ESPACES EUCLIDIENS. 1 Espaces préhilbertiens réels. 1.1 Formes bilinéaires symétriques. 1.2 Formes quadratiques

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1 ESPACES EUCLIDIENS Ce document n est pas un cours mais présente seulement quelques notions à connaître sur le sujet. Dans ce chapître E désigne un R espace vectoriel de dimension finie. 1 Espaces préhilbertiens réels 1.1 Formes bilinéaires symétriques Soit E un R espace vectoriel Définition 1 Une application ϕ : E E R est une forme bilinéaire sur E si : 1. x E, y ϕ(x, y) est linéaire 2. y E, x ϕ(x, y) est linéaire Si de plus (x, y), ϕ(x, y) = ϕ(y, x) on dira que ϕ est symétrique. Soit L 2 (E, R) l ensemble des formes bilinéaires sur E et L s2 (E, R) l ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E. Remarque 1 Une forme bilinéaire ϕ sur E qui vérifie (x, y), ϕ(x, y) = ϕ(y, x) est appelée une forme bilinéaire antisymétrique soit L a2 (E, R) l ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E. Exemple 1 E = R n, pour α = (α 1,..., α n ) R n soit ϕ : E = M n (R), n 1, ϕ : (A, B) tr(ab), ϕ L s2 (E, R) E = C([a, b], R) a < b, ϕ : (f, g) b E = l 2 (N, R), l 2 (N, R) = {(u n ) n N R N, E = R 2, ϕ : ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) 2x 1 y 2 x 2 y 1 a E E R ( x, y) α k x k y k, ϕ L s2 (E, R) f(t)g(t)dt, ϕ L s2 (E, R) + n=0 u n 2 < + } ϕ : (u, v) + k=0 ϕ L 2 (E, R) mais ϕ / L s2 (E, R). u k v k, ϕ L s2 (E, R) Proposition 1 L 2 (E, R) est un R espace vectoriel et L s2 (E, R) est un sous-espace vectoriel de L 2 (E, R) Remarque 2 On aussi L a2 (E, R) est un espace vectoriel et L 2 (E, R) = L s2 (E, R) L a2 (E, R) 1.2 Formes quadratiques Définition 2 On appelle forme quadratique sur E toute application Q : E R telle qu il existe une forme bilinéaire symétrique ϕ telle que : x E, Q(x) = ϕ(x, x). Q est la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique ϕ Propriétés 1. (λ, x) R E, Q(λ x) = λ 2 Q(x) 2. (x, y) E 2, Q(x + y) = Q(x) + 2ϕ(x, y) + Q(y) 3. Soit Q(E) l ensemble des formes quadratiques sur E (Q, +, ) est un R espace vectoriel. (L s2 (E, R), +, ) (Q(E), +, ) est un isomorphisme d espace vectoriel. ϕ Q LGT Baimbridge 1 C.Susset

2 Q(x + y) = Q(x) + Q(y) + 2ϕ(x, y) Q(x + y) + Q(x y) = 2(Q(x) + Q(y)) Q(x + y) Q(x y) = 4ϕ(x, y) ϕ(x, y) = 1 (Q(x + y) Q(x) Q(y)) 2 ϕ(x, y) = 1 (Q(x + y) Q(x y)) 4 (identités de polarisation) 4. Q est la forme quadratique associée à ϕ 5. ϕ est la forme polaire associée à Q Exemple 2 Pour f E, f 2 Q(E) de forme polaire associée (x, y) f(x)f(y) Pour (f 1, f 2 ) (E ) 2, f 1 f 2 Q(E) et la forme polaire associée est définie par : (x, y) 1 2 [f 1(x) f 2 (y) + f 1 (y) f 2 (x)] R[X] R 1 Q : P P (t)p (t)dt, Q Q(E) de forme polaire associée : 0 (P, Q) 1 ( 1 ) P (t)q (t) + P (t)q(t)dt Formes bilinéaires symétriques de signe constant Définition 3 Soit ϕ L s2 (E, R) de forme quadratique associée Q, on dit que : 1. ϕ ( resp. Q) est positive si x E, ϕ(x, x) 0 2. ϕ ( resp. Q) est définie positive si x E \ { 0}, ϕ(x, x) > 0 Théorème 1 (inégalité de Cauchy Schwarz) Si ϕ est une forme bilinéaire symétrique positive sur E alors (x, y) E 2, ϕ(x, y) Q(x) Q(y) Si, de plus, ϕ est définie positive, l égalité a lieu si et seulement si (x, y) est une famille liée. 1.4 Formes quadratiques en dimension finie Soit E un R espace vectoriel de dimenson finie, dim E = n, n 1, et B = ( e 1,..., e n ) une base de E. Pour ϕ L s2 (E, R), posons A ϕ = (ϕ(e i, e j )) 1 i n, on a A ϕ M sn (R) (espace vectoriel des matrices symétriques 1 j n carrée d ordre n), A ϕ est la matrice de ϕ dans la base B, Pour x E notons X le vecteur colonne des coordonnées de x dans la base B, x = On a : ( x, y) E 2, ϕ( x, y) = t XA ϕ Y x k e k et X = x 1. x n Proposition 2 L application : L s2 (E, R) M sn (R) ϕ A ϕ est un isomorphisme d espace vectoriel. Changement de base : Soit B 1 = ( u 1,..., u n ) une autre base de E et P la matrice de changement de base de B à B 1, P est la matrice des coordonnées des vecteurs ( u i ) dans la base B. Soit A 1ϕ la matrice de ϕ dans la base B 1, on a : A 1ϕ = t P AP LGT Baimbridge 2 C.Susset

3 1.5 Espaces préhilbertiens réels Définition Définition 4 Soit E un R espace vectoriel, on appelle produit scalaire sur E une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E. Définition 5 On appelle espace préhilbertien réel un R espace vectoriel E muni d un produit scalaire <, >. <, > L s2 (E, R) et <, > est définie positive. Définition 6 On appelle espace euclidien un espace préhilbertien réel de dimension finie. Exemple 3 1. (R n, <, >) avec < (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) >= x k y k, est un espace euclidien 2. (M n,p, <, >) avec (A, B) M n,p (R) 2 < A, B >= tr( t AB), est un espace euclidien. 3. Pour I intervalle de R de longueur non nulle, soit L 2 c(i, R) le R espace vectoriel des applications continues sur I et de carré intégrable sur I, on pose pour (f, g) L 2 c(i, R) 2, < f, g >= f(t)g(t)dt, (L 2 c(i, R), <, >), est un espace préhilbertien réel. 4. Soit l 2 (R) l espace vectoriel des suites réelles de carré sommable, on pose pour (u, v) l 2 (R) 2, < u, v >= + k=0 u k v k, Propriétés du produit scalaire (l 2 (R), <, >) est un espace préhilbertien réel. Soit (E, <, >) un espace préhilbertien réel, pour x E on pose x = < x, x >. Pour (x, y) E 2 : < x, y > x. y (inégalité de Cauchy Schwarz) avec égalité si et seulement si (x,y) est lié. (E, ) est un espace vectoriel normé Soit a E, a = 0 si et seulement si z E, < a, z >= 0 Soit a E, a = sup < a, z > z 1 x + y 2 = x 2 +2 < x, y > + y 2 x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) (identité du parallélogramme) Pour (a, b, c) E 3, a b 2 + a c 2 = 2 a b + c b c 2 (identité de la médiane) Identités de polarisation : < x, y >= 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2 ) < x, y >= 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) I Orthogonalité Soit (E, <, >) un espace préhilbertien réel Définition 7 Deux éléments x et y de E sont orthogonaux si < x, y >= 0, on note x y Si A E et x E, on dit que x est orthogonal à A si x est orthogonal à tous les vecteurs de A, on note A ou A l ensemble des vecteurs de E orthogonaux à A, A = {x E, y A, < x, y >= 0} Proposition 3 Si A E Alors A est un sous espace vectoriel fermé de E Si A E Alors A = (vect < A >) LGT Baimbridge 3 C.Susset

4 Théorème 2 Si (x, y) E 2 Alors x y x + y 2 = x 2 + y 2 Si x 1,..., x n sont n vecteurs de E orthogonaux deux à deux Alors x k 2 = x k 2 Définition 8 Une famille (x i ) i I E I est une famille orthogonale si (i, j) I 2, i j, < x i, x j >= 0 Une famille (x i ) i I E I est une famille orthonormée si (i, j) I 2, i j, < x i, x j >= 0 et x i = 1 Proposition 4 Une famille orthogonale de vecteurs non-nuls est une famille libre Proposition 5 Si (e 1,..., e n ) est une famille orthonormée de vecteurs de E, soit F = vect < e 1,..., e n > Alors x F, x = < e k, x > e k x F, x 2 = < e k, x > 2 (x, y) F 2, < x, y >= Si x = x k e k, y = < e k, x >< e k, y > y k e k Alors d(x, y) = n (x k y k ) 2. Procédé d orthonormalisation de Gram-Schmidt Soit (u k ) k I une famille libre de E avec I = [[0, n], n N ou I = N. On pose pour p I, E p = vect < u 0,..., u p >. Le procédé permet de construire une famille (e k ) k I orthonormée de E telle que : p I, vect < e 0,..., e p >= vect < u 0,..., u p > Etape 1 On construit par récurrence une famille orthogonale (v k ) k I : v 0 = u 0 Pour p I, supposons construit, v 0,..., v p 1, au rang p : p 1 v p = u p + λ k v k avec k [0, p 1], < v k, v p >= 0, soit λ k = < v k, u p > < v k, v k > k=0 Etape 2 Pour k I on pose e k = 1 v k v k. Conséquence : Théorème 3 Un espace euclidien possède des bases orthonormées Toute famille orthormale d un espace euclidien E peut se compléter en une base orthonormée de E. Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d un espace préhilbertien complexe possède des bases orthonormées Projection orthogonale Proposition 6 Si F est un sous-espace vectoriel d un espace préhilbertien réel E Alors F et F sont en somme directe. On dit que F et F sont en somme directe orthogonale, on note F F Théorème 4 (sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux) Si F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires d un espace préhilbertien réel E on a équivalence entre les propositions suivantes : F et G sont orthogonaux F = G G = F dans ces conditions on dit que F et G sont supplémentaires orthogonaux, E = F G. Définition 9 Soit E un espace préhilbertien réel et p une projection sur un sous-espace vectoriel F parallèlement à un sous-espace vectoriel G, on dit que p est une projection orthogonale si F et G sont orthogonaux. LGT Baimbridge 4 C.Susset

5 Proposition 7 Soit E un espace préhilbertien réel et E 1,..., E r, r sous-espaces vectoriels de E orthogonaux 2 à 2 tels que E = E 1... E r, on note alors E = E 1... Er. Pour k [1, r ] on a E k = 1 i r i k p p r = Id E (i, j) [1, r ] 2, i j, p i p j = 0 E i et si p k est la projection orthogonale sur E k : Théorème 5 (projection orthogonale) Si F est un sous espace vectoriel de dimension finie d un préhilbertien réel E et si x E Alors il existe un unique vecteur p F (x) F tel que d(x, F ) = x p F (x) x p F (x) est une application de E dans E qui vérifie : 1. x E, p F (x) est l unique vecteur de F tel que x p F (x) F, p F (x) s appelle le projeté orthogonal de x sur F 2. E = F F et p F est la projection orthogonale sur F, p F est continue et pour la norme subordonnée à la norme euclidienne de E, p F = 1 3. ( F ) = F 4. Soit (e 1,..., e n ) une base orthonormée de F, x E, p F (x) = < e k, x > e k On aussi : x E, d(x, F ) 2 = x 2 p F (x) 2 Inégalité de Bessel : x E, p F (x) x Si (e 1,..., e n ) est une famille orthonormée de E alors x E, < e k, x > 2 x 2 2 Espaces euclidien Soit (E, <, >) un espace euclidien rapporté une base orthonormée B = ( e 1,, e n ). 2.1 Premières propriétés Les propriétés des espaces préhilbertiens réels s appliquent (voir plus haut 1.5) Orthogonalité E est dimension finie de sorte que tout sous-espace vectoriel de E est aussi de dimension finie et le théorème de projection orthogonale s applique. Proposition 8 Tout sous-espace vectoriel F de E possède un supplémentaire orthogonal, on a : E = F F (F ) = F Soit x E, x F y F, < x, y >= Matrice d un endomorphisme dans un espace euclidien Proposition 9 Soit u un endomorphisme de E et M u = (a i,j ) 1 i n 1 j n (i, j) [1, n] 2, a i,j =< e i, u( e j ) > La trace de u est : tr u = < e i, u( e i ) > Le déterminant de u vaut : det u = σ S n ε(σ) la matrice de u dans la base orthormée B on a : n < e σ(j), u( e j ) > i=1 LGT Baimbridge 5 C.Susset

6 2.1.3 Isomorphisme de R n sur E On considère l espace euclidien usuel (R n, <, >) rapporté à sa base canonique qui est une base orthonormée. Pour ( x, y) (R n ) 2, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) on a < x, y >= x k y k. Proposition 10 L application : R n E (x 1,..., x n ) x 1 e x n e n est une isométrie vectorielle de (R n, <, >) sur (E, <, >) Isomorphisme canonique de E sur E Proposition 11 E E L application : a ϕ a avec x E, ϕ a ( x) =< a, x > est un isomorphisme d espace vectoriel. ϕ E,! a E, x E, ϕ( x) =< a, x > Remarque 3 1. L isomorphisme précédent est un isomorphisme canonique, il ne dépend que la structure d espace euclidien de E et non d une base de E. 2. Si l on munit E de la norme subordonnée à la norme euclidienne de E, définie par ϕ E, ϕ = sup ϕ( x), x =1 l isomorphisme d espace vectoriel précédent est une isométrie vectorielle. a E, ϕ a = a Preuve. on utilise l inégalité de Cauchy-Schwarz : x E, < a, x > a. x, soit ϕ a ( x) a. x de sorte que ϕ a a L inégalité précédente est une égalité pour x = a de sorte que ϕ a a Par suite ϕ a = a. 2.2 Adjoint d un endomorphisme Définition Théorème 6 Pour u L(E) il existe un unique endomorphisme u L(E) tel que : ( x, y) E 2, < u( x), y >=< x, u ( y) > Définition 10 Pour u L(E), l unique endomorphisme u L(E) du théorème précédent s appelle l adjoint de u. u est défini par la relation : ( x, y) E 2, < u( x), y >=< x, u ( y) > Proposition 12 Si u L(E) et v est une application de E dans E telle que : ( x, y) E 2, < u( x), y >=< x, v( y) > alors v est linéaire et u = v Exemple 4 1. Soit u un endomorphisme dont la matrice M u = (a i,j ) 1 i n t M = M, on a u = u. En effet : 1 j n dans la base orthonormée B est symétrique, Si M u = (a i,j) 1 i n est la matrice de u dans B alors a i,j =< e i, u ( e j ) >=< u( e i ), e j >=< e j, u( e i ) >= a j,i 1 j n et comme M est symétrique il vient (i, j) [1, n] 2, a i,j = a i,j soit M u = M u et par suite u = u 2. De même si la matrice de u dans une base orthonormée est antisymétrique, t M u = M u, on a u = u 3. Si p est une projection orthogonale alors p = p Exercice 1 Soit p une projection vectorielle d un espace vectoriel euclidien E. Montrer que p est une projection vectorielle orthogonale si et seulement si p = p LGT Baimbridge 6 C.Susset

7 4. Soit u une isométrie vectorielle, c est à dire que u est un isomorphisme d espace vectoriel qui conserve la norme. On a u = u 1 Rappel : Soit u une application de E dans E, u est une isométrie vectorielle si et seulement si u conserve le produit scalaire, c est à dire ( x, y) E 2, < u( x), u( y) >=< x, y >. Un endomorphisme de E qui conserve le produit scalaire est un automorphisme de E appelé endomorphisme orthogonal ou automorphisme orthogonal. 5. Soit u une symétrie orthogonale. u = u Exercice 2 Soit u L(E) (a) Si u est une symétrie vectorielle par rapport à E 1 parallèlement à E 2, montrer que u est une symétrie orthogonale si et seulement si u = u 6. Soit (E, <, >) un espace euclidien orienté de dimension 3. Pour a E on considère l application : E E ϕ a : Propriétés x a x on a ϕ a = ϕ a Propriété 1. Proposition 13 La matrice de l adjoint u d un endomorphisme u L(E) dans une base orthonormée est la transposée de la matrice de l endomorphisme u dans cette base, M u = t M u. Conséquence : Proposition 14 Soit u L(E), u et u ont même rang, même trace, même déterminant, même polynôme caractéristique, mêmes polynômes annulateurs, même polynôme minimal, mêmes valeurs propres, les sous-espaces propres de u et u associés à une valeur propre λ ont la même dimension. u est diagonalisable (resp. trigonalisable) si et seulement si u est diagonalisable (resp. trigonalisable). Propriété 2. Soit (λ, u, v) R E E et I d l endomorphisme identité de E, on a : Id = I d (u v) = v u (λu) = λu (u ) = u on note aussi u = u (u + v) = u + v Si u est un automorphisme alors (u 1 ) = (u ) 1 ker u = (Imu) et Imu = (ker u) ce qui se note aussi ker u = (Imu) et Imu = (ker u) En particulier : pour λ valeur propre de u (donc aussi de u ) ker(u λi d ) = (Im(u λi d )) Soit F un sous-espace vectoriel de E, F est stable par u si et seulement si F est stable par u Soit p L(E), p est une projection orthogonale si et seulement si p 2 = p et p = p Pour u L(E) on a pour L(E) rapporté à la norme subordonnée à la norme euclidienne de E, u = sup < u( x), y >, u = u et u 2 = u u = u u x 1 y Endomorphismes symétriques et antisymétriques Définition On appelle endomorphisme symétrique (on dit aussi endomorphisme autoadjoint) tout endomorphisme u de E tel que u = u 2. On appelle endomorphisme antisymétrique tout endomorphisme u de E tel que u = u Soit L s (E) l ensemble des endomorphismes smétriques et L a (E) l ensemble des endomorphismes antisymétriques. Proposition 15 Soit u L(E) u est symétrique si et seulement si la matrice de u dans une base orthonormée est symétrique u est antisymétrique si et seulement si la matrice de u dans une base orthonormée est antisymétrique. LGT Baimbridge 7 C.Susset

8 Si M sn (R) désigne le sous-espace vectoriel de M n (R) des matrices symétriques et M an (R) désigne le sous-espace vectoriel de M n (R) des matrices antisymétriques on a : Proposition 16 n(n + 1) L s (E) est isomorphe à M sn (R) et dim L s (E) = dim M sn (R) = 2 n(n 1) L a (E) est isomorphe à M an (R) et dim L a (E) = dim M an (R) = 2 L(E) = L s (E) L a (E) et M n (R) = M sn (R) M an (R) Exercice 3 Soit (E, <, >) un espace euclidien, pour (u, v) L(E) 2 on pose u, v = tr(u v) 1. Si B = ( e 1,..., e n ) est une base orthonormée de E montrer que u, v = < u( e i ), v( e i ) > 2. Montrer que (L(E),, ) est un espace euclidien. 3. Montrer que L(E) = L s (E) L a (E) 4. Montrer que l application Φ : est une symétrie orthogonale par rapport à L s (E)) (L(E),, ) (L(E),, ) u u 2.3 Réduction des endomorphismes symétriques Théorème 7 Soit (E, <, >) un espace euclidien et u un endomorphisme symétrique de E. On a : 1. u est diagonalisable 2. Les sous-espaces propres sont orthogonaux deux à deux 3. Il existe une base orthonormée de E de vecteurs propres de u La version matricielle de ce théorème donne : Théorème 8 Soit M M n (R), une matrice à cœfficients réels. On a : 1. M est diagonalisable 2. Il existe une matrice P orthogonale telle que t P MP est diagonale. (P O n (R) c est à dire que t P.P = I n soit t P = P 1 ) La preuve de ce théorème se fait en plusieurs étapes : Soit u L s (E) de matrice M dans la base orthonormée B Etape1 On montre que les valeurs propre de M dans C sont réelles Etape2 On montre que les sous espaces propres de u sont orthogonaux 2 à 2 Etape3 Comme u = u on constate que si F est un sous-espace vectoriel stable par u alors F est stable par u Etape4 On montre alors le théorème par récurrence sur la dimension de E 2.4 Formes bilinéaires symétriques en dimension finie Ce paragraphe complète celui sur les formes bilinéaires symétriques 1.1 et du 1.4 sur les formes quadratiques en dimension finie : Noyau et rang Définition 12 Soit ϕ L s2 (E) une forme bilinéaire symétrique de matrice M ϕ dans une base B 0 de E. On appelle rang de ϕ le rang de la matrice M ϕ. Cette définition ne dépend pas de la base B 0 de E i=1 LGT Baimbridge 8 C.Susset

9 Définition 13 Soit ϕ L s2 (E) une forme bilinéaire symétrique de matrice M ϕ dans une base B 0 de E. On dit que ϕ est non dégénérée si rang ϕ = n où n est la dimension de E. Proposition 17 Soit ϕ L s2 (E) E E L application :, Φ ϕ : x Φ ϕ ( x) : y ϕ( x, y) est une application linéaire. Définition 14 Soit ϕ L s2 (E), on appelle noyau de ϕ le noyau de Φ ϕ, ker ϕ = { x E, Φ ϕ ( x) = 0} Proposition 18 Soit ϕ L s2 (E) 1. ker ϕ = { x E, y E, ϕ( x, y) = 0} 2. ϕ est non dégénérée si et seulement si ker ϕ = {0} 3. ϕ est non dégénérée si et seulement si Φ ϕ est un isomorphisme d espace vectoriel. Proposition 19 Soit ϕ L s2 (E) de matrice M ϕ dans une base B 0 de E. Soit x E, x de coordonnées le vecteur colonne X M n,1 (R) dans la base B 0, on a x ker ϕ M ϕ X = 0 Proposition 20 Une forme bilinéaire positive est non dégénérée si et seulement si elle est définie positive Endomorphisme associé à une forme bilinéaire symétrique Soit (E, <, >) un espace euclidien rapporté à une base orthonormée B = ( e 1,..., e n ). Proposition 21 Pour ϕ L s2 (E) il existe un unique endomorphisme symétrique u ϕ L s (E) tel que : ( x, y) E 2, ϕ( x, y) =< u ϕ ( x), y >=< x, u ϕ ( y) > On dit que u ϕ est l endomorphisme symétrique associé à la forme bilinéaire symétrique ϕ. On dit aussi que ϕ est la forme bilinéaire symétrique associée à l endomorphisme symétrique u ϕ. Proposition Soit ϕ L s2 (E) et u ϕ l endomorphisme symétrique associé. Dans la base orthonormée B, ϕ et u ϕ ont la même matrice. 2. L application : L s (E) L s2 (E) u ϕ u : ( x, y) E 2, ϕ u ( x, y) =< u( x), y >=< x, u( y) > est un isomorphisme d espace vectoriel. Proposition 23 Soit ϕ L s2 (E) et u L s (E) l endomorphisme symétrique associé. 1. ϕ et u ont le même rang 2. ϕ et u ont le même noyau. Proposition 24 Si (E, <, >) est un espace euclidien et ϕ L s2 (E) une forme bilinéaire symétrique Alors il existe une base qui est orthonormée pour le produit scalaire <, > et orthogonale pour ϕ. Définition 15 Soit u un endomorphisme autoadjoint de forme bilinaire symétrique associée ϕ u, on dit que u est positif (respectivement défini positif) si ϕ u est positive (respectivement définie positive) On notera L + s (E) l ensemble des endomorphismes symétriques positifs. Proposition 25 Soit u L s (E), on a : 1. u est positif si et seulement si x E, < u( x), x > 0 LGT Baimbridge 9 C.Susset

10 2. u est défini positif si et seulement si x E \ { 0}, < u( x), x >> 0 Proposition 26 Soit u L s (E), u est positif (resp. défini positif) si et seulement si les valeurs propres de u sont positives (resp. strictement positives) Définition 16 Une matrice symétrique M M sn (R) est positive (respectivement définie positive) si ses valeurs propres sont positives (respectivement strictement positives). Proposition 27 Soit u L s (E) de matrice M u dans une base orthonormée. u est positif (resp. défini positif) si et seulement si M u est positive (resp. définie positive). Théorème 9 L(E) est rapporté à la norme subordonnée à la norme euclidienne de E. Soit u L + s (E) 1. u = sup < u( x), x > x 1 2. u = r(u) où r(u) désigne la plus grande valeur propre de u. Conséquence : Théorème 10 L(E) est rapporté à la norme subordonnée à la norme euclidienne de E. Soit u L(E) 1. u = u u 2. u = λ k où λ 1,..., λ n sont les valeurs propres de u u sup k [1,n ] 2.5 Endomorphismes orthogonaux Définition 17 Soit u L(E), on dit que u est un endomorphisme orthogonal si u u = I d On note O(E) l ensemble des endomorphismes orthogonaux de E Définition 18 Soit M M n (R) on dit que M est une matrice orthogonale si t M.M = I n où I n est la matrice identité de d ordre n. On note O n (R) l ensemble des matrices orthogonales d ordre n Proposition 28 Soit u L(E) de matrice M dans une base orthonormée B, on a : u O(E) si et seulement si M O n (R) Proposition 29 O(E) est un sous-groupe de (GL(E), ) et O n (R) est un sous- groupe de (GL n (R, ) Théorème 11 Soit u une application de E dans E Le propositions suivantes sont équivalentes deux à deux : 1. u O(E) 2. u L(E) et u u = I de 3. ( x, y) E 2, < u( x), u( y) >=< x, y > 4. u est linéaire et x E, u( x) = x 5. L image de B = ( e 1,..., e n ) par u, u(b) = (u( e 1 ),..., u( e n )) est une base orthonormée de E 6. L image de toute base orthonormée de E par u est une base orhonormée de E Théorème 12 Soit M M n (R) de vecteurs colonnes (C j ) 1 j n (M n,1 (R)) n et de vecteurs lignes (L i ) 1 i n (M 1,n (R)) n, les propositions suivantes sont équivalentes deux à deux : 1. M O n (R) 2. t M.M = I n 3. (i, j) [1, n] 2, t C i C j = δ i,j avec δ i,j = 1 si i = j et δ i,j = 0 si i j. LGT Baimbridge 10 C.Susset

11 4. (i, j) [1, n] 2, L i t L j = δ i,j. Définition 19 Soit (E, <, >) un espace euclidien (O(E), ) ({ 1, +1}, ) L application : u det u est un morphisme de groupe. On note SO(E) le noyau de ce morphisme, on appelle rotation vectorielle tout élément de SO(E). On note SO (E) = O(E) \ SO(E) Définition 20 (O n (R), ) ({ 1, +1}, ) L application : M det M est un morphisme de groupe. On note SO n (R) le noyau de ce morphisme. On note SOn (R) = O n (R) \ SO n (R). Proposition 30 SO(E) est un sous-groupe de (O(E), ) et SO n (R) est un sous-groupe de (O n (R), ). Proposition 31 Soit B 1 et B 2 deux bases orthonormées de E Il existe un unique endomorphisme orthogonal u de E tel que u(b 1 ) = B 2 Définition 21 Soit B 1 et B 2 deux bases orthonormées de E et u O(E) telle que u(b 1 ) = B 2. On dit que B 1 et B 2 ont même orientation si u SO(E). Orienter l espace euclidien E consiste à choisir une base orthonormée B 0 de E, une base qui a même orientation que B 0 est une base orthonormée directe, sinon on dit que c est une base orthonormée indirecte. Définition 22 On appelle réflexion de E une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan. Proposition 32 Une réflexion est un élément de SO n (R) Exercice 4 Montrer les deux propositions suivantes : 1. Proposition Si u O(E) et F un sous-espace vectoriel de E stable par u Alors F est stable par u 2. Proposition Soit (E, <, >) un espace vectoriel euclidien de dimension n 2 Si u O(E) Alors u est produit d au plus n réflexions. LGT Baimbridge 11 C.Susset

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