BAC LE DIPÔLE LC. Exercices corrigés : Le dipôle LC. Copyright. Énoncé : On étudie les oscillations d'un circuit comportant :

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1 DIPÔ xercices corrigés : e pôle xercice Énoncé : On étue les oscillations d'un circuit comportant : Énergies (J) -Un condensateur de capacité C préalablement chargé -Une bobine d'intance et de résistance négligeable ) a) Établir l'équation fférentielle vérifiée par la tension instantanée u c (t) existant entre les bornes du condensateur b) Donner l expression de la fréquence propre N de cet e oscillateur ) a) xprimer l'énergie totale emmagasinée par le circuit en fonction de la tension u C (t) et i(t) b) Déduire que l'oscillateur est conservatif 5 3 ) On propose ci-contre les représentations de l énergie totale et de l 'énergie électrostatique c emmagasinée par le condensateur en fonction de u c a) Déterminer l'amplitude u C de la tension u C (t) b) Calculer la valeur de la capacité C du condensateur Corrigé : -4 J V u C (V ) - a- D après la loi des mailles : u + u c = du uc avec c i C et C uc propre avec d uc uc c est l équation fférentielle des oscillations électriques sinusoïdales de pulsation b- = N ; N - a- = + c i Cuc b- Calculons la dérivée de pour voir comment varie l énergie totale du circuit d i Cu c d i u cc on a i C, on peut alors mettre i en facteur d i( u c ) et d après la loi des mailles uc u uc d où d Rappel mathématique : Toute fonction dont la dérivée est nulle, est constante f (x) = signifie que f(x) = constante Donc l énergie totale du circuit est constante or CUc ce qui montre que l amplitude des oscillations U c est constante d où les oscillations sont non amorties 3- Page sur 5

2 xercices corrigés : e pôle a- orsque u c = U c on a i= (i intensité du courant dans le circuit) d où CUc CU d après le graphe pour = c on a uc donc U c = V nergies (J) c = c b- Pour un oscillateur électrique libre non amorti tel que le circuit on a : CUc donc C U C F µf c u C (V ) 5 n ce point on a : c = c AN : xercice noncé : On considère le circuit électrique schématisé dans la figure ci-contre, comportant :un générateur de tension continue (G), de fém U et de résistance interne négligeable ;un condensateur (c) de capacité C et d armatures A et B ;une bobine (B) d intance et de résistance négligeable ;deux interrupteurs K et K K étant ouvert, on ferme K Après une brève durée, le condensateur porte une charge imale Q et emmagasine une énergie électrostatique a- Donner l expression de Q en fonction de U et C b- Donner l expression de en fonction de Q et C e condensateur étant chargé ; à t = on ouvre K et on ferme K A t quelconque, l armature A du condensateur porte une charge q a- xprimer l énergie électromagnétique en fonction de, C, q et i b- Montrer, sans faire aucun calcul que cette énergie se conserve et elle est égale à c- Déduire l équation fférentielle des oscillations électriques d- Déterminer l expression de la période propre T en fonction de et C e- Donner l expression de la charge q en fonction du temps Q C 4 3 Montrer que l expression de l énergie en fonction du temps s écrit : cos t T 4 Une étude expérimentale a permis de tracer les courbes () et () (ci-dessous) traduisant respectivement les variations de l énergie magnétique en fonction de i et en fonction du temps a- n exploitant la courbe (), déduire les valeurs de et de b- n exploitant la courbe (), déduire la valeur de T 5 Déterminer alors C, Q et U Page sur 5

3 ( -3 J) ( -3 )J xercices corrigés : e pôle i(a) t( -4 s),, Courbe () Courbe () Corrigé : - a- orsqu on ferme l interrupteur K et on ouvre K et on applique la loi des mailles, on trouve que Q u G = u c U doù Q CU C Q b- C - a- = e + q i C b- Un condensateur parfait et une bobine idéale (intance pure) ne ssipent pas de l énergie électrique, seul le résistor ssipe de l énergie par effet joule or dans notre circuit il n ya pas de résistor donc l énergie Q totale du circuit est conservée ( ne varie pas au cours du temps) (t quelconque ) (t ) C c- On a t que = constante donc d (Rappel (f ) = ff, i(t) et q(t) sont deux fonctions du temps) i q C d dq i q C q dq dq i on a i, on peut alors mettre i en facteur C q i( ) C, lorsque t varie au cours du temps i d où : q avec C d q q C d q d q q équation fférentielle des oscillations électriques libres non amorties de pulsation propre avec d- a période propre T Page 3 sur 5

4 xercices corrigés : e pôle e- a solution de l équation fférentielle précédentes s écrit sous la forme q(t) =Q sin( t + q ) avec Q =Q, et à t= le condensateur est complètement chargé alors que la bobine est vide q(t=) = Q =Q Q sin q = Q d où sin q = donc q rad t q(t) Q sin( t ) Q sin( ) 3-4- i dq avec i Q cos( t ) Q cos ( t ) or et cos(( t )) Q Q cos(t ) avec C T Q 4 cos( t ), on a 4C T Q C cos cos 4 cos( t ) T a- De la courbe() on peut prélever la valeur I =, A et celle de = -3 J or 3 AN :,H (,) I, I Rappel : Pour les grandeurs i(t) et q(t) on a t que si l une est extrêmale (càd minimale ou imale) l autre est nulle Pour i= I on a q= or i q C d où I mais =constante = donc = = -3 J b- a courbe() représente la fonction (t) qui est une fonction sinusoïdale du temps 4 4 T ( cos( t ) ) de pulsation et de période T T T T d après la courbe() : T= -4 4 s d où T 4 s 5-3 Pour déterminer C, on a et 5 rads on peut alors déduire la valeur de C 4 T 4 AN : 6 C,4 F,4 µf 3 (5 ), Déterminons la valeur de Q : Q Q, Q C C d' où C AN : Q,4 4 C Autre méthode : on a I = Q donc I Q AN : Page 4 sur 5

5 , 5 Q On a U AN : C 5 Q 4 C U V 6,4 xercices corrigés : e pôle Page 5 sur 5