Application des Ondelettes aux Signaux Fractales. Andrei Doncescu LAAS-CNRS

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1 Application des Ondelettes aux Signaux Fractales Andrei Doncescu LAAS-CNRS

2 Les Fractales n Définition Inachevée des fractales Fractal, ale, als : adj. <du latin fractus, participe passé de frangere «briser» Fraction> math. Qui représente des formes découpée, fragmentaires, laissant apparaître des motifs similaires à des échelles d observations de plus en plus fines (ex : flocons de neige, éponges ).

3 Mandelbrot et Julia Courbe continues sans dérivées

4 Concepts mathématiques Un objet fractal = un objet très irrégulier dont la structure est la même à toute échelle. L objet est invariant par un certain nombre d opérations de similitude : composition de translations de rotations de dilatations

5 La dimension fractale n un objet fractal peut être mesuré ; on parle de dimension fractale. Sa formule est de la forme : D=Log (n) / Log (1/r) n où n est le nombre de copies de l élément et r son échelle (r<1 car la reproduction est plus petite).

6 La dimension fractale n On appelle exposant de singularité au point x 0 la limite : α ( ) x 0 = lim+ ε 0 La définition indique : ( ε ) ln ( ε ) ( ε ) ( µ ( ) ln B xo ( ) α ( x 0 ) Cε µ Bx O

7 Remarques : n Plus la valeur de α(x 0 ) est petite, moins la mesure est régulière autour de x 0 Pour un Dirac α=0 Pour une distribution gaussienne α=1

8 La Régularité de Lipschitz Un signal est régulier si on peut l'approximer localement par un polynôme: On donne ici la définition de la régularité Lipschitzienne:

9 Caractérisation des exposants Définition Lipschitz Une fonction est Lipschitz d ordre α dans un point ν si dans ce point existe un K>0 et un polynôme p ν de degré m= α tel que t R, f ( t) p ( t) ν K t ν α

10 Analyse de régularité L'analyse de Fourier permet de caractériser la régularité globale d'une fonction. La transformée en ondelettes permet d'analyser la régularité ponctuelle d'une fonction.

11 Condition de Fourier Théorème Une fonction f est bornée et uniformément Lipschitz α sur R si : f ˆ( ω) (1 + ω α ) dω < + Il s agit d une condition de régularité globale

12 Exposant de HOLDER: n Caractérise la force de la singularité localisée dans un point : plus l exposant de Holder est grand plus la singularité est faible Exemple: la distribution ln x a un exposant en 0 : α(0)=-1 la distribution de Dirac α(0)=-1

13 Exposant de HOLDER n Règle: si un signal est caractérisé par un exposant α(x0) alors l exposant de Holder de sa dérivée est α(x0)-1 tandis que celui de sa primitive est α(x0)+1 n Attention: c est valable que pour les signaux qui n oscille pas indéfiniment autour de x0

14 Caractérisation des exposants Lipschitz par des coefficients d ondelettes Théorème Si f est α Lipschitz en x 0, α n alors α Wf ( s, x) A( s + x x0 Le contraire f(x) est α Lipschitz en x 0, 0 α n si α ) Wf ( s, x) α As Wf ( s, x) B( s α + x log x x 0 x 0 α )

15 Analyse des singularités n Le developement en série Taylor de f en f x0 ( x) = f ( x 0 ) + ( x x 0 ) f '( x 0 ) C x x 0 α( x 0 ) Par l analyse en ondelette le comportement Dominant est celui donné par le terme : Cx x α( 0 x0 )

16 Ondelettes et Singularités n L ondelette est orthogonale aux polynômes d ordre strictement inférieur à N n La WT est identiquement nulle dans tout le demi-plan espace-échelle (b,a) n La WT d un signal s dans un point b=x0 se comporte en loi de puissance en fonction de l échelle a avec l exposant α(x0)

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18 Signal et sa transformée en ondelettes calculée avec la dérivée d'une gaussienne la trace conique des singularités isolées Les échelles les plus fines sont en haut Les coefficients nuls correspondent à du gris moyen. Les parties régulières sont donc en gris moyen.

19 Les moment d une ondelette n Le signal est approximé par un polynôme : f ( t) = p ( t) + ε ( t) avec ε ( t) n L ondelette a q> α moments : n Avec le changement de variable v v t k ψ ( t) dt = 0 pour 0 k < q v t' = K t v t u s α n Nous avons : W f ( u, s) = W ( u, s) ε v

20 Remarques : n Il faudra donc toujours d assurer que l on a bien choisi N suffisamment grand : N > max x 0 ( h( x )) n La TO d un signal se comportera donc en s N autour des zones où le signal est régulier et en s h >>s N autour des zones de singulières. 0

21 Remarques : n A l échelle fixée les coefficients en ondelettes seront maximum autour du point où le signal est singulier n Les amplitudes du module des maximums de la TO diminuent pour des échelles grandes n La régularité Lipschitz d une singularité peut être mesurer par la pente de log Wf(s,x)

22 Calcul de l exposent de Mallat 1991 Hölder n Régression linéaire n Descente du gradient Mallat n Régression médiane Hwang n Algorithmes génétiques echelle j 2 2 j ( log W ( s, u) log ( K) j (( α 1) / 2) log ( σ ) 2 F( K, α, σ ) = + 2 f 2 2 2

23 Régression linéaire ( u s) log 2 W f, α = 0.05 α = 0.42 log 2 ( s)

24 Les Algorithmes Génetiques Singularité D S1 S2 Théorie M. graphique 0.5 M. Descente 0.26 R. médiane -0.5 A.G Remarque: Influence de l ondelette HPSECA 2003

25 Ondelettes dérivées de fonction lissante mettent en évidence les zéros-crossing (point de singularité) Analyse multi échelle permet de choisir les zeros-crossing significatifs (dθ /dx) * f = θ * (df / dx) * =

26 Critiques n Problème de reconstruction n Si la fonction analysée est une fonction en escalier la conjecture de Mallat devient correcte

27 Applications

28 Classification

29 Transition entre états Etat 1 Etat 2 Expert 1 Etat 1 Etat 2 Expert 2 Incertitude: changement non discret Manque d attributs Idée de base: utiliser les points de singularité comme frontière entre les états SFC 2002

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31 Analyse d images

32 Détection des points anguleux

33 Orientation arctg y2 y1 x2 x1 pixel Orientation d une cellule seule Maximums à différentes échelles Amplitude des coefficients en ondelettes pixel

34 Détection des fautes

35 Localisation et détection des fautes