Corrigé de Mathématique éco HEC

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1 Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges j j A 3,j j s 4 A 3 A i,, s 5 A 3 A i,, s 6 A 3 A i,3 somme des coefficiets des coloes i i s 7 A 3 A i,i, s 8 A 3 A i,4 i, somme des coefficiets des diagoales i i k;l [,3]], E k,l est la matrice de M 3 R dot tous les coefficiets sot uls ecepté celui situé à l itersectio de la k e lige et de la l e coloe qui vaut. B E,,E,,E,3,E,,E,,E,3,E 3,,E 3,,E 3,3, Best ue base de M 3 R.. E A A M 3 R, s 7 A }. i a Soiet A E, B E et λ R o a s 7 A+λB s 7 A 3 A+λB i,i 3 A i,i +λb i,i s 7 A+λB 3 A i,i + λ 3 B i,i s 7 A + λs 7 B doc s 7 est ue applicatio liéaire de i i M 3 R das R. Comme E kers 7 que E est u sous-espace vectoriel de M 3 R. s 7 E ; doc dimims 7, dimm 3 R 9, du théorème du rag o déduit que dimims 7 +dimkers 7 9 et doc dime 8. f est l applicatio de M 3 R das R 8 qui à toute matrice A fait correspodre le vecteur f A s A,s A,s 3 A,s 4 A,s 5 A,s 6 A,s 7 A,s 8 A de R 8. a i;j [;3]], A A i,j est ue applicatio liéaire de liéaire de M 3 R das R, or ue combiaiso d applicatios liéaire de M 3 R das R est liéaire doc, s k k [[;8]] est uefamille d applicatios liéaires de M 3 R das R. Ueapplicatio d uespacevectoriel dasr 8 dottouteslescomposatessotliéaireestliéaire doc f est ue applicatio liéaire de M 3 R das R 8. b C e ;e ;e 3 ;e 4 ;e 5 ;e 6 ;e 7 ;e 8 est la base caoique de R 8, F mat f. C B F 3. G A A M 3 R, k [;8]] s k A s A} a L applicatio h : M 3 R R 7 telle que A M 3 R, k [[;7]], ha k s k+ A s A est liéaire. G kerh doc G est u sous-espace vectoriel de M 3 R. b Pour A M 3 R o a A G E ha ;s 7 A k [;7]] s k+ A s A;s 7 A k [;8]] s k A f A. Coclusio, kerf G E. i i /

2 c J. O a k [;8]], s k J 3. Pour A M 3 R, o a A G A kerh k [;7]] s k+ A s A k [;7]] s k+ A s k+ 3 s AJ s A s 3 s AJ k [;8]] s k+ A 3 s AJ A B +λj avec B A 3 s AJ, B kerf, λ 3 s A Note : Si A B +λj avec B kerf et A G, alors f A +λf J avec f J 3 doc λ 3 f A 3 s 7A 3 s A. Coclusio, Tout élémet de G s écrit de maière uique comme la sommed uematricedekerfetd uematricedevectj. o e déduit que dimg dimkerf+ a b c d e. O a les équivaleces y z t d Soit A f A O 3 L L y +z t a e +y a+c e z c++t a+e+t c+e+y L L L 3 a+c e+y +t a+c e+y t L 6 a+e+t c+e+y L L L 3 L 4 L 4 L 6 c e+y c+e+y a+b+c d+e+ y +z t a+d+y b+e+z c++t a+e+t c+e+y L 5 L 5 +L 3 L 7 L 7 L 8 L 4 L +L 4 L 5 L 4 L 5 L 7 L 4 L 7 L L L 3 a e +y a+c e+y t c++t a+e+t c+e+y L L L 3 L 4 t L 6 c e+y t c+e+y L L L 3 L 4 L 4 L 6 3e doc L 8 y y A kerf A y y y y y dimkerf et du théorème du rag dimimf dimm 3 R dimkerf 9 8 c est à dire que a+b+c L y +z t a e +y b+e+z c++t a+e+t c+e+y o a doc L 4 L 4 +L 6 L 7 L 5 +L 7 L 5 L L 5 /

3 le rag de l applicatio f est 8. e dimkerf et est ue base de kerf Note, ; est ue base de G, l espace vectoriel des matrices magiques d ordre 3. PROBLEME Φ : R R e t dt π, Φ. Première partie U équivalet d ue itégrale. Hypothèse, N : [;[ R l a [;[ ];] est de classe C, l est de classe C sur ];[, la composée [;[ R est de classe C, la foctio polyôme est de classe C l le produit [;[ R est de classe C, est de classe C, la l différece N est de classe C doc de classe C sur [;[. b Soit d : [;[ R oa ];[, d < docdest stric- +l temetdécroissatecotiuee,etcommed odéduitque ];[, l + < et [;[, l. c ];[, N +l ];[, N <. +l <. d Du cours lim,pourt, lim doc lim, t +tlt l N or lim et de la décroissace de N o déduit que ];[, < N <. +N. Hypothèse, f : ];[ R +l a Pour [;[, l + ε avec lim ε. b Pour [;[, +l + ε + ε f +l + doc lim, doc +f + doc 3 /

4 f : [;[ R +l si > si est le prologemet par cotiuité de f e. c Pour ];[, o a : f 3 + d f 3 +l +l 3 3 Coclusio, ];[, f N 3 >, voir.d. +l. l. f ր O a pour ];[, lim doc +l l doc l f +l l l c est à dire que lim f. La foctio f est cotiue et strictemet croissate sur [;[, f, lim f du théorème de la bijectio [;[ [;[ est bijective. f 3. Hypothèse, N, [;[, g ep f a Le produit des foctios cotiues et f est cotiu sur [;[, la composée avec ep est cotiue doc g est cotiue, et comme [;[, f pour [;[, f doc f d où [;[ < g. Comme est itégrable sur [;[ o déduit que g est itégrable sur [;[ doc l itégrale Hypothèse N, I g d. b Pour [,[, f doc a g ep. c E itégrat l iégalité sur [; [ o obtiet, I ep d t ep doc I π Φ d La foctio Φ est strictemet croissate sur R et lim d où N π, I π 4. Hypothèse, v N vérifie N, v l+ g d eiste das R. f, comme ep est strictemet croissate sur o dt [ ] t π Φt π Φ Φ doc Φ est majorée par a Pour N, o a < e < 3 + et de la croissace de l, le < l+. La foctio t t état strictemet décroissate sur ];[ o déduit que N, < v <. 4 /

5 b Hypothèse, N, w f v. De lim l+, v l+ o déduit que lim v or lim +f et w f v la limite de la composée est doc lim w f. Coclusio, lim w. c Pour N o a établit que g > et g est itégrable sur [;[, < v < doc I g d v [;v [, f f v v g d v N, I w g d, or f est positive strictemet croissate sur [;[, doc pour w doc g ep ep w d u w v w ep π I Φ v w w u v w f ep ep u v w π du w du w doc π ep w d où d Pour N, π de 3.d I π soit ecore I π π de 4.c o a, Φ v w I soit w w Φ v w I π doc, N, w Φ v w I π e De 4.b lim w, v w w or lim l+ l Φ doc lim Φv w doc lim w Φ v w et de l ecadremet précédet o déduit que lim I π π, I u du Deuième partie Quelques propriétés asymptotiques de la loi de Poisso O utilise les otatios de la Partie I.. Hypothèse, >, N, J! a Pour >, J >, J +e b Pour > et N, J! J e +! te t dt [ t e t] t e t dt Note : J e. e t dt [ t e t e t], doc t e t dt [ t e t]! t e t dt. 5 / t e t dt

6 Coclusio, >, N, J J! e. c Pour >, N, J J J J e k k! k Coclusio, >, N, J e e d Pour N, >, J! t e t dt J k J k k k e e k! k e e! e k k! k k! k e doc k! k k! k e. car lim e lim e doc lim J. D autre part t t e t est cotiue positive sur [;[ doc J est ue foctio croissate sur [;[ majorée par doc N, t e t dt!. e Pour N, I g d t, doc t, d dt I ep t f t dt or pour t [;], at ep t at ep t t at ep t t +l doc N, I! e + J ep d f e faisat le chagemet de variable f +l t atdt avec t t ep t+l Hypothèse, X N sot des variables aléatoires idépedates, sur l espace probabilisé Ω;A;P, de loi P N, S X i. i. t t e e t e +t e t. a S est la somme de variables aléatoire idépedates qui suivet ue loi de Poisso doc S suit la loi de Poisso de paramètre la somme des paramètres, doc S P, k N, P S k k k! e b N, P S 3. Hypothèse, N, h : R + R e. k k! e.c J, P S P S J. a h estdeclassec.pour,h e,h e e e, h est du sige de d où le tableau de variatio : 6 /

7 sigeh + e h ր ց b Pour N, e utilisat la défiitio des J k o a P S + + P S.b J + + J J J + + J J + +J + J + +.b +! + e + +J + J ! h + + +! h + tdt +! h + t h + dt coclusio, N, P S + + P S + h + t h + dt +! c Pour N, h + est croissate sur [;+] doc t [;+], h + t h + et de 3.b o déduit que P S + + P S. Coclusio la suite P S N est décroissate. d Pour [[;[, P S + + P S J + J J + J +J J + t e t dt.b!! e + h t h dt carh estdécroissatesur[;+].! Coclusio. la suite P S N est décroissate. e Les deu suites P S N et P S N sot décroissates miorée par doc coverget. 4. a Théorème de la limite cetrée : Si X N sot des variables aléatoires idépedates, de même loi, d espérace m et d écart type σ alors t R, lim P σ X k m t t e d Φt π k Ici N, X P, m EX σ X σ, doc σ X k m S. k Pour N, P S P S P S Coclusio, lim P S π b Pour N, I! e J P.e +! e P.b P 4.e π + doc! e + e π c E utilisat b, pour N, P S! e Φ. + P S + e π d Pour N, P S P S P S +P S De 4.a lim P S P 4. e π.! e + et de 4.b, lim P S doc lim P S 7 /

8 Troisième partie Médiaes. Cas des variables aléatoires discrètes et des variables aléatoires à desité Défiitio Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur u espace probabilisé Ω,A,P, de foctio de répartitio F. O appelle médiae de X, tout réel m vérifiat les deu coditios : P X m et P X m. O admet qu u tel réel m eiste toujours. Remarque. d P X P X P X P X P X < +P X, d est croissate sur R, lim d, lim d pour a tel que da < et b tel que db > o costruit deu suites adjacetes a ր et b ց covergete vers m avec e utilisat la méthode de dichotomie. N, da, db. F état cotiue à droite P X < m lim da dm lim db P X m d où dm, o e déduit l eistece d ue médiae.. O a N N,type probaarray[l..n] of real. X ue variable aléatoire discrète à valeurs das [;N]]. O suppose que la loi de X est stockée das ue variable loi de type proba. Foctio qui revoie ue médiae de X fuctio mediaeloi:proba:real; var k:iteger;s:real; Begi k:;s:;while s</ do begi k:k+;s:s+loi[k] ed;mediaek;. Hypothèse, X est ue variable aléatoire discrète à valeurs das N admettat ue espérace EX. a Pourr N,E X r r E X r r P X + r r P X r P X + rp X r Coclusio, E X r EX r + r r kp X k. b Soit r N, r r kp X k r r r r kf k r k r kf k r Coclusio, r N, r r r rp X r P X +EX r kf k F k r r kf k k k r k F k r F k r De a E X r EX r + r d où r N, E X r EX+ r r F k r kp X k. r kf k r r kf k r kf k r r k F k k r r kp X kex 8 / F k r + F k

9 c Hypothèse, m est ue médiae de X, m N. Pourr N,E X r E X m EX+ r r F k m F k Si r > m, E X r E X m r Si r m, E X r E X m km F k F k } } Si r < m, E X r E X m m F k kr } doc } r N, E X r E X m. L applicatio N R r E X r d Hypothèse, N, X P, X S. a u miimum e m. EX+ m E PII 3.c&4a P S N est décroissate vers doc P S F k E PII 3.d&4d P S N est décroissate vers doc P S Coclusio, est ue médiae de X. De PII 4.c P S π De PIII.a si r N, E X r EX r + r E X kp X k k k k! e e r kp X k doc pour r k+ k! E X e! e! P S π Coclusio, E X π. 3. Hypothèses, X est ue variable aléatoire à desité dot ue desité f est cotiue sur R. F est la foctio de répartitio de X X admet ue espérace EX, M : R R E X u u a Pour soitu, tf tdt [tf t F ] u e faisat tedre u vers l ecadremet o déduit que F tf tdt EX tf tdt et comme lim tf tdt EX o déduit que π. k k k! F t F dt [tf t F ] u lim F. P X P X > P X F doc X est ue variable à desité de desité f et de foctio de répartitio F doc, e utilisat le résultat précédet à la variable aléatoire X o a lim F, c est à dire que lim F. 9 /

10 b Pour R, M [ tf t] t f tdt tf tdt+ F tdt+[t F t ] De lim F o déduit que [ tf t] o déduit que [t F t ] doc M c Poura,b R,M b M a b a a F tdt+ b F tdt b b a F tdt+ b F t dt Coclusio, a;b R, M b M a b a t f tdt, et de lim F tdt+ F tdt F t dt. a F t dt F F tdt F tdt+ d m est ue médiae de X. Pour t m F t b, doc pour b m, M b M m F t dt m a F tdt Pour t m F t m, doc pour a m, M m M a F t dt, doc c R, M c M m Coclusio, M atteit so miimum e m, où m est ue médiae de X. a /

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