Devoir Surveillé n 5
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- Bernard Michel
- il y a 6 ans
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1 MATH Devoir Surveillé 5 U corrigé EXERCICE 1 1 O rocède ar codage, e eectuat des oératios élémetaires sur les liges de P et I 3 simultaémet : P I L 2 2L 1 L L 3 L 3 + L L 3 L 2 L L 2 L 2 4L L 1 L 1 L 2 2L O lit alors que P Les calculs (roduits matriciels fot aaraître que : 2 La matrice de gauche est triagulaire sas zéro sur la diagoale : elle est de rag 3 Il e est doc de même de P : P est iversible a + 2b 0 0 (a; b R 2, D(a, b 0 a + b 0 est bie diagoale 0 0 a + b 3 Soit (a; b R 2 Si M(a; b est iversible, alors D(a; b est iversible comme roduit de trois matrices iversibles La réciroque est aalogue dès lors qu'e multiliat à gauche ar P et à droite ar P 1 das l'égalité D(a, b P 1 M(a, bp, o obtiet M(a, b P M(a, bp 1 Aisi, M(a, b est iversible si et seulemet si D(a, b est iversible 4 Soit (a; b R 2 E tat que matrice diagoale ( triagulaire, D(a; b est iversible ssi ses coeciets diagoaux sot ts o uls Comme il e est de même r M(a; b : M(a; b est iversible ssi a + 2b 0 et a + b 0 1 / 7
2 jverliatfreefr 5 O observe que D(a, b 2 P 1 M(a, b 2 P De fait, si M(a, b 2 I, alors D(a; b P 1 P I Bie sûr, la réciroque est aalogue Aisi, [M(a, b] 2 I ssi [D(a, b] 2 I 6 (a + 2b Soit (a; b R 2 O a : D(a; b 2 0 (a + b 2 0 O e déduit : 0 0 (a + b 2 [M(a, b] 2 I [D(a, b] 2 I { (a + 2b 2 1 (a + b 2 1 { a + 2b ±1 a + b ±1 { { a + 2b 1 a + 2b 1 a + b 1 a + b 1 { { b 0 b 2 a + b 1 a + b 1 { { b 0 b 2 a 1 a 3 { a + 2b 1 a + b 1 { b 2 a + b 1 { b 0 a 1 { b 2 a 3 { a + 2b 1 a + b 1 { b 0 a + b 1 Aisi, il y a eectivemet quatre cles (a; b tels que M(a; b 2 I : (1; 0, (3; 2, ( 3; 2 et ( 1; 0 2 / 7
3 Devoir Surveillé 5 EXERCICE 2 1 U tirage des jetos est ue ermutatio des jetos : il y a! telles ermutatios Doc N! 2 U tirage des jetos fait aaraître records ssi chaque tirage d'ue ble a coduit à ue record, ce qui reviet à dire que les uméros qui aaraisset formet ue suite strictemet croissate Comme les ombres N sot etre 1 et, le seul tirage coveable est (1; 2; 3; ; : N 1, N 1! 3 Comme le remier tirage est tjrs u record, o obtiet u seul record lors des tirages ssi aucu des uméros obteus à artir du 2 ème tirage est lus grad que le remier, ce qui reviet à dire que l'o a obteu le uméro au remier tirage, les autres tirages faisat aaraître 'imorte quel ombre de [[1; 1]] Il y a doc autat de tels tirages que de ermutatios des élémets de [[1; 1]] (r former les uméros obteus lors des tirages uméro 2, 3,, : N 1 ( 1!, N 1 4a Soit N Motros, ar récurrece, que, r tt q N, o a : ( ( ( ( q + q + 1 P q : N 1 Iitialisatio : le membre de gauche de P 0 est formé d'u seul terme, (, qui vaut 1, et le membre de droite est ( +1 1 Doc P0 est vériée Hérédité : soit q N tel que P q soit vériée Alors, ar hyothèse de récurrece : ( + ( ( + q + ( + q + 1 ( ( + q q ( + q + 2 d'arès la formule de Pascal + 1 La relatio P q+1 est doc vraie Le rocédé de récurrece s ermet d'armer que q N, ( ( + +1 ( + + +q ( +q+1 +1 Ceci état vrai r tt N, o a bie rvé :, q N, ( ( + +1 ( + + +q ( +q b Notos R k,j l'esemble des faços de vider l'ure de sorte que le k ème tirage amèe u record et le uméro j O utilise le ricie multilicatif r déombrer R k,j Choix du uméro sorti lors du k ème tirage : ue ossibilité, il faut choisir le uméro j Choix des uméros sortis lors des k 1 remiers tirages : ces uméros formet u (k 1-arragemet de l'esemble [[1; j 1]] (r qu'il y ait record au k ème tirage, il faut et il sut que les k 1 remiers tirages aiet ameé des uméros strictemet iférieurs à j Il y e a A k 1 j 1 (j 1! (j k! Choix des uméros sortis les des k deriers tirages : il reste à ermuter les uméros o ecore sortis, il y a ( k! telles ermutatios Fialemet, il y a (j 1! (j k! ( k! faços de vider l'ure de sorte que le kème tirage amèe u record et le uméro j 4c Notos R k l'esemble des faços de vider l'ure de sorte que le k ème tirage amèe u record O a : R k R k,j 3 / 7
4 jverliatfreefr Comme les esembles R k,j sot disjoits deux à deux, o eut écrire : Card(R k Card(R k,j (j 1! ( k! (j k! ( k!(k 1! ( k!(k 1! Or, d'arès la questio 4a avec (; q (k 1; k, o a : ( ( ( j 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 (j 1! (j k!(k 1! ( j 1 k 1 ( 1 k 1 ( k (! O e déduit : Card(R k ( k!(k 1! ( k!(k 1! k k!( k!! k E coclusio, le ombre de faços de vider l'ure de sorte que le k ème tirage amèe u record est! k O costate que la roortio associée est 1 k! 5a O costruit la liste [1,2,3,,], o extrait u à u les élémets de cette liste, et o observe si, à chaque étae, o obtiet u élémet lus grad que ts les élémets récédemmet recotrés : imort radom as rd def records(: Llist(rage(1,+1 trdchoice(l # choix aléatoire d'u élémet das L Lremove(t # suressio de cet élémet T[t] # tirage r1 # ombre de records while L![]: # o réitère jusqu'à éuisemet de L trdchoice(l Lremove(t if max(t<t: # détectio d'u record r+1 LL+[t] retur r 5b Voici ue foctio qui, r u doé, eectue u grad ombre de simulatios et revoie la liste des roortios de simulatios ayat coduit à 1 record, 2 records,, records def roortio(: N10000 # grad ombre de simulatios R[0]* # liste des b de simulatios ayat ameé à 1 record, 2 records,, records for k i rage(n: rrecords( R[r-1]+1 # icrémetatio du b de simulatios ayat coduit à r records for r i rage(: R[r]/N # roortio retur R 4 / 7
5 Devoir Surveillé 5 L'ael de roortio(5 revoie (ar exemle : [02087,04054,02913,00861,00085] D'u oit de vue théorique, o a vu (questios 2 et 3 que le remier ombre de cette liste est roche de N 1 N 1 N 5 0, 2 et que le derier est roche de N 1 5! , / 7
6 jverliatfreefr PROBLÈME 1(a La foctio f déie sur R + ar x > 0, f(x l x + x est strictemet croissate sur R + (e tat que somme de foctios strictemet croissates et vérie lim f(x et lim f(x + x 0 x + Rerésetatio grahique de f : f réalise doc ue bijectio de R + das R O e déduit que : 1(b N, l'équatio (1 l x + x admet ue uique solutio x et o a x R + 1(c Pr N, o a f(x < +1 f(x +1 Par stricte croissace de la foctio f, o a doc x < x +1 Autremet dit, la suite (x N est strictemet croissate 2(a Pr x R +, o ose g(x l x x La foctio g aisi déie est dérivable sur R + comme somme de foctios dérivables et o a x > 0, g (x 1 x 1 Doc : D'où le tableau de variatios de g g (x > 0 x < 1 x g (x + 1 g O e déduit que x R +, l x < x Soit N 2(b 6 / 7
7 Devoir Surveillé 5 O a f( l + f(x Par stricte croissace de f : x D'arès 2(a, f ( 2 l < f(x Par stricte croissace de f, 2 < x E résumé, N, 2 x Comme 2 +, e aliquat le théorème de comaraiso, o obtiet x + 2(c 3(a De 2(b, o déduit que si 4, 1 x Par croissace du logarithme éérie, 0 l x l, doc l x 0 l l Par croissaces comarées, 0, doc ar théorème des gedarmes : l x 0 Par déitio de u, o a l(x + x doc x l(x Or, o viet de motrer que l(x o(, doc x + o(, soit x O observe que, si 1, l x +1 + x l x + x + 1, doc Aisi, x +1 x 1 Pr N \{0; 1}, o a u 1 x l 3(b x +1 x 1 + l x }{{ l x } o( 1 }{{} o( o( 3(ci 1 x l l D'où : N, u 1 l( x l 3(cii l(x l l l( x l Comme x, o a x 1, doc, ar comositio : l ( x 0 Par quotiet, o e déduit que u 1 3(ciii Comme x 1, o a x 1 0, de sorte que l ( x ( ( l 1 + x 1 x 1 x Aisi, u 1 x l u Comme u 1, o a u 1, doc u 1 1, ecore 1 u 1 Comme 1 u 1 x, o a 1 l C'est exactemet ce qu'ilfallait démotrer 3(d 1 ecore l + x l ( l l + x l + o, ce qui se réécrit 7 / 7
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