Soutien 5.1. Soutien 5.1 (suite)
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- Robin Caron
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1 Soutien 5.1 Page 1 1. a) La somme des mesures des angles intérieurs du triangle est 180. b) L angle ACB mesure 80, soit c) Les angles ABC et ACB sont isométriques car, dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques Chacun mesure 70, soit (180 40) 2. d) Les angles d un triangle équilatéral sont isométriques et chacun mesure 60, soit e) La somme des mesures des angles intérieurs d un quadrilatère est 360. De plus, les angles opposés d un parallélogramme sont isométriques. L angle ADC mesure donc 70 et les angles DAB et BCD mesurent chacun 110, soit ( ) 2. f) La somme des mesures des angles intérieurs d un quadrilatère est 360. L angle D mesure donc 135, soit On peut affirmer que les angles non droits d un trapèze rectangle sont supplémentaires. BC étant une droite qui coupe ces deux droites parallèles, les angles correspondants alors formés Ainsi, l angle BEA mesure 45. L angle ABE étant droit, par hypothèse, l angle BAE mesure donc également 45, soit Le triangle ABE est donc rectangle et isocèle, car il est aussi isoangle. Page 3 2. a) À la condition que les angles soient opposés par le sommet ou, autrement dit, que les points D, B et E soient alignés, de même que les points A, B et C. b) À la condition que les droites d 2 et d 3 soient parallèles. Soutien 5.1 (suite) Page 2 3. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : La somme des mesures des angles a et b vaut la mesure de l angle d. b) La somme de leurs mesures est 180, soit m a m b m c 180. c) La somme de leurs mesures est 180, soit m c m d 180. d) On peut dire que m a m b m d ; autrement dit, la mesure d un angle extérieur d un triangle est égale à la somme des mesures des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. 4. Tout d abord, AE DC (par la construction). A D B E 45 C
2 Soutien 5.2 Page 7 1. a) Par CAC. a) Par ACA. AB EB ABD CDB CB DB ADB CBD ABC EBD BD DB c) Par CCC. d) Par CCC. AD AB BM CM CD CB AM DM AC AC AB DC (par le théorème de Pythagore). 2. a) Oui, par la condition minimale d isométrie ACA (les deux angles aigus des triangles sont isométriques). b) Non, les hypothèses sont insuffisantes pour conclure que les triangles Soutien 5.2 (suite) 3. a) AB : CD BC : DA AC : CA b) Parce que les côtés homologues de triangles isométriques 4. a) Par CCC. Car AE CE et AB CD par hypothèse. Par le théorème de Pythagore, on a : m BE (m AB ) 2 (m AE ) 2 (m CD ) 2 (m CE ) 2 m DE Page 8 b) Parce que les angles homologues de triangles isométriques c) Oui, car A et C sont des angles alternesinternes isométriques relativement aux droites AB et CD. 5. Δ ABD Δ CBD par la condition minimale d isométrie CAC. En effet : 1. AB CB, par hypothèse ; 2. ABD CBD, car BD est la bissectrice de l angle ABC ; 3. BD BD, car tout segment est isométrique à lui-même.
3 C Soutien 5.3 Page a) Δ AED Δ CEB par le cas de similitude des triangles AA (m AED m CEB et m DAE m BCE). b) Δ ABC Δ DBE par le cas de similitude des triangles CAC m ABC m DBE et m DB m EB m AB m CB. c) Δ ABC ~ Δ DEF par le cas de similitude des triangles CCC m DF m AB m BC m AC m DE m EF. Soutien 5.3 (suite) 2. m CE 3,125 unités. m DE 1,875 unité. Le périmètre du triangle DEC est de 7,5 unités. A 3 2,5 D Page 14 2,5 B E 4 C 3. Hypothèse : AN BC m NQ m AQ Conclusion : m MQ m CQ AFFIRMATION JUSTIFICATION 1. AQN CQM 1. Angle commun. 2. NAQ MCQ 2. Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles correspondants 3. Δ ANQ Δ CMQ 3. Par AAA. 4. m NQ m AQ 4. Le rapport des mesures des côtés homologues m MQ m CQ de deux triangles semblables est constant. Soutien 5.3 (suite) 4. a) 5,4 cm b) 3,5 cm Page 15
4 5. En doublant les dimensions de leurs côtés.
5 Soutien 5.4 Page a) a) 10 cm 2) Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes (relation de Pythagore). b) 1) 6,72 cm 2) Dans un triangle rectangle, le produit des mesures de l hypoténuse par la hauteur correspondante égale le produit des mesures des côtés de l angle droit. c) 1) 4 cm 2) Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesure de sa projection sur l hypoténuse et celle de l hypoténuse entière. d) 1) 6 cm 2) Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu elle détermine sur l hypoténuse. 2. a) 7,2 cm b) 8 cm c) 27 cm d) 11,08 cm Soutien 5.4 (suite) Page a) 20 cm b) 12 cm c) 7,2 cm d) 9,6 cm cm ou 6,93 cm x 26 3 ; y 57,6
6 Renforcement a) Une définition. Page 1 b) Une conjecture. c) Un axiome. d) Une définition. e) Un axiome. f) Une conjecture. 2. a) Faux. Un losange respecte 12 cm cette condition, mais 12 cm n est pas un carré. Exemple : 12 cm 12 cm b) Vrai. La somme des mesures des angles intérieurs d un triangle est 180. Puisque le triangle a un angle droit, la somme des mesures des deux autres angles est 90 et, par conséquent, la mesure de chacun de ces angles est inférieure à 90. De plus, on sait que dans un triangle, au plus grand angle s oppose le plus grand côté. Le côté opposé à l angle droit est donc toujours le plus grand. c) Faux Deux droites parallèles superposées se touchent toujours. d) Vrai. On trace une perpendiculaire d à partir du point milieu M d un des côtés du triangle équilatéral. Puisque m BM m CM, m BA m CA et que les A angles ABM et ACM sont égaux, alors la droite d est un axe de symétrie du triangle équilatéral et passe par le point A. Il s agit donc de la hauteur du triangle. C B M Renforcement 5.1 (suite) 3. a) c) e) Page 2 D C O N T R E - E X E M P L E M O b) d) D E F I N I T I O N A S X T I R E C I P R O Q U E O A M f) T H E O R E M E I g) C O N J E C T U R E N Renforcement 5.1 (suite) Page 3 4. Énoncé : La somme des mesures des angles intérieurs d un triangle est 180 Hypothèse : AB DF Conclusion : m 1 m 2 m AFFIRMATION Les angles 3, 4 et 7 forment un angle plat. Les angles alternes-internes formés par une droite sécante entre deux parallèles Les angles alternes-internes formés par une droite sécante entre deux parallèles. Les points D, C et F sont alignés. m 3 m 4 La mesure d un angle plat est de 180. m Donc m 1 m 2 m JUSTIFICATION Par la substitution de mesures égales. On peut démontrer dans la figure que 2 4, car ces angles sont des angles alternes-internes formés entre les parallèles AB et DF par le côté CB du triangle. De la même façon, on peut démontrer que 1 7. Les points D, C et F étant alignés, les angles 3, 4 et 7 forment un angle plat dont la mesure est de 180. Puisque m 1 m 7 et que m 2 m 4, on trouve par la substitution de mesures égales que la somme des mesures des angles dans un triangle est 180. Renforcement 5.1 (suite) Page 4 5. a) Diagonale : droite reliant deux sommets non consécutifs d un polygone. b) Hauteur d un triangle : droite issue du sommet d un triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé. c) Apothème : droite reliant les milieux des côtés d un polygone à son centre. 6. Énoncé : dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30 est égale à la moitié de la mesure de l hypoténuse. Hypothèses : m ACB 30 A m ABC 90 1 Conclusion : m AB m AC 2 30 B C A'
7 La somme des mesures des angles intérieurs d un triangle étant 180, on peut en déduire que la mesure de l angle CAB est de 60, soit En traçant l image du triangle ABC par une réflexion d axe BC, on obtient le triangle ACA'. Puisque la réflexion conserve la mesure des côtés et la mesure des angles, on en en déduit que l angle A' vaut 60 et que l angle A'CB vaut 30. L angle ACA' étant la somme des mesures des angles ACB et A'CB, sa mesure est de 60. Les trois angles du triangle ACA' étant isométriques, ce triangle est équiangle et, par le fait même, équilatéral. Puisque m AB m BA et que m AB m BA' m AC on peut conclure que 1 2 m AB m AC ou, encore, que m AB m AC. 2
8 Renforcement 5.2 (suite) Page 7 5. a) AFFIRMATION JUSTIFICATION AB CD Les côtés opposés d un parallélogramme BC AC DA CA Les côtés opposés d un parallélogramme Un segment est isométrique à lui-même. Δ ABC Δ ACD Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Renforcement 5.2 Page 5 1. a) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). b) Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). c) Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). d) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). 2. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). AFFIRMATION JUSTIFICATION AB CD Les côtés opposés d un parallélogramme BC B D Les angles opposés d un parallélogramme DA Δ ABC Δ ACD Les côtés opposés d un parallélogramme Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : AC AFFIRMATION JUSTIFICATION BAC ACD Lorsqu une droite coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes CA Un segment est isométrique à lui-même. ACB CAD Lorsqu une droite coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes Δ ABC Δ ACD Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). Renforcement 5.2 (suite) 3. D, par la condition d isométrie ACA. Page 6 4. a) ABD CDB b) Dans un parallélogramme, les côtés opposés c) AB BC d) Un côté commun. e) Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). 6. AFFIRMATION BE CE B C EB EC Δ ABE Δ CDE JUSTIFICATION Le point E est le point milieu du segment BC (par hypothèse). Lorsqu une droite coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes Les angles opposés par leur sommet sont isométriques. Par la condition minimale d isométrie ACA.
9 Renforcement 5.2 (suite) 7. AFFIRMATION JUSTIFICATION Page 8 XZ XY ZO YO XO XO XYO XZO Triangle isocèle (par hypothèse). Tous les rayons d un cercle Un même côté. Par la condition minimale d isométrie ACA. 8. AFFIRMATION m ACB 60 ACB EDF m EFD 30 JUSTIFICATION Les angles aigus d un triangle rectangle sont complémentaires. Lorsqu une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-externes sont isométriques. Les angles aigus d un triangle rectangle sont complémentaires. m AB 32,91 cm Par la relation de Pythagore. m AB m EF Par hypothèse. DEF CAB ABC EFD Par hypothèse. Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA).
10 Renforcement 5.3 Page 9 1. a) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). b) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). c) Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblables (CCC). d) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). 2. a) 31 b) 2,04 cm Renforcement 5.3 (suite) 3. a) Triangles semblables par CAC. b) Les triangles ne sont pas nécessairement semblables. c) Triangles semblables par AA. d) Les triangles ne sont pas semblables. Page 10 Renforcement 5.3 (suite) Page a) m AE m EB b) Par hypothèse, m AE m EB. c) Un angle est isométrique à lui-même. d) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). 5. Les triangles ABC et ADE sont semblables par la condition AA. En effet, B et D valent 90 et l angle A est commun aux deux triangles. Ainsi, si ces triangles sont semblables, alors tous leurs côtés homologues sont proportionnels. m CB m BA Ainsi, m DE m DA 22 3,3 x, où x est le diamètre du cercle. 17,6 x 22x 17,6(3,3 x), d où x 13,2. Le cercle a un diamètre de 13,2 m. Renforcement 5.3 (suite) Page a) AD // BC m AE m DE b) m EC m EB c) Deux angles opposés par le sommet sont isométriques. d) Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques. e) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables. f) Les angles homologues des figures planes ou des solides semblables sont isométriques et les mesures des côtés homologues sont proportionnelles. 7. La hauteur de la tour est environ de 17,9 m. En supposant que tous les rayons du soleil sont parallèles entre eux et en négligeant la courbure de la surface de la Terre, on arrive à la représentation ci-dessous comprenant deux triangles. Rayons du soleil Rayons du soleil Tour Ingénieure Ombre de l ingénieure Ombre de la tour
11 On peut conclure que les deux triangles représentés sont semblables par la condition minimale AA. En effet, les mesures des angles au sol de la tour et de l ingénieure sont de 90. De plus, les angles formés par l ombre et les rayons du soleil sont isométriques, car ce sont des angles correspondants formés par les parallèles et la sécante (le sol). Ainsi, si ces triangles sont semblables, alors les côtés homologues sont proportionnels. ombre de la tour Donc : ombre de l ingénieure 12,80 x 1,25 1,75 x 17,92 hauteur de la tour hauteur de l ingénieure
12 Renforcement 5.4 Page a) a 26, h 9,23, d 3,85, e 22,15 b) b 80, c 20, d 8, h 4 c) a 24, b 432, e 6, h 108 d) a 5, b 20, c 5, e 1 e) a 26, b 364, c 312, h 168 f) a 6, b 18, c 18, h g) a, c, d 300, e h) b 78, c 91, e 7, h 42 Renforcement 5.4 (suite) Page La hauteur du mât du voilier est 16,45 m. 3. Le sandwich au fromage orange mesure 9 cm sur 12 cm. Le sandwich au fromage blanc mesure 12 cm sur 16 cm. Renforcement 5.4 (suite) 4. Par le théorème de Thalès, m CD 64,8 cm et m EF 30 cm. 5. Le périmètre du triangle ABC est environ de 47,5 cm. Page 15 Renforcement 5.4 (suite) Page Le segment AO est le rayon du cercle, il fait donc 12 cm. Le segment OD est le double du segment AD donc le segment AD 4 cm, le segment OD 8 cm et le segment BD 20 cm. Ainsi, en utilisant les relations métriques dans les triangles rectangles, on pose que m CD 2 m AD m BD. Donc (m CD ) ,2 unités. (m CD ) 2 80 cm
13 Section 5.1 Page 1 Section 5.1 (suite) Page 3 1. a) Hypothèses : 1) ABC et CBD sont adjacents. 2) Les demi-droites BA et BD sont en ligne droite. b) Conclusion : m ABC m CBD a) Hypothèses : AOB et COD sont opposés par le sommet. Conclusion : AOB COD. b) Hypothèses : DEF est isocèle ; DE FE. Conclusion : D F. c) Hypothèses : Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Conclusion : BC AD et AB DC. 3. Ils sont supplémentaires. Section 5.1 (suite) Page 4 4. m Les angles opposés par le sommet sont congrus. m Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires. m Les angles opposés par le sommet sont congrus. m Les angles alternes-internes formés par une sécante et des parallèles sont congrus. m Les angles opposés par le sommet sont congrus. m Les angles adjacents dont les côtés extérieurs forment un angle droit sont complémentaires. m Les angles opposés par le sommet sont congrus. m Les angles opposés par le sommet sont congrus.
14 5. Hypothèses : AB // CD et GE // HF. Conclusion : 1 4. Justifications : 1 Les angles correspondants formés d une sécante à deux parallèles sont congrus. 2 Les angles opposés par le sommet sont congrus. 3 Les angles correspondants formés d une sécante à deux parallèles sont congrus.
15 TS, 2 e année du 2 e cycle Des figures isométriques aux figures semblables Section 2.2 Page 6 1. a) m DF 16 m DE 10 m EF 22 b) m BC 3,5 m DF 28 m DE 12 c) m AB 18 m BC 24 m AC 8 m EF a 12, b 15 et e Hypothèse : m BC 12, m CD 15 et m AB 16 Conclusion : DAC ABC Affirmations ACD mab mac mbc mcd Justifications 1... est égal à la somme des carrés des cathètes. 2 Car les deux angles sont droits.... est égal au produit des moyens CAC 2009, Les Éditions CEC Reproduction autorisée VISION 2 Corrigé Regards/Réflexions mathématiques 41
16 TS, 2 e année du 2 e cycle Des figures isométriques aux figures semblables 4. (Autres réponses possibles.) Hypothèse : CAB EAD Conclusion : ABC ADE mac 6 2 mae 9 3 CAB EAD mab 4,8 2 mad 7,2 3 ABC ADE Les rapports de similitude sont égaux. car c est un angle commun aux deux triangles. Les rapports de similitude sont égaux. CAC, deux triangles ayant un angle homologues isométriques compris entre deux côtés homologues de longueur proportionnelle sont semblables. 5. 5,33 (5, 3 ) 6. 11, On utilise le cas de similitude CAC. 9. On utilise le cas de similitude AA et la proportionnalité des mesures des côtés homologues. 10. a) 24 m b) 4 m 11. a) 6,82 cm b)3,66 cm c) 3,46 cm d) 9,28 cm 2009, Les Éditions CEC Reproduction autorisée VISION 2 Corrigé Regards/Réflexions mathématiques 42
17 TS, 2 e année du 2 e cycle Des figures isométriques aux figures semblables 12. Hypothèse: AF EF ED DC ABCE est un parallélogramme Conclusion : ABC FED mab 2 2 med 1 E B mbc 2 2 mef 1 Car le point D est le milieu du segment EC et dans un parallélogramme les côtés opposés Dans un parallélogramme, les angles non-consécutifs sont congrus. Car le point F est le milieu du segment AE et dans un parallélogramme les côtés opposés ABC FED Deux triangles ayant un angle homologue isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables ,8 m ,32 m 15. m 2009, Les Éditions CEC Reproduction autorisée VISION 2 Corrigé Regards/Réflexions mathématiques 43
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