MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS. Directeurs de la collection : G. Allaire et M. Benaïm

Transcription

1 MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection : G. Allaire et M. Benaïm 59

2 MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS Comité de Lecture / Editorial Board GRÉGOIRE ALLAIRE CMAP, École Polytechnique, Palaiseau allaire@cmapx.polytechnique.fr MICHEL BENAÏM Mathématiques, Univ. de Neuchâtel michel.benaim@unine.ch THIERRY COLIN Mathématiques, Univ. de Bordeaux 1 colin@math.u-bordeaux1.fr MARIE-CHRISTINE COSTA CEDRIC, CNAM, Paris costa@cnam.fr GÉRARD DEGREZ Inst. Von Karman, Louvain degrez@vki.ac.be JEAN DELLA-DORA LMC, IMAG, Grenoble jean.della-dora@imag.fr JACQUES DEMONGEOT TIMC, IMAG, Grenoble jacques.demomgeot@imag.fr FRÉDÉRIC DIAS CMLA, ENS Cachan dias@cmla.ens-cachan.fr NICOLE EL KAROUI CMAP, École Polytechniques Palaiseau elkaroui@cmapx.polytechnique.fr MARC HALLIN Stat. & R.O., Univ. libre de Bruxelles mhallin@ulb.ac.be LAURENT MICLO LATP, Univ. de Provence laurent : miclo@latp.univ-mrs.fr HUYEN PHAM Proba. et Mod. Aléatoires, Univ. Paris 7 pham@math.jussieu.fr DOMINIQUE PICARD Proba. et Mod. Aléatoires, Univ. Paris 7 picard@math.jussieu.fr ROBERT ROUSSARIE Topologie, Univ. de Bourgogne, Dijon roussari@u-bourgogne.fr CLAUDE SAMSON INRIA Sophia-Antipolis claude.samson@sophia.inria.fr BERNARD SARAMITO Mathématiques, Université de Clermont 2 Bernard.Saramito@math.univ-bpclermont.fr ANNICK SARTENAER Mathématique, Univ. de Namur annick.sartenaer@fundp.ac.be ZHAN SHI Probabilités, Univ. Paris 6 zhan@proba.jussieu.fr SYLVAIN SORIN Equipe Comb. et Opt., Univ. Paris 6 sorin@math.jussieu.fr JEAN-MARIE THOMAS Maths Appl., Univ. de Pau Jean-Marie.Thomas@univ-pau.fr ALAIN TROUVÉ CMLA, ENS Cachan trouve@cmla.ens-cachan.fr JEAN-PHILIPPE VIAL HEC, Univ. de Genève jean-philippe.vial@hec.unige.ch BERNARD YCART LMC, IMAG, Grenoble bernard.ycart@imag.fr ENRIQUE ZUAZUA Matemáticas, Univ. Autonóma de Madrid enrique.zuazua@uam.es VALÉRIE PERRIER LMC, IMAG, Grenoble valerie.perrier@imag.fr Directeurs de la collection : G. ALLAIRE et M. BENAÏM Instructions aux auteurs : Les textes ou projets peuvent être soumis directement à l un des membres du comité de lecture avec copie à G. ALLAIRE OU M. BENAÏM. Les manuscrits devront être remis à l Éditeur sous format LATEX2e.

3 Mohamed Elkadi Bernard Mourrain Introduction à la résolution des systèmes polynomiaux ABC

4 Mohamed Elkadi Laboratoire J.A. Dieudonné Université de Nice Sophia Antipolis Parc Valrose Nice cedex France Bernard Mourrain Project GALAAD, INRIA 2004 routes deś lucioles B.P Sophia Antipolis cedex France Library Congress Control Number: Mathematics Subject Classification (2000): 13P10, 68Q40, 14Q20, 65F15, 08-0, 14-01, ISSN X ISBN Springer Berlin Heidelberg New York ISBN Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 springer.com WMXDesign GmbH Imprimé sur papier non acide 3100/SPi

5 Table des matières Introduction Équations, Idéaux, Variétés Polynômes Solutions Correspondance entre l algèbre et la géométrie Décomposition primaire Quelques invariants numériques d une variété algébrique Un peu de géométrie projective Exercices Calcul dans une algèbre quotient Introduction Réduction des polynômes Ordres monomiaux Idéaux monomiaux Algorithme de construction d une base de Gröbner Quelques applications des bases de Gröbner Bases de Gröbner des sous-modules de K[x] m Exercices Dimension et degré d une variété algébrique Dimension d une variété algébrique Degré d une variété algébrique L exemple d une intersection complète Exercices

6 4. Algèbres de dimension Cas d une seule variable Idéaux 0-dimensionnels de K[x] Dual de l algèbre A Décomposition de l algèbre A Idempotents de l algèbre A Description des sous-algèbres A i de A Opérateurs de multiplication de A Décomposition des opérateurs de multiplication de A Forme de Chow de l idéal I Représentation univariée rationnelle Nombre de racines réelles Exercices Théorie des résultants Cas d une variable Cas multivariable Résultant sur P n Résultant torique Résultant et bézoutien Exercices Application des résultants Intersection de deux courbes planes Résolution de systèmes surdéterminés Résoudre en ajoutant une forme linéaire générique Calcul d une représentation univariée rationnelle Résoudre en «cachant» une variable Problème d implicitisation Exercices Dualité Dualité etsystèmes inverses Système inverse d un point isolé Interpolation Exercices Algèbres de Gorenstein Algèbres de Gorenstein

7 8.2. Passage du local au global Suites régulières et suites quasi-régulières Théorème de Wiebe Intersection complète Exercices Résidu algébrique Définition du résidu et premiers exemples Lois de transformation D autres exemples de résidus Résidu et résolution algébrique Résidu local et socle Quelques applications du résidu Exercices Calcul du résidu et applications Applications dominantes Applications commodes Structure de la matrice bézoutienne Relations de dépendance algébrique Algorithme de calcul des résidus multivariables Applications propres de C n Exposant de Lojasiewicz Inversion d une application polynomiale Exercices Liste des algorithmes Liste des notations Bibliographie Index...301

8 Introduction Les équations polynomiales sont présentes dans de nombreux domaines. Elles interviennent pour modéliser des contraintes géométriques, des relations entre des grandeurs physiques, des propriétés satisfaites par certaines inconnues...voici quelques exemples de tels domaines. Biologie moléculaire. Si les distances entre deux atomes consécutifs et les angles entre deux liaisons consécutives d une molécule à 6 atomes sont connus, quelles sont les configurations possibles de celle-ci? Figure 1. Molécule de cyclohexane. Robotique. Considérons un robot parallèle, c est-à-dire une plate-forme rigide reliée à un socle par 6 bras extensibles, et fixés par des rotules au socle et à la plate-forme. Supposons que l on détache ces 6 bras de la plate-forme (par exemple pour changer une pièce). Une fois cette opération effectuée, il faut rattacher les bras, aux mêmes endroits sur la plate-forme, mais rien ne nous garantit que la plate-forme sera dans la même position. Combien de positions possibles de la plate-forme, existe-t-il satisfaisant les contraintes de distances, imposées par ces bras?

9 M. Elkadi & B. Mourrain Résolution des systèmes polynomiaux Figure 2. Un robot parallèle. Vision. Une caméra (calibrée) en mouvement prend une photographie d une même scène (par exemple une maison) à deux instants différents. Dans ces deux photographies, on peut reconnaître un certain nombre de paires de points qui se correspondent, d une image à l autre. Par exemple, un coin de fenêtre peut être visible dans les deux images. Ceci nous fournit une paire de points (un dans chaque image), que l on dit en correspondance. Figure 3. Points en correspondance dans deux images. Quel est le nombre minimal nécessaire de paires de points en correspondance pour qu il y ait un nombre fini de déplacements possibles entre les deux photos? Dans ce cas, quel est le nombre maximal de déplacements de la caméra? 2

10 M. Elkadi & B. Mourrain Résolution des systèmes polynomiaux Géométrie algorithmique. Pour la construction d un diagramme (dit de Voronoï), il est nécessaire de pouvoir déterminer si un point est à l intérieur ou à l extérieur d un cercle tangent à trois segments. Comment peut-on s y prendre sans calcul explicite de ce cercle? Quelle précision doit-on utiliser pour garantir le résultat, si les calculs se font de manière approchée? Ces problèmes se traduisent par des systèmes polynomiaux. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des méthodes et outils permettant de les résoudre. Nous présenterons certains aspects de la géométrie algébrique effective, en considérant avec une attention particulière les variétés algébriques de dimension 0 (i.e. les systèmes d équations polynomiales qui définissent un nombre fini de points). Pour cette étude, préliminaire à l analyse des variétés en dimension supérieure, nous commençerons par rappeler le dictionnaire entre l algèbre et la géométrie. Le «leitmotiv» est le suivant : les propriétés algébriques permettent de comprendre la géométrie des solutions. Nous nous intéresserons à certains invariants tels que la dimension et le degré d une variété algébrique. Pour résoudre les problèmes cités ci-dessus, nous commençerons par nommer les inconnues, puis définir les contraintes et travailler modulo les relations qu elles engendrent. Ceci conduit à l étude des algèbres quotients. Nous considérerons en particulier les quotients de dimension 0, qui correspondent aux systèmes d équations ayant un nombre fini de solutions. Nous introduirons les techniques de bases de Gröbner, et nous montrerons comment la résolution algébrique se transforme en un calcul de valeurs et de vecteurs propres. En suite, nous analyserons certaines classes spécifiques de problèmes, en commençant par le cas des systèmes ayant plus d équations que d inconnues. Ceci nous aménera à l étude de la théorie des résultants. Nous verrons comment détecter si un système polynomial admet des solutions, puis analyser, localiser et déterminer ces dernières. L autre classe de problèmes concerne les systèmes ayant autant d équations que d inconnues. Nous développerons les propriétés des quotients associés à ce type de systèmes et à leurs duaux. Pour cela, nous définirons la notion des résidus et étudierons leurs applications dans les problèmes de représentation et de résolution algébrique. Des exemples de problèmes et de calculs effectifs accompagneront ces développements. Nous avons utilisé pour cela, le package maple multires (1). Nous encourageons le lecteur à l utiliser pour mettre en pratique, les notions que nous abordons. Cette publication est le fruit de cours donnés pendant plusieurs années au DEA de Mathématiques de l Université de Nice Sophia Antipolis. Nous remercions toutes les personnes qui nous ont aidé deprès ou de loin dans sa (1) voir http ://www-sop.inria.fr/galaad/logiciel/multires 3

11 M. Elkadi & B. Mourrain Résolution des systèmes polynomiaux réalisation, spécialement André Galligo et Laurent Busé qui ont bien voulu lire une première version de ce manuscrit et Marie-Françoise Coste-Roy pour l intérêt constant qu elle a apporté à ce travail. 4