Analyse multifractale vectorielle basée sur la transformation en ondelettes : application en turbulence développée

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1 Journées d étude sur les méthodes pour les signaux complexes en traitement d images Analyse multifractale vectorielle basée sur la transformation en ondelettes : application en turbulence développée Pierre Kestener et Alain Arnéodo pierre.kestener@cea.fr Laboratoire de Physique, ENS Lyon p. 1/14

2 Description multifractale de l intermittence en turbulence le formalisme multifractal classique est né de la problématique de la turbulence modèle multifractal pour la vitesse : fonction de structure longitudinale (basée sur les incréments 1D de vitesse) : S p (l) = < (e.δv(r, le)) p > l ζ p, p > 0 modèle multifractal pour la dissipation (surrogate 1D) : hypothèse RSH S p (l) < ε p/3 l > l p/3 l τ ε(p/3)+p/3. Mesure des spectres τ ε (p) et f(α) par la méthode du comptage de boîtes. formalisme multifractal basé sur la TO (méthode MMTO) pour l analyse des singularités des fonctions, des mesures et des distributions. généralisation de la méthode MMTO 1D/2D 3D généralisation aux champs vectoriels multidimensionnels. Première application aux champs de vitesse et de vorticité d un écoulement turbulent. p. 2/14

3 Mesure multifractale autosimilaire vectorielle (cas 2D) Falconer et O Neil (1995) log µ(b(r,l)) mesure scalaire {r : lim = α}, α = h + 2 l 0 log l Z(q, l) = i µ q i (l) l τ µ(q) mesure vectorielle { r : lim l 0 Z(q, l) = i Φ l µ q i l τ µ(q) log B(r,l) Φ lµ(s) dl d (s) log l = α }, α = h + 2 p. 3/14

4 Mesure multifractale autosimilaire vectorielle (cas 2D) τ µ (q) = log(pq 1 +pq 2 +pq 3 +pq 4 ) log 2 D µ (h) = f µ (α 2) = inf q (qh τ µ (q)). p. 4/14

5 Transformation en ondelettes tensorielle (cas 2D) 1. Transformée en ondelettes tensorielle du champ V = (V 1, V 2 ) : T ψ [V](b, a) = (T ψi [V j ](b, a)) = T ψ 1 [V 1 ] T ψ1 [V 2 ] T ψ2 [V 1 ] T ψ2 [V 2 ] ( ) T ψi [V j ](b, a) = a 3 d 3 r ψ i a 1 (r b) V j (r), j = 1, 2 2. Direction de plus grande variation du champ vectoriel : T ψ [V] = sup C 0 T ψ [V].C C 3. Décomposition en valeurs singulières du tenseur TO : T ψ [V] = ( ) ( ) T G.( σ max 0 0 σ min ). D 4. Transformée en ondelettes tensorielle : T ψ,max [V](b, a) = σ max G σmax p. 5/14

6 Méthodologie MMTO 2D tensorielle Donnée Transformée en ondelettes tensorielle T ψ,max [V](b, a) = σ max G σmax Chaînes de maxima du module σ max de la transformée en ondelettes tensorielle à l échelle a : { (b, a)/ σ max G max = 0 et 2 σ max G 2 max < 0 } p. 6/14

7 Méthodologie MMTO 2D tensorielle : Squelette Chaînes MMTO à 3 échelles différentes Chaînes MMTO Chaînage des MMMTO : Squelette TO MMMTO p. 7/14

8 Champs vectoriels 2D monofractals Champs Browniens Fractionnaires : B H (r) Simulation par méthode spectrale Prédictions théoriques : τ (q) linéaire : τ (q) = qh 2 spectre des singularités dégénéré : D(h = H) = 2 p. 8/14

9 Mesures vectorielles 2D autosimilaires multifractales Mesures vectorielles autosimilaires multifractales (Modèle de Falconer et O Neil) Prédictions théoriques : comptage de boîtes vectoriel méthode MMTO 2D vectorielle τ (q) = log 2 (p 1 q +p 2 q +p 3 q +p 4 q ) p 1 = p 4 = 0.5, p 2 = 2 et p 3 = 1 le comptage de boîtes vectoriel est moins performant p. 9/14

10 Méthode MMTO tensorielle 3D : champ de vitesse turbulent (R λ = 140) p. 10/14

11 Méthode MMTO tensorielle 3D : spectre des singularités de la vitesse méthode des incréments 1D : ajustement parabolique : τ (q) = C 0 C 1 q C 2 q 2 2 coefficient d intermittence C 2 = ± longitudinaux : C 2 (δv L ) transversaux : C 2 (δv T ) p. 11/14

12 Méthode MMTO tensorielle 3D : champ de vorticité turbulent (R λ = 140) p. 12/14

13 Méthode MMTO tensorielle 3D : spectre des singularités de la vorticité vorticité spectre D v (h + 1) vitesse translaté même coefficient d intermittence! p. 13/14

14 Méthode MMTO tensorielle 3D : spectre des singularités de la vorticité vorticité spectre D v (h + 1) vitesse translaté même coefficient d intermittence! p. 13/14

15 Conclusion bilan : analyse multifractale MMTO : passage vers les champs vectoriels perspectives : meilleure compréhension de l information contenue dans le tenseur TO. identification/sélection de structures cohérentes en turbulence en utilisant la plus petite valeur singulière du tenseur TO : filaments ou nappes de vorticité. autres applications : astrophysique (milieu interstellaire, turbulence interstellaire), MHD, géophysique,... Remerciements : E. Lévêque, Laboratoire de Physique, ENS Lyon (SND d écoulements turbulents). p. 14/14