FACTORISATIONS POLYNOMIALES ÉLÉMENTAIRES

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1 FACTORISATIONS POLYNOMIALES ÉLÉMENTAIRES CHRISTIAN AEBI C est en donnant un cours privé de math à une élève terminant sa scolarité obligatoire, que mon regard a croisé l exercice de factorisation du polynôme x dans Z[x]. En feuilletant les anciens manuels de math [1] j ai découvert qu il figurait à l exercice 202 du chapitre II, où l on trouve également 4x y 4 à l ex. 217 qui est du même type. Etonnement, le corrigé manuscrit et complet de l ouvrage indique comme factorisations respectivement, (x 8 +4)( 4+x 8 ) et 4(x 4 +4y 4 ), chacune étant très incomplète. L intention de cette note est d offrir à la fois un éclairage historique et quelques outils théoriques pour la factorisation de polynômes que l on peut rencontrer au collège et au gymnase. Un peu d histoire Les erreurs commises ci-dessus ne sont pas totalement anodines, puisque même Leibniz [ ] dans Specimem novum Analyseos pro Scientia infiniti circa Summas et Quadraturas (Acta Eruditorum de Leipzig 1702) prétendait que x 4 +a 4 ne peut être décomposé en un produit de polynômes à coefficients réels car, x 4 + a 4 = (x 2 + a 2 1)(x 2 a 2 1) 1)(x 1)(x = (x + a a + a 1)(x a 1) et qu aucune combinaison de ces quatre facteurs permet d obtenir un produit de deux polynômes à coefficients réels. Erratum! Quelques temps après dans les Acta Eruditorum de 1719, Nicolas Bernoulli [ ] lui suggère d additionner et de soustraire 2a 2 x 2 : x 4 + a 4 = (x 4 + 2x 2 a 2 + a 4 ) 2x 2 a 2 = (x 2 + a 2 ) 2 ( 2xa) 2 = (x 2 2xa + a 2 )(x 2 + 2xa + a 2 ) Cependant, il est à relever que vers 1676, Isaac Newton avait déjà obtenu de tels résultats et même bien davantage [7] Une autre référence historique touchant à ce sujet figure dans l échange épistolaire entre L. Euler [ ] et C. Goldbach [ ] où ce dernier observe que numerus 4x 4 +1 in unico casu est primus, si x = 1. 1 La réponse d Euler, lettre n 0 54 d août 1742 [5], ne se fait pas attendre : 1. Un nombre de la forme 4x est premier que si x = 1 1

2 2 CHRISTIAN AEBI Daß 4x niemals ein numerus primus sein könne, außer dem casu wenn x = 1, ist kein Wunder, weilen diese Formula generaliter in duos factores resolviert werden kann, denn es ist 4x = (2xx + 2x + 1)(2xx 2x + 1) 2 Euler affectionne particulièrement cet exemple pour l insérer dans le chapitre II de l Introductio in analysin infinitorum [1748] afin d illustrer la décomposition en éléments simples d une fraction rationnelle dont le dénominateur sera justement 4x Un demi-siècle plus tard, Marie-Sophie Germain [ ], connue pour ses travaux sur le théorème de Fermat et sa correspondance sous le pseudonyme de M. Le Blanc avec L. Lagrange et C. F. Gauss, note que x 4 + 4y 4 admet comme facteurs x 2 ± 2xy + 2y 2. En mémoire de son travail, et plus spécifiquement de ses recherches en théorie des nombres, on dénomme aujourd hui l identité de Sophie Germain x 4 + 4y 4 = (x 2 + 2xy + 2x 2 )(x 2 2xy + 2x 2 ) Rappel de quelques résultats classiques Théorème 1. Q[x] est un anneau euclidien. En d autres termes, les polynômes à coefficients dans Q forment un groupe abélien additif, la multiplication y est bien définie est commutative et distributive sur l addition. Les unités de l anneau correspondent à Q. À chaque polynôme (non nul) P (x) on associe un entier positif, son degré, noté deg(p (x)). La division euclidienne est bien définie : si A(x) et B(x) appartiennent à Q[x] alors il existe des polynômes Q(x) (quotient) et R(x) (reste) dans Q[x] tels que A(x) = Q(x) B(x)+R(x) avec deg(a(x)) < deg(r(x)). Par convention deg(0) = (le degré du polynôme nul est ). Un polynôme est dit irréductible s il ne peut s écrire sous la forme d un produit de polynômes de degré inférieur au sien. De cela l on déduit que tout polynôme de degré > 0 se décompose de manière unique en un produit de polynômes irréductibles, évidemment à la mise en évidence d une unité près et à l ordre près. Un corollaire immédiat est celui qui établit en lien entre l existence de racines et la réductibilité : Corollaire 1. Une valeur a Q est une racine de P (x) si et seulement si P (x) se factorise par x a, en d autres termes : P (a) = 0 P (x) = (x a) Q(x) avec Q(x) Q[x] La négation de ce corollaire dit que s il n y pas de zéro rationnel alors il n y pas de factorisation simple (par un facteur unitaire 3 Q[x] de deg = 1) et réciproquement. À ne pas confondre évidemment avec s il n y pas de racine alors il n y a pas de factorisation! Juger de la réductibilité de x est relativement facile, puisque x = (x 2 ) = (x 2 + 2)(x 4 2x 2 + 4). Cependant, prouver que le deuxième facteur, D(x) := x 4 2x 2 + 4, 2. Que 4x ne puisse jamais être un nombre premier à l exception du cas x = 1 n est d aucune surprise, puisque cette formule peut être résolue [factorisée] en deux facteurs, à savoir 4x = (2xx + 2x + 1)(2xx 2x + 1). 3. Un polynôme de degré n est dit unitaire si son coefficient dominant, a n = 1.

3 FACTORISATIONS POLYNOMIALES ÉLÉMENTAIRES 3 est irréductible l est un peu moins et sera abordé dans les sections suivantes. En revanche, il existe heureusement un critère élémentaire qui permet de repérer aisément les zéros entiers d un polynôme, puis grâce au corollaire précédent, de le factoriser. Lemme 1. Si P (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Z[x] et P (b) = 0 avec b Z alors b a 0. En d autres termes, si un polynôme admet des racines entières alors ces dernières sont forcément des diviseurs du coefficient constant du polynôme en question. Grâce à ce lemme, dont la démonstration est aisée, on voit que le polynôme P (x) = x 4 x 3 2 ne peut avoir comme zéros entiers que ±1 et ±2. Comme -1 est l unique racine entière on obtient par division polynomiale, P (x) = (x + 1)(x 3 2x 2 + 2x 2). Par ailleurs si le deuxième facteur pouvait se factoriser alors il admettrait un zéro entier. Or ceci n est pas le cas. Donc l écriture précédente est la forme entièrement factorisée dans Z[x]. Ce dernier raisonnement n est valable que pour des polynômes de degré 2 ou 3 est nullement généralisable à des degrés supérieurs. En bref, on a le Critère élémentaire Dans Z[x] un polynôme unitaire de degré 2 ou 3 est factorisable il s annule pour un diviseur de son terme constant. C.F. Gauss & F. Eisenstein Carl Friedrich Gauss [ ] sera l un des premiers à dégager une propriété spécifique de l anneau polynômial Z[x] par rapport à Q[x], à savoir : Lemme 2 (de Gauss). Si P (x) Z[x] est irréductible alors il l est aussi dans Q[x] La preuve de Gauss figure au 43 de son célèbre ouvrage, Disquisitiones Arithmeticae [6] de 1801 dont la traduction française paraîtra en L approche classique aujourd hui consiste à démontrer d abord que le produit de deux polynômes primitifs (c est-à-dire dont les coefficients sont premiers entre eux au sens large) est encore un polynôme primitif. De ce résultat il n est pas difficile d obtenir celui de Gauss. Enfin, une conséquence importante qui en découle est que Z[x] est factoriel. Le lemme de Gauss ne donne aucune information sur l irréductibilité d un polynôme. Il nous garantit simplement que l on ne gagne rien en le plongeant dans Q[x]. En revanche en 1850, Ferdinand Eisenstein [ ] découvre un véritable critère d irréductibilité : Théorème 2 (Critère d Eisenstein). Si P (x) = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Z[x] et p est un nombre premier qui divise tous les a i, et p 2 ne divise pas a 0 alors P (x) est irréductible sur Z[x]. La preuve, qui figure dans tous les ouvrages classiques d Algèbre, se fait par l absurde et exploite d entrée le lemme de Gauss. L application du critère permet de jusitifier parfois instantanément l irréductibilité de certains polynômes. Par exemple en prenant p = 5 pour P (x) = x 3 15x + 10 ou p = 2 pour P (x) = x 4 2. D autres fois un changement de variable s impose comme pour P (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Posons x = y + 1 pour obtenir P (y) = y 4 + 5y y y + 5 qui est irréductible selon Eisenstein en prenant p = 5, donc P (x) l est aussi. Ce dernier exemple est un cas particulier de polynômes cyclotomiques pour lesquels la méthode précédente (changement de variable et critère d Eisenstein) permet de prouver leur irréductibilité.

4 4 CHRISTIAN AEBI Remarque 1. Le critère ci-dessus ne permet pas de juger de l irréductibililté de tous les polynômes. En effet, reconsidérons l exemple de la section précédente D(x) = x 4 2x 2 +4, et effectuons le changement de variable D(x + n) = x 4 + 4nx 3 + (6n 2 2)x 2 + (4n 3 4n)x + (n 4 2n 2 + 4). Si p = 2, pour que le dernier terme soit pair, n doit être pair, mais alors ce dernier serait divisible par 2 2. Sinon, si p est un premier impair, alors p 4n, le pénultième terme, implique p n. Ceci est impossible car alors p diviserait n 4 2n Donc, quel que soit le changement de variable n, il n existe pas de p permettant de prouver l irréductibilité de D. Stratégie de factorisation élémentaire Définition 1. Soit P Q[x]. On dit que P admet une décomposition non triviale sous la forme d une différence de deux carrés s il existe A et B Q[x] tels que P = A 2 B 2 et que A ± B Q. Lemme 3 (Critére de réductibilité). Un polynôme P Q[x] est réductible P admet une écriture non triviale sous la forme d une différence de deux carrés. Démonstration. Supposons que P = M N où M et N appartiennent à Q[x] et sont de degré 1. Si M ±N u où u Q alors poser A = M N et B = M+N et P = A 2 B 2 est 2 2 une décomposition non triviale de P. Sinon, si M N = 2u alors P = M N = N 2 +2Nu = (N + u) 2 u 2 et si M + N = 2u alors P = M N = ( 1)(N 2 2Nu) = (u 2 (N u) 2 ) qui sont toutes les deux des décompositions non triviales. La réciproque est évidente. Le lemme ci-dessus est à la base de la factorisation de Fermat pour les entiers naturels, méthode particulièrement efficace, d où son importance en arithmétique. S interroger sur la possibilité de pouvoir écrire sous la forme d une différence de deux carrés permet très souvent d arriver à une solution, dans le cas où le polynôme est réductible. Applications a) Utilisation scolaire standard : P (x) = x 2 6x 7 = (x 3) = (x 7)(x + 1) que l on dénomme généralement par la complétion du carré. b) Utilisations moins standard : 1) n = (n 2 + 2) 2 (2n) 2 = (n 2 2n + 2)(n 2 + 2n + 2). 2) n 4 + 2n 3 + 2n 2 + 2n + 1 = (n 2 + n + 1) 2 n 2 = (n 2 + 1)(n + 1) 2 3) n 4 + n = (n 2 + 1) 2 n 2 = (n 2 n + 1)(n 2 + n + 1) La dernière identité permet d obtenir relativement facilement une factorisation de sachant que = c) Selon Euler, Rafael Bombelli [ ] prend appui sur cette approche pour résoudre une équation du quatrième degré [3, Elémens d Algèbre, 766 p ] il pose : 0 = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = (x ax + p)2 (qx + r) 2 dont il déduit un système de 3 équations et 3 inconnues (p, q et r). Après suppression des inconnues q et r, il obtient l équation de degré trois : 8p 3 + 4bp 2 + (2ac 8)p a 2 d + 4bd c 2 = 0 qu il lui faut encore résoudre pour conclure. d) Dans un article publié en 1934 [8], Louis Weisner illustre un critère d irréductibilité sur P (x) = x 6 2x 4 +x 3 +x 2 x 3. Or, avec un avec un regard un peu attentif, l on voit

5 FACTORISATIONS POLYNOMIALES ÉLÉMENTAIRES 5 que P n est autre que (x 3 x+1/2) 2 ( 13/2) 2 R[x] et donc en utilisant la formule de Cardano l on pourrait identifier d autres zéros et poursuivre la factorisation dans R[x], voire dans C[x]. Factorisations particulières Tout polynôme P du 4 e degré de la forme x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Q[x] peut être transformé en x 4 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 en substituant x par x a 3 4. Par ailleurs, il existe un plus petit entier q pour lequel q 4 P ( x a 3 q 4 ), transforme P en un polynôme Q(x) = x 4 + ax 2 + bx + c Z[x]. P et Q vérifient les mêmes propriétés essentielles (réductibilité, écriture sous la forme de sommes de carrés, nombre et nature des racines,...). Si c est impair ou a b c 0 (mod 2) alors on appellera Q le polynôme standardisé de P. Sinon, on l obtient en effectuant le changement de variable x x/2 puis en multipliant le tout par 2 4. Proposition 1 (Factorisation très particulière). Tout polynôme réductible de la forme P (x) = x 4 + ax 2 + c Z[x] ne peut admettre que deux types de factorisations : cas 1. P (x) = (x 2 k)(x 2 l) où k et l appartiennent à Z soit cas 2. P (x) = (x 2 mx + n)(x 2 + mx + n) où m et n Z Dans le premier cas, il suffit de "compléter le carré" (le dernier terme) pour obtenir la factorisation, et dans le deuxième c = n 2 et donc m se déduit aisément (en complétant le 2 e terme pour obtenir un carré) Démonstration. Deux cas : soit P admet un zéro k Z alors k est aussi un zéro. D où P (x) = (x 2 k 2 )Q(x) et Q doit forcément être de la forme (x 2 l) d où le cas 1. Sinon, comme P est réductible, il s écrit alors sous la forme (x 2 fx+g)(x 2 +fx+h) = x 4 +ax 2 +c. D où : g + h f 2 = a fg = fh gh = c Si f 0 alors g = h et l on se retrouve dans le cas 2. Si f = 0 alors P (x) = (x 2 + g)(x 2 + h) et on est dans le cas 1. Exemples d utilisations. 1) Pour D(x) = x 4 2x = (x 2 1) = (x 2 + 2) 2 6x 2 alors aucune des deux méthodes de complétion du carré permet la factorisation, d où D est irréductible. 2) Autre exemple pris dans la correspondance Euler, Goldbach [5, lettre 57], si P (x) = x 4 4x 3 + 2x 2 + 4x + 4, considérons sa forme standardisée Q(x) = x 4 4x = (x 2 2) 2 +3 pour en déduire son irréductibilité. En passant, l on pouvait aussi regarder le polynôme de départ sous la forme (x 2 2x 1) pour conclure, sans autre. Remarque 2. La proposition précédente est aussi valable dans F p [x], l anneau des polynômes à coefficient dans un corps fini. Proposition 2 (Factorisation générale). Tout polynôme standardisé réductible de la forme P (x) = x 4 + ax 2 + bx + c, admettant soit aucun, soit plusieurs zéros entiers (comptés avec multiplicité), peut s écrire sous la forme P (x) = (x 2 + k) 2 (lx + m) 2. D où a) k 2 m 2 = c k 2 = c + m 2

6 6 CHRISTIAN AEBI b) 2k l 2 = a 2k a = l 2 c) 2lm = b Démonstration. De la même manière que précédemment, comme P est réductible et qu il n admet pas de facteur simple unique appartenant à Z[x] alors forcément P (x) = (x 2 + fx+g)(x 2 fx+h). De plus, puisque P est standardisé un petit calcul permet de montrer que g h (mod 2). Donc si l on pose k = (h + g)/2, m = (h g)/2 et f = l alors on a bien : x 4 + ax 2 + bx + c = (x 2 + fx + g)(x 2 fx + h) = (x 2 + k) 2 (lx + m) 2 Implications De a) on déduit que si c 2 (mod 4) alors P est irréductible. Sinon, l ensemble des décompositions sous la forme d une somme de deux carrés s obtient en écrivant c = pq où p q (mod 2), et en posant : k = ± p+q et m = ± p q ou l inverse. 2 2 Pour chaque décomposition l on vérifie d abord le point b) (si 2k a est un carré). Si ce n est pas le cas, on teste la décomposition suivante ; s il n y en a plus alors P est irréductible ; sinon on teste le point c) ; si c est systématiquement faux l on en déduit à nouveau que P est irréductible. Exemples extraits des Elémens d algèbre [3] Il est amusant de constater que tous les polynômes du 4e degré étudiés par Euler dans [3] entre les 758 et 781 peuvent être factorisés soit directement, en les écrivant sous la forme d une différence de deux carrés, soit en effectuant une étape intermédiaire, en les mettant sous forme standardisée, puis en appliquant la Proposition 2. Ci-dessous nous traîtons deux exemples l un réductible, l autre non. 1) [3, 781] si P (x) = x 4 8x x 2 + 4x 8, la forme standardisée est Q(x) = x 4 10x 2 4x + 8. De 8 = k 2 m 2 l on obtient k = ±3 et m = ±1. D où 2 ±3 ( 10) = 2 2 ou 4 2 = l 2. Mais D où k = 3, l = 2 et m = 1 et Q(x) = (x 2 3) 2 (2x 1) 2 se factorise aisément. 2) Et enfin, [3, 757] (qui en passant, contient une erreur concernant la règle des signes de Descartes) Si P (x) = x 4 3x x 2 162x + 72, alors sous forme standardisée Q(x) = x x x Remarquons d abord que Q n admet aucun zéro dans Z 7 et par conséquent Q n admet pas de zéro simple dans Z. Par ailleurs, 9432 = Regardons donc Q dans Z 131 afin d employer la Proposition 1 sur R(x) = x 4 + 7x 2 52 Commençons par écrire R sous forme standardisée : S(x) = x x 2 46 (dans Z 131 [x]) Les seules factorisations possibles sont (x ) mais 20 n est pas un carré dans Z 131. De même, 46 n est pas un carré dans Z 131 et donc P est forcément irréductible. Exercice 1. Factoriser les polynômes ci-dessous qui figurent dans [3] : 762 : x 4 4x 3 3x 2 4x : x 4 6x 3 24x : x 4 10x x 2 50x : x 4 16x : x 4 6x x 2 12x : x 4 25x 2 60x 36 Adaptation de E228 [4] aux polynômes Définition 2. Dans Q[x] si P = A 2 +B 2 = C 2 +D 2 avec deg A deg B et deg C deg D on dit que P s écrit sous la forme d une somme de deux carrés deux manières distinctes si

7 FACTORISATIONS POLYNOMIALES ÉLÉMENTAIRES 7 (A 2 C 2 )(A 2 D 2 ) 0. En revanche, si P = (±A) 2 + (±B) 2 et qu il n y a pas d autres écritures possibles, alors on dit qu elle est unique. Proposition 3 (Critère de réductiblité). Dans Z[x], si un polynôme unitaire admet deux écritures distinctes sous forme de sommes de deux carrés alors il est réductible. Démonstration. Supposons que P = A 2 + B 2 = C 2 + D 2 où A, B, C et D appartiennent à Q[x]. Comme P est unitaire on peut supposer que deg(a) > deg(b), deg(c) > deg(d) et que les coefficients dominants sont tous > 0. Par hypothèse les produits (A C)(A+C) = (D B)(D + B) sont non nuls. D autre part, si (A, B) 1 ou (C, D) 1 alors il est aisé de trouver une décomposition. Dans le cas contraire écrivons l égalité précédente sous la forme : A C D B = D + B A + C = U où (U, V ) = 1 V et posons : A C = U M, D B = V M, D + B = U N, A + C = V N où M et N sont des polynômes dans Z[x]. Comme deg(a + C) > deg(d + B) alors deg(u 2 + V 2 ) 2. De même, comme deg(a + C) > deg(d B) alors deg(m 2 + N 2 ) 2. L on déduit alors que A = V N + UM C = V N UM D = UN + V M D où l on obtient après substitution et quelques calculs : B = UN V M 2 8P = 4(A 2 + B 2 + C 2 + D 2 ) = V 2 N 2 + U 2 M 2 + U 2 N 2 + V 2 M 2 = (U 2 + V 2 )(M 2 + N 2 ) Ainsi P se décompose de manière non triviale dans Q[x] et donc par le lemme de Gauss, aussi dans Z[x]. Application. x = (x 2 ) = (x 2 2) 2 + (2x) 2 est donc réductible. Bien d autres résultats peuvent se généraliser de Z à Z[x] : Lemme 4. Dans Z[x] le produit de deux polynômes qui sont sommes de deux carrés est encore une somme de deux carrés, car si P = A 2 + B 2 et Q = C 2 + D 2 alors P Q = (AC BD) 2 + (AD ± BC) 2. Remarque 3. Par ailleurs, si ABCD 0, A ±C et A ±D alors l on peut montrer, comme avec les entiers naturels, que les deux écritures (sous forme de sommes de deux carrés) sont distinctes. Lemme 5. Dans Z[x] si un polynôme irréductible P qui s écrit sous la forme d une somme de deux carrés, P = A 2 +B 2, divise une somme de deux carrés, M 2 +N 2, alors le quotient est encore une somme de deux carrés. Démonstration. En effet, P (M 2 + N 2 ) = (A 2 + B 2 )(M 2 + N 2 ) = (AM BN) 2 + (AN ± BM) 2. Si AM + BN et AM BN ne sont ni l un ni l autre divisible par P alors comme P est irréductible, leur produit ne l est pas non plus. Or, il n en est rien car : (AM + BN) (AM BN) = A 2 M 2 B 2 N 2 = A 2 M 2 + A 2 N 2 (A 2 N 2 + B 2 N 2 ) = A 2 (M 2 + N 2 ) (A 2 + B 2 )N 2

8 8 CHRISTIAN AEBI Donc l un des termes de la somme est divisible par P donc l autre terme aussi (puisque P divise le membre de gauche). Par ailleurs, étant au carré ils sont donc divisibles par P 2. Théorème 3. Dans Z[x] si P = A 2 + B 2 où (A, B) = 1 alors tout diviseur de P s écrit aussi sous la forme d une somme de deux carrés. Démonstration. Sinon, considérons le polynôme P = A 2 + B 2 avec (A, B) = 1 de plus petit degré qui ne vérifierait pas la conclusion. Chaque facteur irréductible de P ne peut pas s écrire sous la forme d une somme de deux carrés, par minimalité de P et il doit en exister au moins deux, que nous appellerons S et T. Par division euclidienne on a : A = MS + C et B = NS + D où deg(c) < deg(s) et deg(d) < deg(s). En substituant on obtient : P = A 2 + B 2 = (MS + C) 2 + (NS + D) 2 = S (...) + C 2 + D 2 Donc S C 2 + D 2. Par minimalité de A 2 + B 2 l on en déduit que M = N = 0 et donc deg(a) < deg(s) de même deg(b) < deg(s). Le raisonnement précédent est aussi valable en remplaçant S par T. Mais alors ce qui est absurde. deg(p ) = 2 max (deg(a), deg(b)) < deg(s) + deg(t ) Corollaire 2 (Critère d irréductibilité). Si un polynôme P Z[x] s écrit d une manière unique sous la forme d une somme de deux carrés premiers entre eux alors P est irréductible. Démonstration. Si P = MN avec (M, N) = 1 alors par le théorème précédent chacun s écrit sous la forme d une somme de deux carrés et par la remarque du lemme 4, il y aurait au moins deux écritures non triviales. Application. Exemple pris chez Euler [2, E170] P (x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 2x + 1 est irréductible puisque P (x) s écrit (x 2 + x + 1) 2 + x 2 et que cette écriture sous la forme d une somme de deux carrés est unique. Une autre approche consiste à écrire P sous forme standardisée pour obtenir x x 2 8x Comme 13 ne peut s écrire autrement que sous la forme (±2) 2 + (±3) 2, au bout de quatre tentatives on obtient comme unique solution possible (x 2 + 3) 2 + (2x 2) 2. Corollaire 3. Si P Z[x] admet une écriture sous la forme d une somme de deux carrés de fractions rationnelles Z(x), c est-à-dire si (1) P = A2 C 2 + B2 D 2 où A, B, C et D sont dans Z[x] avec (A, B) = 1 alors P = M 2 + N 2, où M et N Z[x]. Démonstration. Posons E := C D (C, D) un plus petit multiple commun de C et D. D où E 2 P = (AE)2 + (BE)2 est une somme de deux carrés premiers entre eux appartenant C 2 D 2 à Z[x]. Par le théorème 3, tout facteur du membre de gauche est alors la somme de deux carrés de Z[x] et en particulier concernant P.

9 FACTORISATIONS POLYNOMIALES ÉLÉMENTAIRES 9 Si l on considère (1) comme une égalité de fonctions rationnelles sur C alors les pôles de chacun des termes doivent être identiques. De surcroît, l ordre de ces derniers doivent aussi être pareils. Ainsi donc C(z) et D(z) sont les mêmes à une constante multiplicative près. Le corollaire précédent est vrai même si C et D sont tous les deux de degré 0. En particulier nous avons alors montré : Corollaire 4. Si un polynôme P Z[x] admet une écriture sous la forme d une somme de deux carrés Q[x] alors P peut s écrire sous la forme d une somme de deux carrés Z[x]. Références 1. Mathématiques 9 e S,L,M,GnA-NA, Département de l instruction publique, Genève, Leonhard Euler, Recherches sur les racines imaginaires des équations, Opera Omnia Serie I vol 6, E170, pp , Elémens d Algèbre, I (1774), , De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum, Opera Omnia Serie I vol II, E228 (1915), pp Leonhard Euler und Christian Goldbach, Briefwechseln , Juskevic und Winter, Akademie- Verlag, Berlin, Carl Friedrich Gauss, Recherches arithmétiques, Editions Jacques Gabay, 1807, Jean-Pierre Tignol, Galois theory of algebraic equations, Longman Scientific Technical, England, Louis Weisner, Criteria for the irreducibility of polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 40, Number 12 (1934), pp

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