Soit le point T de cos (2 ; 3) et les points A et B de cos A (1 ; 2) et B ( 4 ; 1) Les vecteurs seront notés Placer les points A, B et T et tracer le

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1 NOM: PRENOM: Date: Classe: Section: - Démonstration des formules trigonométriques d'addition et de duplication cos(a + b), - Représentation de Fresnel d'une grandeur sinusoïdal - Application aux dipôles R, L, C pour les tensions u(t) et courant i(t) - Application des nombres complexes à un problème d'électricité - Résolution d'une équation du 2 nd degré a x 2 + b x + c 0 lorsque < 0 - Application à la résolution d'équation différentielle du 2 nd ordre à coefficient constants - Notation trigonométrique lien avec la fonction exponentielle e x - Analogie de vocabulaire sur la géométrie ponctuelle, vectorielle et les nombres complexes - Propriétés du nombre complexe i (et/ou j suivant la notation) - Passages entre une représentation algébrique z x + y j géométrique z [ ρ ; α ] - Opérations simples: addition, soustraction, nombre complexe conjugué et correspondance avec les transformations simples du plan - Multiplication, division, puissance: application des règles sur les modules et arguments Nombres complexes z x + y i (notation i ou j) Parallèle entre un point M, l'affixe M et le vecteur Module et argument d'un nombre complexe Addition, soustraction: lien avec la translation Multiplication par une constante k : lien avec une homothétie Transformations simples du plan Multiplication par un nombre complexe de module 1: lien avec une rotation Multiplication par un nombre complexe de module 1: lien avec une similitude (rotation + homothétie) Multiplication avec le nombre complexe conjugué Puissance L'inverse 1/ et la division ' / - Géométrie ponctuelle: Représentation d'un point dans le plan, cos associées Transformation simple du plan: Symétrie centrale, axiale, rotation - Géométrie vectorielle: Représentation d'un vecteur Vocabulaire associé: norme, composantes Notion d'angle orienté - Calcul: Règles basiques concernant les opérations M Basnary S Matière: Maths Chapitre : Les nombres complexes Page n 1/

2 Soit le point T de cos (2 ; 3) et les points A et B de cos A (1 ; 2) et B ( 4 ; 1) Les vecteurs seront notés Placer les points A, B et T et tracer le vecteur Tracer les vecteurs + et + Donner l'affixe T associée au point T T affixes des points A et B et des points A' et B' tel que: ' + T et ' + T Placer les points A' et B', points images de ' et ' Tracer les vecteurs et Comparer les vecteurs et d'une part et et d'autre part En déduire une analogie entre l' de nombres complexes et l' de vecteurs, quelle est la transformation qui transforme le point A en A' ou le point B en B' Points de départ ' ' Points d'arrivée Soit le point T de cos ( 2 ; 1) et les points A et B de cos A (1 ; 3) et B ( 1 ; 2) Les vecteurs seront notés Placer les points A, B et T et tracer le vecteur Tracer les vecteurs et Donner l'affixe T associée au point T T affixes des points A et B et des points A' et B' tel que: ' T et ' T Placer les points A' et B', points images de ' et ' Tracer les vecteurs et Comparer les vecteurs et d'une part et et d'autre part En déduire une analogie entre la de nombres complexes et la de vecteurs Points de départ ' Points d'arrivée, quelle est la transformation qui transforme le point A en A' ou le point B en B' ' Comparer les vecteurs et puis et?

3 Soit k une constante égale à 2 et les points A et B de cos (2 ; 2) et ( 2 ; 1) Les vecteurs seront notés Placer les points A, B et tracer les vecteurs et Tracer les vecteurs k et k affixes des points A et B et des points A' et B' tel que: ' k et ' k Placer les points A' et B', points images de ' et ' Tracer les vecteurs et Comparer les vecteurs et k d'une part et et k d'autre part Comparer les distances OA' et OA puis OB' et OB, quelle est la transformation qui transforme le point A en A' le point B en B' Soit le point C de cos (2 ; 3) Avec k telle que k 1, placer le point C' tel que C' k C, comment appelle t-on cette transformation? Les vecteurs seront notés Placer le point A de cos ( 1 ; 2) Tracer Donner l'affixe ' du point A' tel que: ' ' Placer le point A' et tracer Donner le nom de la transformation qui transforme A en A': Placer le point B de cos (3 ; 1) Tracer Donner l'affixe ' du point B' tel que ' Points de départ ' ' Points d'arrivée ' Placer le point B' et tracer Donner le nom de la transformation qui transforme B en B': Placer le point C de cos ( 4 ; 3) Tracer Donner l'affixe C' du point C' tel que: C' ( C ) C' Placer le point C' et tracer Donner le nom de la transformation qui transforme C en C': Les trois transformations étudiées conservent-elles les distances?

4 Soit R le point de cos (0 ; 1) et les points A et B de cos ( 1 ; 1) et ( 1 ; 2) Les vecteurs seront notés Placer les points A, B et R et tracer le vecteur Donner l'affixe R associée au point R R R ; Arg( R ) Tracer et Compléter le tableau sous le modules et arguments des nombres complexes et affixes des points A' et B' tel que: ' et ' Donner les modules et arguments de ' et ' Placer les points A' et B' et tracer et Comparer les angles ( ; ) et ( ; ) à Arg( R ), quelle est le nom de la transformation qui transforme A en A' ou B en B'? Soit R ( ½ ; ( 3) / 2 ) et les points A et B de cos (0 ; 2) et ( 1 ; 3) Placer les points A, B et R et tracer le vecteur Donner l'affixe R associée au point R R R ; Arg( R ) Tracer et En utilisant les résultats de l'activité n 5, construire la position des points A' et B' tels que leurs affixes ' et ' sont définies par: ' et ' Aide: On peut construire les points A' et B' juste avec un compas On va retrouver ces résultats par le calcul nombres complexes et Calculer les affixes des points A' et B' tel que: ' et ' Donner les modules et arguments de ' et ' Placer les points A' et B' et tracer et Retrouver les résultats de Comparer les angles ( ; ) et ( ; ) à Arg( R ) Représentation algébrique a + j b ou x + j y ' ' Représentation trigonométrique [ ρ ; θ ] ' ' Représentation algébrique a + j b ou x + j y ' ' Représentation trigonométrique [ ρ ; θ ] ' '

5 Soit S le point de cos ( 1 ; 1) et les points A et B de cos (0 ; 3) et ( 1 ; 3) Placer les points A, B et S et tracer le vecteur Donner l'affixe S associée au point S S S ; Arg( S ) Tracer et Compléter le tableau sous le modules et arguments des nombres complexes et affixes des points A' et B' tel que: ' S et ' S Donner les modules et arguments de ' et ' Placer les points A' et B' et tracer et Comparer les angles ( ; ) et ( ; ) à Arg( S ) Comparer les rapports OA'/OA et OB'/OB à S Remarque: On passe de A à A' avec 2 transformations: une rotation de centre O et d'angle α Arg( S ) une homothétie de centre O et de rapport k S Soit S le point de cos ( 1 ; 3) et les points A et B de cos ( 2 ; 0) et ( 3 ; 1) Placer les points A, B et S et tracer le vecteur Donner l'affixe S associée au point S S S ; Arg( S ) Tracer et Compléter le tableau sous le modules et arguments des nombres complexes et affixes des points A' et B' tel que: ' S et ' S Donner les modules et arguments de ' et ' Placer les points A' et B' et tracer et Comparer les angles ( ; ) et ( ; ) à Arg( S ) Comparer OA'/OA et OB'/OB par rapport à S Essentiel: Le produit de deux nombres complexes est équivalent à multiplier les modules et ajouter les arguments Si ' [ ρ' ; α ] et [ ρ ; β ] ' [ ρ' ρ ; α + β ] Représentation algébrique a + j b ou x + j y ' ' Représentation trigonométrique [ ρ ; θ ] ' ' Représentation algébrique a + j b ou x + j y ' ' Représentation trigonométrique [ ρ ; θ ] ' '

6 Soit les points A( 1 ; 1) et B(1 ; 3) Placer les points A, B et tracer les vecteurs et nombres complexes et Donner les nombres complexes à et ; Donner les modules et arguments ( et radians) ; Arg( ) ; Arg( ) Compléter le tableau sous le graphique en utilisant les résultats de l'activité n 8 en faisant le calcul direct des affixes des points A' et B' tel que: ' et ' Donner les modules et arguments de ' et ' Placer les points A' et B' et tracer et Que vaut OA' (resp OB') par rapport à OA (resp OB)? Essentiel: Si [ ρ ; α ] alors [ ρ ; α ] et ρ 2 Le produit d'un nombre complexe par son nombre complexe conjugué donne un nombre égal au carré du module Soit 2 ρ 2 x 2 + y 2 Soit les points A ( 0 ; 1) et B ( 1 ; 1) Placer les points A, B et tracer les vecteurs et nombres complexes et On s'intéresse aux différentes puissantes de Calculer 2 [ ] 2 par la méthode de votre choix (calcul direct ou application du résultat de l'activité n 8 multiplication) et placer le point A 2 correspondant Calculer 3 [ ] 3 2 et placer le point A 3 Calculer 4 [ ] 4 3 et placer le point A 4 Calculer ' [ ] 5 4 et placer le point A' Que remarque-t-on pour ces différents points? On s'intéresse aux différentes puissantes de Calculer 2 [ ] 2 par la méthode de votre choix (cf ) et placer le point B 2 correspondant Calculer 3 [ ] 3 2 et placer le point B 3 Calculer 4 [ ] 4 3 et placer le point B 4 Calculer ' [ ] 5 4 et placer le point B' Donner les modules et arguments de ' et ' Essentiel: C'est la formule de Soit n un entier: si [ ρ ; α ] alors n [ ρ n ; n α ] ou bien n n et Arg( n ) n Arg() Représentation algébrique a + j b ou x + j y ' ' Représentation trigonométrique [ ρ ; θ ] ' ' Représentation algébrique a + j b ou x + j y ' ' Représentation trigonométrique [ ρ ; θ ] ' '

7 Soit les points A (0 ; 2) et B (1 ; 1) Placer les points A, B et tracer les vecteurs et nombres complexes et Donner les nombres complexes à et ; Donner les modules et arguments ( et radians) ; Arg( ) ; Arg( ) Compléter le tableau en utilisant le résultat de l'activité n 9 ( 2 ρ 2 x 2 + y 2 ) en faisant le calcul direct des affixes des points A' et B' tel que: ' 1 / 1 / ( ) ' 1 / 1 / ( ) A ' B ' Donner les modules et arguments de ' et ' Placer les points A' et B' et tracer et Que vaut OA' (resp OB') par rapport à OA (resp OB)? Essentiel: Si [ ρ ; α ] alors [ ρ ; α ] et ρ 2 et 1 1 / 1 / ρ 2 [ 1 ρ ; α ] Cette propriété est l'application de la puissance (formule de de l' ) au cas ou n 1 Soit D le point de cos ( 1 ; 1) et les points A et B de cos ( 4 ; 4) et (3 ; 1) Placer les points A, B et D et tracer le vecteur Donner le nombre complexe associé à D D Représentation algébrique a + j b ou x + j y ' ' Représentation trigonométrique [ ρ ; θ ] ' ' D ; Arg( D ) Tracer et Compléter le tableau sous le modules et arguments des nombres complexes et Compléter le tableau en utilisant les résultats des activités n 8 (multiplication) n 11 (inverse) en faisant le calcul direct des affixes des points A' et B' tel que: ' / D (1/ D ) et ' / D (1/ D ) ' A D 1 D B B ' B D 1 D Représentation algébrique a + j b ou x + j y Donner les modules et arguments de ' et ' Essentiel: Si ' [ ρ' ; α ] et [ ρ ; β ] alors (1/) [ 1 / ρ ; β ] (Cf ) comme ' ' (1/) alors ' [ ρ' ; α ] [ 1 / ρ ; β ] [ ρ' / ρ ; α β] L'analogie avec la multiplication (Cf ) est: Si ' [ ρ' ; α ] et [ ρ ; β ] ' [ ρ' ρ ; α + β ] Si ' [ ρ ; α ] et [ ρ ; β ] ' [ ρ' ρ ; α β ] ' ' Représentation trigonométrique [ ρ ; θ ] ' '