Exercices sur les puissances

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1 Exercices sur les puissances 1. Simplifier en donnant le résultat sous la forme la plus simple possible : (10 3 ) 5 = (10 3 ) 4 = (10 3 ) 2 = 2. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre approximatif de chiffres nécessaires pour écrire le nombre A = a) Vérifier que En déduire une approximation de b) Ecrire sous forme d une puissance de 10. c) Déduire de ce qui précède le nombre approximatif de chiffres nécessaires pour écrire le nombre A. 3. La célérité (vitesse) de la lumière dans le vide est environ égale à km/s. a) Quelle distance parcourt la lumière en une année? (arrondir à la puissance de 10 la plus proche). On appelle cette distance une année-lumière. (On admettra qu en 3 ans, il y a environ 10 8 secondes et qu à la vitesse considérée, il y a toujours proportionnalité entre la distance et la vitesse). b) Quel temps mettrait approximativement un vaisseau spatial se déplaçant à la vitesse constante de 100 km/s pour atteindre une étoile située à une distance de 5 années-lumière de la Terre? c) Quelle devrait être la vitesse à laquelle on devrait voyager si on voulait atteindre cette étoile en 300 ans? en 30 ans? en 3 ans? Est-ce possible? 4. Un code d accès informatique est composé de six symboles et chaque symbole peut être choisi parmi les cent caractères d un clavier ; ce qui représente combinaisons différentes. Écrire en notation scientifique : Un pirate informatique dispose d un matériel lui permettant de tester mille combinaisons par seconde. a) Combien de temps, environ, lui faudrait-il pour tester toutes les combinaisons? (Donner le résultat en années). On admettra qu il y a environ 10 8 secondes en 3 ans. b) Combien faudrait-il pouvoir tester de combinaisons par seconde pour pouvoir tester TOUTES les combinaisons en 28 heures? On admettra qu il y a environ 10 5 secondes en 28 heures 5. Un code d accès informatique est composé de huit symboles et chaque symbole peut être choisi parmi les cent caractères d un clavier ; ce qui représente combinaisons différentes. Écrire en notation scientifique : Un pirate informatique dispose d un matériel lui permettant de tester dix mille combinaisons par seconde. a) Combien de temps, environ, lui faudrait-il pour tester toutes les combinaisons? (Donner le résultat en années). On admettra qu il y a environ 10 8 secondes en 3 ans. b) Combien faudrait-il pouvoir tester de combinaisons par seconde pour pouvoir tester TOUTES les combinaisons en 278 heures? On admettra qu il y a environ 10 6 secondes en 278 heures 6. En 2010, on connaissait milliards de décimales de pi. Une feuille de papier de format A4 pèse 5 g, a une surface de 625 cm 2, une épaisseur de 0,1 mm et peut contenir 50 lignes de 100 chiffres. De plus, on l utilise recto-verso. a) Quelle est la masse de papier nécessaire, en tonnes, pour écrire toutes ces décimales? b) Si toutes ces feuilles étaient mises bout à bout dans le sens de la longueur, quelle serait la distance obtenue en km? La longueur d une feuille est environ égale à 30 cm. c) Si toutes ces feuilles étaient posées les unes près des autres, quelle surface cela représenterait-il? 7. Un atome peut être représenté par une sphère d environ m de rayon. Au centre de cette sphère, le noyau a un rayon d environ m. a) Combien de fois le rayon de l atome est-il plus grand que le rayon du noyau? Pierre Delouya Collège janson 1 27 juin 2014

2 b) On décide de représenter le noyau par une balle de 1 mm de rayon. En conservant les mêmes proportions, quel serait le rayon de la sphère représentant l atome? Si le rayon de l atome était égal à km, quel serait alors le rayon du noyau? 8. Quelle est la valeur exacte de la moyenne de et 10 22? 9. Un P-D.G a un salaire annuel de 2,4 millions d euros et un enseignant, un salaire mensuel de euros. a) Combien de temps faudrait-il à cet enseignant pour gagner le salaire annuel de ce P-D.G? b) On suppose que ce P-D.G «travaille» 40 heures par semaine, soit environ 160 h par mois ; combien de temps lui faut-il pour gagner ce que gagne un enseignant en un mois? en une vie de 42 ans? 10. Compléter ce «carré magique» de façon à ce que le PRODUIT des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale soit égal à Cinq enfants pensent chacun à un nombre qui peut être 1 ou 2 ou 4. On calcule le produit de ces cinq nombres. Quel peut être le résultat obtenu? a) 100 ; b) 120 ; c) 768 ; d) 256 ; e) ,25 milliard de Chinois mangent du riz à tous les repas (2 repas par jour). Si chaque Chinois gaspille un grain de riz à chaque repas, quelle quantité de riz cela représente-t-il? On admettra qu il y a environ 50 grains de riz dans 1 gramme. Comparer cette quantité avec la production annuelle de la France : tonnes. 13. Combien y a-t-il d entiers compris entre 100 et 200 et dont les seuls facteurs premiers sont 2 ou 3? 14. Une légende orientale raconte qu un roi voulut récompenser l inventeur du jeu d échecs. Il lui demanda ce qu il voulait : «Sire, donnez-moi un grain de blé pour la 1 ère case, deux grains pour la deuxième case, quatre grains pour la troisième et ainsi, doublez le nombre de grains pour les cases successives». a) Calcul de la somme des puissances de 2. Dans le tableau ci-dessous, on considère les huit premières puissances de 2, de 2 0 à 2 7. Remplir la 2 ème ligne du tableau. Pour remplir la 3 ème ligne, il faut écrire la somme en fonction de la puissance de 2 suivante somme Justification : Développer l expression suivante : ( )(2 1) En déduire la valeur de Cas général : Rappel : 2 n 2 p = 2 n + p Développer, puis réduire l expression : ( n n n n )(2 1) Pierre Delouya Collège janson 2 27 juin 2014

3 En déduire la valeur de S = n n n n b) Calculer la somme des nombres de grains sur les huit premières cases c) Ecrire la somme S des grains sur les 64 cases. d) Utiliser le résultat de la question a) afin de donner la valeur exacte du nombre de grains sur l échiquier. e) On cherche à obtenir une valeur approchée de cette valeur. Vérifier que Compléter l égalité : 2 64 = (2 10 ) Utiliser l approximation précédente pour donner une valeur approchée de ce nombre. f) Calcul d une valeur approchée de la masse de ces grains. On admettra que 2 grains ont une masse de 100 mg. Quelle masse, en tonnes, cela représente-t-il? La production mondiale annuelle est d environ 600 millions de tonnes. Si l on admet que cette production reste constante, combien de siècles faudrait-il, environ, pour produire cette quantité? g) La production annuelle de la France est d environ 36 millions de tonnes. En utilisant une calculatrice, déterminer le plus petit numéro de la case sur laquelle le roi aurait dû déposer la production annuelle de la France. 15. La dune du Pyla a un volume de 60 millions de m 3 de sable. a) Le volume d un grain de sable est environ égal à 0,12 nl (1 nl = 10 9 l et 1 l = 1 dm 3 ). Déterminer un ordre de grandeur du nombre de grains de sable de la dune du Pyla. b) La masse d un grain de sable est environ égale à 3 µg (1 µg = 10 6 g). Donner un ordre de grandeur de la masse, en tonnes, de la dune du Pyla. 16. Un litre d eau de mer contient 0, mg d or. Le volume des océans est estimé à 1,3 milliard de km 3. Calculer la masse totale d or, en tonnes, contenue dans les océans. (Rappel : 1 dm 3 = 1 litre) 17. On considère un cube d arête 1 m. a) Calculer le volume V 0, l aire totale A 0 des faces et la longueur totale des arêtes L 0. b) On partage le cube initial en 10 3 petits cubes E 1 (étape 1). Pour chaque petit cube, calculer le volume, l aire des faces et la longueur des arêtes. Calculer le volume total V 1, l aire totale A 1 des faces, la longueur totale L 1 des arêtes des 10 3 petits cubes. c) On partage un petit cube en 10 3 petits cubes (E 2 ) (étape 2). Combien y a-t-il de petits cubes (E 2 ) à la 2 ème étape? Pour chaque petit cube (E 2 ), calculer le volume, l aire des faces et la longueur des arêtes. Calculer le volume total V 2, l aire totale A 2 des faces, la longueur totale L 2 des arêtes des petits cubes. A chaque étape, on partage un cube de l étape k en 10 3 petits cubes de l étape k + 1. Remplir le tableau ci-dessous. étape Nombre de cubes Volume Aire en m 2 Longueur en m m = = (10 3 ) 2 = = = (10 3 ) 100 = = = n (10 3 ) n = 10 3n n 10 2n = 6 10 n n 10 n = n Pierre Delouya Collège janson 3 27 juin 2014

4 18. Développer (a + b) 2 = En utilisant le développement de (a + b) 2 et le fait que x 3 : x 2 x, développer puis réduire (a + b) 3 en ordonnant suivant les puissances décroissantes de a. En utilisant le développement de (a + b) 3 et le fait que x 4 : x 3 x, développer puis réduire (a + b) 4 en ordonnant suivant les puissances décroissantes de a. En utilisant le développement de (a + b) 4 et le fait que x 5 : x 4 x, développer puis réduire (a + b) 5 en ordonnant suivant les puissances décroissantes de a. Remplir le tablau suivant en recopiant les résultats précédents : (a + b) 0 1 (a + b) 1 1.a 1 1.b 1 (a + b) 2 1.a 2 2ab 1.b 2 (a + b) 3 1.a 3 1.b 3 (a + b) 4 1.a 4 1.b 4 (a + b) 5 1.a 5 1.b 5 Afin de faciliter la lecture et l utilisation de ce tableau, on décide de ne plus écrire que les coefficients numériques et l exposant de (a + b) dans la 1 ère colonne. Remplir le tableau ci-dessous ère propriété : le nombre écrit dans une case est égal à la somme du nombre écrit dans la case située juste au-dessus et du nombre écrit dans la case située à gauche de cette dernière. a b a + b Exemple : lignes 3 et 4 : = Vérifier les nombres trouvés dans les cinq premières lignes du tableau et compléter le sixième ligne en utilisant cette propriété. 2 ème propriété : additionner tous les nombres d une même ligne. Emettre une conjecture. 3 ème propriété : Pierre Delouya Collège janson 4 27 juin 2014

5 Le corps humain contient environ 5 litres de sang et il y a environ 4,5 milliards de globules rouges par ml. a) Calculer le nombre de globules rouges contenus dans le corps humain. b) Un globule rouge a un volume d environ m 3. Calculer le volume, en litres, de tous les globules rouges du corps humain. volume d un globule rouge c) On définit l hématocrite de la manière suivante : nombre de globules rouges Calculer l hématocrite moyen sous forme d un pourcentage. Pierre Delouya Collège janson 5 27 juin 2014