au fonctions usuelles dont on connaît et l ensemble de dérivabilité et la dérivée. On utilisera ensuite les règles d opérations sur les fonctions pour déduire l ensemble de dérivabilité puis la dérivée de fonctions plus complees Ensemble de dérivabilité et dérivées des fonctions usuelles La table 4. résume l ensemble de dérivabilité et la dérivée des fonctions usuelles, supposées connues. Fonction f Ensemble de Dérivée dérivabilité B f Constante f ()=k (avec k IR) IR f ()= Monôme f ()= n (avec n IN ) IR f ()=n (n ) Puissance f ()= α (α R \ IN) IR + f ()=α (α ) Racine carrée f ()= IR + f ()= Racine n-ième (avec n IN ) IR + si n pair f ()= n ( n ) Inverse f ()= R f ()= f ()= n R f ()= n n+ Logarithme népérien f ()=ln() IR + f ()= Eponentielle f ()=ep() IR f ()=ep() Cosinus f ()=cos() IR f ()= sin() Sinus f ()=sin() IR f ()=cos() { π } Tangente f ()=tan() IR \ + kπ/k ZZ f ()= cos () = +tan () TABLE 4.: Ensemble de dérivabilité et dérivée des fonctions usuelles

28 8 Dérivation Fonction Ensemble de dérivabilité Dérivée Somme f + g B f+g = B f B g (f + g ) ()= f ()+ g () Opposée f B f = B f ( f ) ()= f () Différence f g B f g = B f B g (f g ) ()= f () g () Produit f g B f g = B f B g (f g ) ()= f ()g ()+ f ()g () Amplification λf B λf = B f (λf ) ()=λf () (λ R) ) ()= f () Inverse f B f = { B f /f () } ( ) f f () ()= f ()g () f ()g () Quotient f B = { B f B g /g () } ( f g f g g () Composée g f B g f = { } B f /f () B g (g f ) ()= f ()g ( f () ) TABLE 4.: Ensemble de dérivabilité et dérivée résultant des opérations sur les fonctions Opérations sur les fonctions Considérons f et g deu fonctions définies et dérivables sur leurs ensembles de dérivabilité respectifs et de dérivées respectives f et g. La table 4. donne l ensemble de dérivabilité et l epression de la dérivée de toutes fonctions résultantes des opérations usuelles sur f et g. ( ) Eemple Ensemble de dérivabilité et dérivée de la fonction f : tan La fonction f est la composée des deu fonctions usuelles inverse (f : ) d ensemble de { dérivabilité B = IR et tangente (f : y tan(y)) d ensemble de dérivabilité π } B = IR \ + kπ/k ZZ. D après les règles d opération sur les fonctions, l ensemble de dérivabilité de f est l ensemble des de B (soit IR + ) tel que f ()= { π } appartienne à B = IR\ + kπ/k ZZ autrement dit soit différent d un réel s écrivant sous la forme π +kπ avec k un entier quelconque. Or pour non nul et k ZZ, = π + kπ SSI = π + kπ, sachant que π ne peut jamais + kπ { } être nul. Donc l ensemble de dérivabilité de f est B f = IR \ π /k ZZ. + kπ Pour tout de B f, comme f ()= et f ()=+tan (), d après les règles de dérivation sur les composées, f ()= f ()f ( f () ) = ( +tan (f ()) ) = ( ( )) +tan Dérivées à l ordre n On peut étendre la notion de dérivabilité d une fonction à l ordre n : Si la fonction f est dérivable sur un intervalle I et si sa dérivée f est dérivable elle-même sur I de dérivée (f ), on dit que f est dérivable à l ordre et on appelle (f ) sa dérivée seconde/deuième ; on la note f ou f (). En généralisant n fois, une fonction f est dérivable à l ordre n sur un intervalle I si toutes ses dérivées d ordre inférieur à n eistent et sont dérivables sur I. On note alors la dérivée à l ordre n de f : Notation. n fois { }} { ( (f f (n) ()=...( ) ) )... () (4.6)

29 4.. Sens de variation d une fonction 9 Eemple Dérivée à l ordre n de la fonction inverse Montrons par récurrence que la fonction inverse f : est dérivable une infinité de fois sur IR et que sa dérivée n-ième vaut f (n) () = ( ) n n!, où n! est la factorielle de n dont la n+ définition est rappelée plus bas.. Au rang n = : On s intéresse à la dérivée d ordre, f (), qui n est autre que la fonction f elle-même : cette fonction est dérivable sur IR et l epression de cette dérivée au rang n= est bien de la forme f (n) ()=( ) n n! car en remplaçant n par, on retrouve l epression n+ de f : f () = ( )! = = f ().. Du rang n au rang n+ : On se donne un entier naturel n quelconque. Hypothèse de récurrence : On suppose la propriété vraie au rang n, c est à dire que la dérivée n-ième de f, f (n), eiste, est dérivable sur IR et vaut f (n) ()=( ) n n! n+. Montrons que : la propriété est vrai au rang n+, i.e. que la dérivée (n+ )-ième de f, f (n+), eiste, est dérivable sur IR et a pour epression f (n+) n+ (n+ )! ()=( ) n+. Démonstration : Puisque f (n) () est dérivable sur IR, sa dérivée (f (n) ) = f (n+) eiste et est définie sur l intervalle de dérivabilité de f (n) qui est d après l hypothèse de récurrence IR. De plus, pour tout de IR, comme f (n) ()=( ) n n! n+, alors : f (n+) ()=(f (n) ) ()= ( ( ) n n! (n+)) = ( ) n n!( (n+ )) (n+) d après les règles de dérivation des fonctions puissances, puis en regroupant correctement les termes, on retrouve bien l epression attendue : f (n+) ()= ( ( ) n ( ) ) (n!(n+ )) n = ( ) n+ (n+ )!, car (n!) (n+ )=( n+... (n ) n) (n+). Enfin, au regard de l epression de f (n+) ()=( ) n+ (n+)! n+, cette fonction est dérivable sur IR puisqu il s agit d une fraction rationnelle. On a donc démontré les trois points attendus. Puisque la propriété est vrai au rang n = et qu elle se déduit du rang n au rang n+, alors, de proche en proche, on déduit que la propriété est vrai pour tout n IN par récurrence. Remarque : Ce type de démonstration (par récurrence) sera approfondi au module M6. Définition 4. FACTORIELLE La factorielle d un entier n IN, noté n!, est définie par : {!=, si n= n!=... (n ) n, si n, c est à dire n! est le produit des entiers non nuls jusqu à n. (4.7) Remarque : On parlera de fonction infiniment dérivable sur sa dérivée à l ordre n eiste pour tout n IN. 4. Sens de variation d une fonction 4.. Définitions Soient f une fonction réelle à valeurs réelles et D un intervalle inclus dans le domaine de définition de f. Définition 5. CROISSANCE D UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE La fonction f est : [ croissante sur D SSI, D, T f (, ) ] [ SSI, D tel que >, f ( ) f ( ) ]. Cela signifie que la fonction f ne diminue pas.

30 Dérivation strictement croissante sur D SSI [, D, T f (, )> ] SSI [, D tel que >, f ( )> f ( ) ]. Cela signifie que la fonction f augmente effectivement. Définition 6. DÉCROISSANCE D UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE La fonction f est : [ décroissante sur D SSI, D, T f (, ) ] [ SSI, D tel que >, f ( ) f ( ) ]. Dans ce cas le graphe G f "descend" ou "stagne". [ strictement décroissante sur D SSI, D, T f (, )< ] [ SSI, D tel que >, f ( )< f ( ) ]. Dans ce cas, la fonction diminue effectivement. Définition 7. CONSTANCE D UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE [ f est constante sur D SSI, D, T f (, )= ] [ SSI, D tel que >, f ( )= f ( ) ]. Dans ce cas, le graphe G f "stagne". Eemple La fonction cube est strictement croissante sur IR (cf figure donnée page 7). ] La fonction porte est constante sur ; T [ ] (et vaut ), constante sur T ; T [ (et vaut ] [ T /T ), constante sur ;+ (et vaut ) (cf chapitre ). La fonction dont le graphe est donnée cicontre est décroissante sur IR mais n est pas strictement décroissante sur IR. Elle est strictement décroissante sur ] ;[ et sur ]; [. y = f() Accroissements finis Théorème. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] et dérivable sur ]a;b[ (avec a,b IR avec a b).. FORMULE DES ACCROISSEMENTS FINIS : Il eiste au moins un réel c ]a;b[ tel que : f (b) f (a)=(b a)f (c) ou de manière équivalente f (c)=t f (a,b) (4.8). INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS : Si pour tout ]a;b[, f () M où M est un réel positif fié, alors :, ]a;b[, f ( ) f ( ) M. (4.9) Ce théorème a une conséquence majeure : il démontre que le sens de variation d une fonction dépendant du signe de sa dérivée. En effet, d après la définition 5, le sens de variation sur un intervalle I dépend du signe du tau de variation entre tous les points a, b de I. Or ce tau de variation égale la dérivée de f en un point c de ]a;b[, donc le signe de ce tau est donné par le signe de la dérivée. Théorème. Soient f une fonction dérivable de dérivée f sur un ensemble B f et I un intervalle inclus dans B f. La fonction f est :

31 4.. Sens de variation d une fonction croissante sur I SSI D, f (). décroissante sur I SSI D, f (). constante sur I SSI D, f ()=. Remarque : La fonction f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) si f ()> (respectivement f ()< ) ou si f () (respectivement f () ) et l ensemble des réels de I tel que f ()= ne contient aucun intervalle ouvert non vide. Eemple Sens de variation de la fonction f définie par f ()=( ) avec les deu méthodes La fonction f est la composition d une fonction affine ( ) avec la fonction cube (y y ) toutes deu définies sur IR. Donc f est définie sur IR. Méthode : Tau de variation : Soient et deu réels tels que >. Alors >. Or, on a vu que la fonction cube est strictement croissante, donc quels que soient y et y tel que y > y alors y > y. En particulier pour y = et y =, on obtient ( ) > ( ), autrement dit f ( )> f ( ). Donc la fonction f est strictement croissante sur IR. Méthode : Dérivée : La fonction f est dérivable sur IR comme composée de deu fonctions usuelles dérivables sur IR. Sa dérivée pour IR vaut : f ()=( ). Tout nombre réel au carré étant positif, alors f (). Donc par théorème, f est croissante sur IR. 4.. Etrema Définition 8. EXTREMUM (MAXIMUM OU MINIMUM) Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de cet intervalle.. f admet un maimum en a sur I si pour tout I, f () f (a).. f admet un minimum en a sur I si pour tout I, f (a) f ().. Un etrêmum de la fonction en a sur I est un maimum ou un minimum de f en a sur I. Théorème. EXISTENCE D UN EXTREMUM Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un point de I (différent des etrémités de l intervalle). Si la dérivée f de f s annule en a (autrement dit f (a)=) et change de signe en a, alors il eiste un voisinage de a sur lequel la fonction f admet un etremum en a. Eemple Considérons la fonction polynomiale f : + + dont le graphe est donné cijoint en bleu, définie et dérivable sur IR et de dérivée f : 6( )(+ ) (de graphe en rouge). D après le théorème sur les etrema, comme f s annule en et change de signe (positive à gauche et négative à droite de ), f ( )= est un etremum (ici un maimum) au voisinage de (par eemple sur l intervalle ] ;[). y De même comme f s annule en et change de signe (négative à gauche et positive à droite de ), f ()=5 est un etremum (ici un minimum) au voisinage de (par eemple sur l intervalle ];+ [). G f G f