Ondes électromagnétiques dans le vide

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1 Physique PC Physique des ondes Introduction Prévues par la théorie de Maxwell dés 1864 Découvertes par Hertz en 1886 Problème du support des ces ondes. Expériences de Michelson-Morley Domaine des ondes électromagnétiques. Longueur d onde λ : 1 15 m au km ou encore, pour la période T et la fréquence f, 1 23 s ( Hz)à 1 5 s (1 5 Hz). Le domaine important des ondes lumineuses, λ est compris entre 4 nm et 75 nm, soit 1, s à 2, soit 8, Hz à 4,.1 14 Hz. I. Propagation du champ électromagnétique I.1 Compréhension intuitive du phénomène I.2 Équations de propagation du champ électromagnétique ( E, B) Il faut prendre le rotationnel de l équation rot E = B t. On obtient E 1 2 E c 2 t 2 =. De même B 1 2 B c 2 t 2 = Avec µ.ε.c 2 = 1. I.3 Le problème du référentiel : de Maxwell à Einstein. Dans quel référentiel sont exprimées les équations de Maxwell? II. Une solution particulière des équations de propagation : le modèle de l onde électromagnétique plane progressive dans le vide II.1 Définition de l onde plane et équation d onde ( E, ) Une onde est dite plane quand le champ B ne dépend que d une variable de l espace : u tel que u = r. e u = xα + yβ + zγ. e u est le vecteur unitaire donnant la direction de propagation. Souvent u se réduit ( à l une des coordonnées du système cartésien (x,y ou z), dans ce cas l onde est E, ) plane si le champ B ne dépend que (x,y ou z). Dans le cas d une propagation dans la direction des x, n importe quelle composante du champ n est fonction que de x,t. Le plan formé par x = cte est un plan d onde. L équation d onde s écrit quelque soit la composante du champ ( 2 x ) c 2 t 2 =

2 II.2 Solution générale de l équation d onde En introduisant p = t + x c et q = t x c s(x,t) = f 1 (t x c ) + f 2(t + x c ) on trouve, comme pour toute équation d onde de D Alembert, II.3 Onde plane progressive Par définition, une O.P.P. de direction de propagation e x est une solution particulière de l équation d onde correspondant à une structure particulière du champ électromagnétique dont les 6 coordonnées sont de la forme : s(x,t) = f(t x/c). La grandeur propagée n est pas déformée (l amplitude du champ) et se propage à la vitesse c II.4 ( E Transversalité du champ électromagnétique, B) La composante du champ suivant e x est nul. Le champ est transversal, c.a.d. appartient à un plan à la direction de propagation. II.5 Relation entre E et B pour une onde plane progressive e x, E et B forment un trièdre direct. e x E c = B II.6 Énergie associé à une onde électromagnétique plane progressive Rappel : Théorème de Poynting dans le vide. Dans le vide et en absences de charges, une variation d énergie électromagnétique se traduit par un rayonnement d énergie qui est le flux du vecteur de Poynting. II.6.1 Densité d énergie et vecteur de Poynting e em = ε E 2, R = c.e em. e x II.7 Vitesse de propagation de l énergie d une onde électromagnétique plane progressive Finalement, on a v e = R e em = c e x II.8 Rayonnement : Intensité énergétique de l O.P.P L intensité énergétique I = I(M) d un rayonnement au point M est la valeur moyenne de la puissance rayonnée que reçoit par unité de surface un détecteur plan dirigé perpendiculairement à la direction de propagation du rayonnement. δpray I = = R ds Exemples : Soleil, Laser Mégajoule II.9 Onde électromagnétique plane progressive et réalité physique Source de dimension finie : onde sphérique, localement plane. Les idées concernant la réalité de l O.P.P. sont à connaître. J.-F. Reix page 2 / 8 PC

3 III. Ondes planes progressives monochromatiques (sinusoïdales, harmoniques) : O.P.P.M., composante abstraite d un signal électromagnétique L ensemble de cette étude est à connaître ainsi que le cadre dans lequel elle a pu être faite. III.1 Etude du spectre électromagnétique I = III.1.1 La lumière : partie visible du spectre III.1.2 Le reste du spectre électromagnétique III.1.3 Distribution en fréquence de l énergie d un signal électromagnétique I ω (ω).dω où I ω (ω) la fonction de distribution en pulsation de ce signal. Conclusion : Un signal aussi fin soit-il n est pas rigoureusement monochromatique. Son énergie s étale toujours sur une largeur ω. Caractère abstrait d une composante monochromatique. L onde monochromatique n est pas une réalité physique mais une composante abstraite faisant office d outil analytique et à partir de laquelle un signal réel peut être décrit par superposition. III.2 Ondes planes progressives monochromatiques III.2.1 Définition Une onde plane progressive est dite monochromatique si la fonction f 1 (t u/c) est une fonction sinusoïdale. Pour une composante des 6 composantes du champ s = s m cos(ωt kx + ϕ ) avec s m l amplitude, ω : pulsation, ϕ est la phase à l origine du temps et de l espace. III.2.2 Vecteur d onde et module du vecteur d onde k 2π λ : module du vecteur d onde et k = k. e x = 2π λ. e x, le vecteur d onde : il indique la direction de propagation. s(x,t) = s m cos (ωt ) k. r +ϕ III.2.3 Double périodicité de l O.P.P.M. La période temporelle T = 2π/ω La période spatiale λ = 2π/k III.2.4 Notation complexe On associe une fonction complexe notée s = s m exp i (ωt ) k. r +ϕ s m = s m exp(i.ϕ ) ( = s m exp i ωt ) k. r avec III.3 Equations de Maxwell en notation complexe div B = i. k. B = div E = i. k. E = rot E = B t k E = ωb rotb = 1 E c 2 t k B = ω c 2 E J.-F. Reix page 3 / 8 PC

4 E 1 2 ) E ( k v 2 t 2 = 2 + ω2 E = c 2 A retenir : t i.ω. ; 2 t 2 ω. ; grad i. k. ; div i. k. ; rot i. k ; k 2. Comme on vient d injecter la solution dans l équation d onde, on retrouve la relation de dispersion : k = ω, où c est la célérité de la lumière dans le vide. c Ne pas oublier de repasser en notation réelle. Important : Les calculs liés aux grandeurs énergétiques peuvent être réalisés de deux façons : 1 - En repassant aux notations réelles avant les calculs de termes quadratiques (énergie, vecteur de poyntingě); 2 - En utilisant une méthode décrite dans un document, à partir des grandeurs complexes. III.4 L O.P.P.M. en tant que composante abstraite d un signal réel Lien entre la largeur fréquentielle et la durée du signal : t. ν = 1 III.5 États de polarisation des ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques (O.P.P.M.) dans le vide Introduction L onde électromagnétique transversale est dite polarisée si l extrémité du vecteur E décrit au cours du temps une courbe fermée déterminée La direction de polarisation en un point de l onde est donnée par la direction du champ électrique. On définit le plan de polarisation comme le plan contenant E et k III.5.1 Les différents états de polarisation de l O.P.P.M. a) Polarisation elliptique C est la polarisation la plus générale b) Polarisation rectiligne c) Polarisation circulaire Remarque : B se déduit de E par la relation de structure d une O.P.P.M. a) Lumière naturelle III.5.2 Comment polariser des ondes électromagnétiques? b) Polaroïds ; Loi de Malus c) Applications : Lames à retard Généralités Une lame à retard possède deux directions perpendiculaires entre-elles ici Oz et Oy et parallèles au plan de la lame telle que : si une onde incidente polarisée rectilignement suivant y entre dans la lame elle se propagera à la vitesse v y = c/n y si une onde incidente polarisée rectilignement suivant z entre dans la lame elle se propagera à la vitesse v z = c/n z. J.-F. Reix page 4 / 8 PC

5 Onde incidente : E i (x =,t) = E i (x,t) = E Oy cos (ωt) E Oz cos(ωt ϕ) Onde dans la lame entre < x < e. La vitesse de l onde n est pas la même dans les deux direction de polarisation : Onde transmise en sortie de lame, en x > e : E t (x,t) = E t (x,t) = E Oy cos (ωt n y k x) E Oz cos(ωt n z k x ϕ) E Oy cos (ωt n y k e k (x e)) E Oz cos(ωt n z k e k (x e) ϕ) En changeant l origine de la phase, tel que ωt n z k e k (x e) = ωt, puis, pour la notation t = t, on obtient, E Oy cos (ωt) E Oz cos(ωt (ϕ φ)) avec φ = k (n y n z ) = ω.e c (n y n z ) soit φ = 2πδ λ avec δ = e(n y n z ) λ Lame demi-onde 2 L opération résultant est une opération de symétrie. Par rapport à un axe de la lame. Lame quart-d onde λ 4 On considérera une onde rectiligne puis circulaire. III.6 Le rayonnement dipolaire, propagation libre, justification du modèle d onde plane Comme il est indiqué dans le programme officiel " On énoncera sans démonstration la formule donnant le champ électromagnétique rayonné à grande distance ". a) Description b) Les approximations III.6.1 Le modèle du dipôle oscillant Approximation dipolaire : r z Vitesse de déplacement non relativiste : z λ Zone de rayonnement : r λ Soit : r λ z c) La réalité et le modèle III.6.2 les expressions de E et B E(r,t) = sin θ p (t r/c) 4πε rc 2 B(r,t) = µ sin θ 4π p (t r/c) rc en posant t = t r/c et en choisissant p(t) = p cos ωt e z on obtient : eθ e ϕ J.-F. Reix page 5 / 8 PC

6 E(r,t) = sin θ B(r,t) = µ sin θ 4π p ω 2 4πε rc 2 cos ωt e θ p ω 2 rc cos ωt e ϕ Commentaire : L onde rayonnée est une OPPM polarisée rectilignement. III.6.3 Puissance rayonnée par le dipôle à grande distance a) Vecteur de Poynting ; Intensité b) Puissance moyenne rayonnée R = µ p 2 ω π 2.r 2 c sin2 θ P = 4p2 π 3 c 3ε. 1 λ 4 = ω4 p 2 12πε c 3 III.6.4 Application à la diffusion de Rayleigh Nous voulons mettre en œuvre ce modèle de dipôle oscillant pour expliquer la couleur bleu du ciel, la polarisation de cette lumière diffusée et la couleur rouge du couché de Soleil. a) Qu est-ce que la diffusion? Lorsqu une onde électromagnétique arrive sur des atomes ou des molécules, il y a une interaction. Les particules chargées sont mises en mouvement et joue alors le rôle de dipôles rayonnants. On distingue trois grands types de diffusions suivant le rapport des deux grandeurs significatives du problème à savoir la taille des particules a et la longueur d onde λ. Nous nous situons dans le cas où a 1. C est la diffusion de Rayleigh, successeur de Maxwell au λ Laboratoire Cavendish. b) Le modèle de la charge élastiquement liée Une fois l onde en interaction avec la particule chargée, celle se met en mouvement. Pour décrire son mouvement, nous avons besoin d un modèle d atome. À partir d un modèle simple, celui de la charge élastiquement liée proposé par Lorentz 1, trouver une expression de p. Les différentes hypothèses : La force de Lorentz - qui traduit l interaction entre la charge et le champ électromagnétique extérieur - se réduit à sa composante électrique, la composante magnétique est négligeable. F = q( E + v B) Pour une OPPM, on a E = Bv ϕ, - avec v ϕ c - donc dans l expression de Lorentz, on doit comparer, Bc devant vb, où v est la vitesse de l électron. Si l électron n est pas relativiste, soit si v c alors le terme électrique est largement prépondérant. Finalement, la force de Lorentz se réduit à : F e = q E L électron étudié subi de la part de son noyau une force de rappel, dont on montre qu elle est équivalente à une force de rappel élastique qui s écrit : F r = k r 1 C est pour expliquer la diffusion de la lumière par l atmosphère, le fameux "bleu du ciel" que Lorentz a proposé ce modèle publié dans sa "Théorie des électrons", en Il a eu avec P. Zeeman, qui à découvert l effet d un champ magnétique sur le spectre d émission d une source lumineuse, le deuxième prix Nobel de physique, en 192. J.-F. Reix page 6 / 8 PC

7 Pour traduire les phénomènes dissipatifs - le rayonnement du à l accélération centrale, les collisions avec d autres électrons, on choisit une force sous forme de force de frottement fluide : F f = m v, τ ou m est la masse de la particule chargée considérée, et τ le temps de relaxation ou la durée entre deux collisions. On peut aisément, en régime établi, à la pulsation ω imposé par l excitateur qu est le champ électrique de l onde, donner l expression du moment dipolaire : mω 2 r = k r jωm/τ r e E soit, p = e r = ( e)( e E) k mω 2 + jωm/τ, p = e r = e 2 /m E k/m ω 2 + jω/τ, car r est le vecteur position de l électron, donc qui va de la charge positif à la charge négative. Le moment dipolaire est lui défini par la charge positive multipliée par la vecteur qui va de la charge négative à la charge positive. En mettant en facteur m, on fait apparaître la pulsation propre de l électron, ω = k/m. c) Puissance rayonnée par diffusion de Rayleigh Avant de donner l expression de la puissance rayonnée, il convient de simplifier l expression du moment dipolaire. En effet, pour la rayonnement visible, ω est de l ordre de 1 14 rad.s 1, alors que ω est de l ordre de 1 16 rad.s 1. La résonance est donc dans l ultraviolet. Quant au terme d amortissement, en 1/τ, on a τ de l ordre de 1 8 s 1. Finalement, pour les trois termes, on a ω 2 ω 2 + jω/τ j1 22 L expression du moment dipolaire peut donc s écrire, On a bien sûr E = E cos(ωt kx) donc p = e 2 mω 2 E. e 2 E p = mω 2 cos(ωt kx) e z. }{{} p On peut à présent extraire l expression de p et la remplacer dans l expression de la puissance moyenne rayonnée. On a donc p = e2 E mω 2, et, d autre part ω = 2πc en remplaçant dans la puissance moyenne rayonnée, λ P = 4p2 π 3 c 3ε. 1 λ 4 = 4p2 π 3 c ω 4. 3ε 16π 4 c 4 = p2 ω 4 12πε c 3 e 4 E 2 ω 4 = 12πε c 3 m }{{ 2 ω } 4 P J.-F. Reix page 7 / 8 PC

8 d) Le bleu du ciel et le rouge du couché de Soleil La puissance diffusée est proportionnelle à ω 4. Le bleu, de fréquence plus élevé est donc beaucoup plus diffusée. C est ce rayonnement diffusé qui donne sa couleur bleu au ciel. Si le ciel n apparaît pas violet, c est que le violet est absorbé par la couche d ozone. Quand l épaisseur d atmosphère traversée est plus importante, la lumière s appauvrie en bleu dans la direction du rayon lumineux, qui de fait apparaît plus rouge. e) Polarisation par diffusion La lumière bleue du ciel est toujours polarisée, les photographes le savent. Explication. J.-F. Reix page 8 / 8 PC