Sujets de bac : Applications géométriques des nombres complexes

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1 Sujets de bac : Applications géométriques des nombres complexes Sujet n 1 : Amérique du Nord juin 010 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ; ; d unité graphique. On réalisera une figure que l on complètera tout au long de l exercice. On considère les points d affixe, d affixe et d affixe 1. On appelle le point tel que soit équilatéral direct. Soit l application qui à tout point d affixe ( ) associe le point d affixe définie par : 1. 1) Démontrer que le point a pour affixe 1. ) Exprimer sous forme algébrique l affixe du point associé au point par l application. 3) a. Démontrer que, pour tout nombre complexe, 1. b. En déduire que, pour tout point d affixe ( ) : 1 et ; ; où est un entier relatif. 4) a. Démontrer que les points et appartiennent au cercle de centre et de rayon. b. En utilisant les résultats de la question 3, placer associé au point par l application. On laissera apparents les traits de construction. 5) Quelle est la nature du triangle? Sujet n : Amérique du Sud novembre 009 Dans le plan muni d un repère orthonormé ; ;, on considère les points et d affixes respectives et et on définit l application qui à tout point d affixe et différent de associe le point d affixe :. 1) a. Déterminer l affixe du point image par du point d affixe 1. b. Montrer que les droites et sont parallèles. c. Etablir que les droite s et sont perpendiculaires. ) Déterminer l ensemble des points invariants par (c est-à-dire l ensemble des points tels que ) On cherche à généraliser les propriétés 1b et 1c pour obtenir une construction de l image d un point quelconque du plan. 3) a. Montrer que pour tout nombre complexe, le nombre est réel. b. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de est réel. c. Montrer que les droites et sont parallèles. 4) Soit un point quelconque non situé sur la droite. Généraliser les résultats de la question 1c. 5) Soit un point distinct de. Déduire des questions précédentes une construction du point image de par. Réaliser une figure pour le point d affixe 3. Sujet n 3 : Antilles-Guyane septembre 001 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ; ;. 1) Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation d inconnue : ) On considère les points et qui ont pour affixes respectives les nombres et Calculer les distances, et. En déduire la nature du triangle.

2 3) On désigne par le point d affixe 3 et par son image par la rotation de centre et d angle. Déterminer l affixe de. 4) On appelle le barycentre des points pondérés ; 1, ; 1 et ; 1. 5) a. Montrer que le point a pour affixe b. Placer les points,,, et sur une figure. (Unité graphique 1 ). c. Démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. a. Justifier l égalité. b. En déduire une mesure en radians de l angle ;, ainsi que la valeur du rapport Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle? Sujet n 4 : Asie juin 009 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ; ;. On place dans ce repère les points d affixe 1, d affixe où est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive. On construit à l extérieur du triangle, les carrés directus et comme indiqué sur la figure ci-dessous 1) Déterminer les affixes et des points et. ) On note la rotation de centre et d angle. a. Déterminer l écriture complexe de. b. En déduire que l affixe du point est. c. Déterminer l affixe du point. 3) On appelle le point tel que le quadrilatère soit un parallélogramme. Démontrer que l affixe du point est égal à 1. 4) Démontrer que et en déduire que le triangle est rectangle isocèle.. E F G v B O u A D C Sujet n 5 : Liban mai 011 Partie A : Restitution organisée de connaissances Pré-requis : On suppose connu le résultat suivant : Quels que soient les nombres complexes non nuls et, arg arg arg à près.

3 Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls et, on a arg arg arg à près. Partie B Dans le plan complexe muni d un repère orthonormal directe ; ;, on considère les points et d affixes respectives 1 et 3 1) Déterminer le module et un argument de. ) a. Ecrire sous forme algébrique. b. Montrer que 1 3. c. En déduire la forme exponentielle de. 3) On note l image du point par la rotation de centre et d angle. a. Déterminer l affixe du point. b. En déduire que est le symétrique du point par rapport à l axe ;. 4) Soit un point du plan. On note l image du point par la rotation et le symétrique du point par rapport à l axe ;. On désigne par l ensemble des points du plan tels que. a. Montrer que les points et appartiennent à l ensemble. b. Soit un point distinct de. Son affixe est égale à où est un réel strictement positif et un nombre réel. Montrer que l affixe du point est égale à puis déterminer l ensemble des valeurs du réel telles que appartienne à l ensemble. c. Déterminer l ensemble.

4 Correction Sujet n 1 : Amérique du Nord juin 010 1) Le triangle est un triangle équilatéral direct donc est l image de par la rotation de centre et d angle. On peut aussi cherche l affixe du point tel que ; et. Pour cela, on cherchera tel que Par la rotation de centre et d angle, on a 1 A E ) On a 1 : ) a. Pour : b. Pour : 1 donc 1 ou encore 1 arg d où arg arg ou encore ; ; où est un nombre entier relatif. 4) a. Calcul de et : donc D 0 1 B D' E' donc 4 b. donc les propriétés de la question 3b s appliquent. On a donc 1 et ; ;. Comme, on a donc et donc appartient au cercle de centre et de rayon. Pour tracer précisément ce cercle, on utilise le fait que et donc donc on trace le cercle de centre passant par. De plus, ; ;; ; ; ; ; ; 3 Il ne reste plus qu à placer le point. c. Le triangle est donc un triangle équilatéral indirect. En effet, nous avons montré que et ;.

5 Sujet n : Amérique du Sud novembre 009 1) a. Pour 1 : L'afixe de est 1 b. Affixe de : 1 1 Affixe de : 1 1 Donc et on a : ce qui montre que et sont colinéaires et donc et sont parallèles. c. Pour démontrer que et sont perpendiculaires, on peut calculer le produit scalaire des deux vecteurs après avoir calculer leurs coordonnées ou on peut calculer une mesure de l angle ; grâce aux complexes. ; arg or et arg donc ; et les droites et sont perpendiculaires. ) On cherche les points invariants par donc on résout dans : Donc les points invariants par sont les points d affixe réelle donc il s agit de l axe des réels privé du point. 3) a. Pour : car et donc b. Pour : Comme et sont des réels, nous pouvons dire que est un réel. c. Pour : arg 0 arg 0 ; 0 et parallèles 4) Le raisonnement est similaire à la question 3 mais nous allons montrer que ; et pour cela, nous allons montrer que. Pour : 1 Donc arg et ;. Les droites et sont donc perpendiculaires. 5) On considère un point disctinct de. D après les questions précédentes, et sont perpendiculaires et et sont perpendiculaires. Pour placer, on trace donc la parallèle à passant par et la perpendiculaire à passant par. Le point d intersection de ces deux droites est le point. B - 1 P' - Q' P A Q

6 Sujet n 3 : Antilles-Guyane septembre 001 1) : Δ donc l équation a deux solutions complexes conjuguées : 4 34 et D où 4 34;4 34 ) Comme, le triangle est un triangle équilatéral. 3) est l image de par la rotation de centre et d angle donc donc ) a. est le barycentre de ;1, ;1 et ;1 (1110) donc b. Graphique G 6 5 B 4 3 D 1 C A -4 c. Affixe de : 4 34 Affixe de : Donc et est un parallélogramme. 5) a b. or ; arg arg 1 On en déduit que donc le triangle est isocèle en et comme ; est un triangle équilatéral., on en déduit que

7 Sujet n 4 : Asie juin 009 1) est un carré direct ce qui signifie que est l image de par la rotation de centre et d angle. Pour calculer l affixe de, nous utilisons donc : soit :. Par ailleurs, est l image de par la rotation de centre et d angle donc 0 et alors : ) a. On note un point du plan d affixe et d affixe son image par. Alors b. est un carré direct donc est l image de par donc. c. est un carré donc et alors : L affixe de est donc égale à soit à 3) est un parallélogramme donc. Au niveau des affixes, cela donne : 1 4) Comme : 1 1 On en déduit que ; arg or 1 1 donc et le triangle est isocèle. De plus, donc, est un triangle rectangle isocèle direct Sujet n 5 : Liban mai 011 Partie A et sont deux nombres complexes non nuls donc arg arg arg à près en utilisant le prérequis. Or d où arg arg arg à près. On en déduit arg arg arg à près. Partie B 1) 1 1 donc 1 et en notant un argument de, on a cos et on en déduit sin ) a b c. A l aide des résultats de la question 1, on a or Ce qui est bien la forme exponentielle de car 1 3 est un réel strictement positif. 3) La notation complexe de est : et comme 0, on a. a. En notant l affixe de, on a b. L affixe du point est le conjugué de l affixe du point car ils ont le même module et un argument opposé donc est le symétrique de par rapport à l axe des réels donc à l axe ;. 4)

8 a. D après la question précédente, est l image de par la rotation et comme et sont symétriques par rapport à l axe ;, nous obtenons donc. Par ailleurs, l image de par la rotation dont le centre est est. Son symétrique par rapport à l axe ; est aussi et donc et b. a pour forme exponentielle. L affixe du point est égale à Le point, symétrique du point par rapport à l axe ; a pour affixe le conjugue de à savoir : avec c. L ensemble des points d affixe avec un réel strictement positif et est une droite privée du point. Par ailleurs, nous avions supposé que est distinct de et donc est la droite.