DEA de physique subatomique Corrigé de l examen d analyse statistique des données et de modélisation session de février - année

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1 DEA d physqu subatomqu Corrgé d l xamn d analys statstqu ds donnés t d modélsaton ssson d févrr - anné Jérôm Baudot sur 45 ponts I- Errur sur la msur d un asymétr avant-arrèr ponts I-a La formul d propagaton ds rrurs pour A foncton d F t B nous donn : ous avons : On obtnt : ɛ 2 A = df db [ σ 2 F cov FB cov FB σ 2 B ] df db. pont df = F + B F F + B 2 = 2B F + B 2, 2 db = F + B + B F + B 2 = 2F F + B 2. 3 ɛ 2 A = 4B2 σ 2 F + F 2 σ 2 B F + B 4. pont 4 Pusqu F t B sont ndépndants ρ FB =, sot cov FB = t comm lls suvnt un lo d Posson : σ F = F t σ B = B. 2 ponts Ans : B ɛ A = 2 2 F + F 2 B FB F + B 4 = 2. pont 5 F + B 3 I-b On ré-écrt A = F B. La formul d propagaton ds rrurs rst nchangés mas : σ 2 F = σ 2 B cov FB = p p = F B = FB, 6 = ρ FB σ F σ B = FB. 7 Où on a utlsé ρ FB = pusqu B = F. Et : df = db =. 8 On obtnt ans : ɛ 2 A = [ FB C résultat st dntqu au précédnt 5. FB FB FB ] I-c En utlsant F = B dans la défnton d A on obtnt A = 2B. = 4 FB. pont 9 3

2 D où σ B st nchangé par rapport au Ib donc : ɛ 2 A = 4 2 σ2 B. pont FB σ A = 2. pont F + B 3 II- Estmaton d un dm-v par maxmum d vrassmblanc 5 ponts II-a La normalsaton d la foncton dnsté d probablté ft = a t/ sécrt : d où a = /. L logarthm d la vrassmblanc L st : x a t/ dt = [ a t/ ] x = 2 a = 3 = log t / / 4 = log t/ / 5 = log t / 6 = log / t. 7 L stmatur d maxms t donc : Fnalmnt d d = t = pont 9 = t II-b L rrur ɛ sur l stmatur st donné par On a : pont 2 d2 /2. d 2 d 2 = t. pont

3 Et n utlsant 2 : d 2 = 3 t 2 23 t D où : ɛ = t 2 3 =. pont 25 II-c On chrch la form d au vosnag du maxmum + δ. + δ = log + δ + δ + δ = log + δ δ2 t, δ = δ 2 t + δ t t δ 2 + δ2 3, δ 2 t δ 2 3 t 2, 28 + δ = δ t 2, 29 + δ = max /2δ 2 2. pont 3 L rrur ɛ st égalmnt défn comm l δ tl qu + δ = max /2. D après l équaton précédnt on obtnt comm au IIb : ɛ =. pont 3 II-d On ré-écrt la vrassmblanc comm au IIa, mas chaqu trm t dot êtr compté νt fos : log t / / νt 32 νt log t/ / 33 log νt t νt 34 log νt / νt t. pont La condton d maxmsaton dvnt : Et fnalmnt : d =, 37 d νt + νt 2 t =. 38 = νt t νt pont 39 3

4 On put ntrprétr statstqumnt l ffcacté νt comm l nvrs d un pods applqué à la msur t. L rrur s calcul à partr d la dérvé scond : d 2 = νt 2 2 νt 3 t, 4 3 νt d 2 = 2. 4 νt t On obtnt : 2 νt t ɛ = 3 = νt νt. 42 II- La probablté d chaqu msur t st mantnant la probablté d obtnr physqumnt un tmps t, c st à dr t/ ET la probablté d msurr c tmps, c st à dr l ffcacté. La lo d probablté fnal st donc l produt ds dux los : La condton d normalsaton d f s écrt : ft = a t/ νt 43 d où a = / + ν. x L logarthm d la vrassmblanc L dvnt : a t/+ν dt = 44 [ a / + ν t/+ν] x = 45 a / + ν = 46 log / + ν t / 47 log / + ν t / + ν 48 log / + ν / + ν t. 49 La maxmsaton du s écrt : d d = 5 / + ν t = pont 5 4

5 L nouvl stmatur st donc : ou = = ν pont 52 t t ν 53 Suvant ctt mplémntaton d l ffcacté, l stmatur d st dfférnt d clu trouvé au IId. Ic, l ffcacté st un smpl corrcton lé au fat qu l spctr tmporl xpérmntal msuré xhb un décrossanc plus rapd pusqu l ffcacté pour ls t élvés st fabl. III- Compatblté d dux msurs ponts III-a On construt la moynn µ ds dux msurs ndépndants pondéré par l carré d l nvrs ds rrurs. On sat qu ctt moynn st l stmatur du maxmum d vrassmblanc pour un lo gaussnn. µ =, 9, 2 +, 4 /, 2 2, 2 + =,, 2 2 pont 54 L rrur ou l stmatur d la varanc d la lo gaussnn st : σ =, 2 + =, 89, 2 2 pont 55 On jug quanttatvmnt d la compatblté d un msur m avc la lo gaussnn µ, σ à partr d Pm = Fm qu st la probablté d obsrvr un msur x tll qu x µ > m µ. On a µ+m Fm = 2 xµ2 2σ 2 pont. 56 µm 2πσ En utlsant ls tabls du PDG on trouv P, 9 = 68, 3% t P, 4 =, 4%. Au fnal, la compatblté ds dux msurs st jugés sur l produt P, 9 P, 4 =, 3%. C st FAUX! P,9 n st pas -Fm!! Ctt probablté st clarmnt très fabl par rapport au sul d 5% usul. Ls msurs sont ncompatbls. III-b On put construr plusurs χ 2 pour calculr ctt mêm probablté n s appuyant sur l stmaton µ = d la moynn ds dux msurs fat précédmmnt. On consdèr dans un prmr tmps l rrur théorqu détrmné pour la lo gaussnn, σ =, 89 : χ 2 =, 9, 89 2, = 2, 5 57, 89 L χ 2 ans construt st à dux dgrés d lbrtés ls dux msurs. Sa probablté d après la fgur 3. du PDG pag 255 st nférur à, %. Ls msurs sont ncompatbls. On consdér mantnant ls rrurs xpérmntals : χ 2 =, 9, 2, = 5 58, 2 5

6 C χ 2, égalmnt à dux dgrés d lbrtés a un probablté d nvron %. Ls msurs sont alors rasonnablmnt compatbls. Dans l prmr cas, 57, on suppos mplctmnt qu la lo sous jacnt st un gaussnn. C état auss l hypothès d la quston précédnt t on obtnt donc la mêm concluson. Dans l scond cas, 58, aucun supposton n st fat sur la lo d dstrbuton ds msurs. Avc un condton n mons, la compatblté st donc plus facl à obtnr. D plus la concluson a un caractèr plus général t c st cll-c qu nous préférrons. Vu d un autr manèr, nous pourons dr qu ls dux donnés puvnt êtr compatbls mas qu lls n suvnt pas un lo gaussnn lurs rrurs n sont pas gaussnns. IV- Lmt d snsblté d découvrt ponts IV-a L fond attndu dans l xpérnc st l factur d brut multplé par l nombr d événmnts. Avc la smulaton, on obtnt un stmatur du factur d brut avc B/ MC, d où l stmaton du fond attndu pour événmnts : B = B B. MC La msur d B sut un lo d posson. L ncrttud sur B st σ B = B. Par conséqunt on a égalmnt σ B = B B. Pusqu l factur d brut st mportant B > 2, on put consdèrr qu la lo d Posson suv par B st bn approxmé par un lo gaussnn d moynn B t d varanc σ 2 B, B, σ B. A partr ds événmnts, s on obsrv S canddats n plus du fond B attndu, on dra qu cs S canddats n sont pas du brut avc 95% d nvau d confanc s la probablté d obtnr un msur supérur à S + B pour un lo gaussnn B, σ B st d 5%. D après la tabl 3. du PDG pag 26, ctt probablté, noté α st attnt lorsqu la msur S + B B = S lmt =, 96σ B. 2 pont L sgnal obrvé pour événmnts dépnd d la scton ffcac d producton σ t d l ffcacté ɛ suvant S = ɛσ. L égalté précédnt nous donn alors pour la lmt supérur sur la scton ffcac : Ctt valur d σ donn la snsblté d l xpérnc au sgnal. σ lmt =, 96 B MC, 59 ɛ, 96 B σ lmt =. 6 ɛ MC IV-b L nombr d canddats qu sront obsrvés st toujours S = ɛσ = 2, mas l st très fabl. On n put plus utlsr la statstqu gaussnn. On utls alors la statstqu d Posson t la tabl 3.3 du PDG pag 264 pour étalr qu s on obsrv 2 canddats sans aucun fond attndu on rappll qu B = alors la moynn d la lo d Posson sous jacnt st au mons lmt nférur d S lmt =, 35 avc 95% d confanc. 6

7 2 pont On obtnt ans la lmt supérur sur la scton ffcac : σ lmt =, 35 ɛ =, 75 4 partculs/événmnt. 6 IV-c S l résultat 6 st valabl, pour obtnr la mêm lmt qu n 6 σ lmt =, 75 4, l faut : f B = B = ɛσ lmt 2 = 3, MC, 96 Dans cs condtons, l brut attndu pour événmnts st B = f B = 32. ous somms bn dans ls condtons où la statstqu gaussnn put s applqur. 7

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