Triangles semblables et isométriques - Produit scalaire - Rotation - Equations de droites
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- Richard Julien
- il y a 6 ans
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1 ABC est un triangle, f est la transformation qui, à tout point M du segment [AB], associe M = f(m) de la manière suivante : BM = CM A, C, M sont alignés dans cet ordre. Le but de ce problème médiatrice de [MM ] M décrit le segment est de démontrer que la passe par un point fixe I lorsque [AB]. A A partir d une configuration 1) Placer B = f(b) et A = f(a). 2) Justifier l affirmation suivante : «Si passe par un point fixe, ce point est l intersection I des médiatrices de [BB ] et [AA ].» 3) a) Démontrer que les triangles ABI et A CI sont isométriques. b) En déduire que a IBM = a ICM et que les triangles IBM et ICM sont isométriques. c) Justifier alors que la médiatrice de [MM ] passe par I. B A partir d un triangle particulier avec les transformations Dans le plan orienté, ABC est un triangle isocèle en A. 1) a) Construire B =f(b), A =f(a). Démontrer que les médiatrices de [BB ] et de [AA ], ainsi que les perpendiculaires en C et B, respectivement à (AC) et (AB), sont concourantes en I. b) Démontrer que les triangles BIC et AIA sont semblables. 2) On note r la rotation de centre I telle que r(b) = C. a) Pourquoi r(a) = A? b) En déduire que r(m) = M et que la médiatrice de [MM ] passe par I. C A partir d un repère et des coordonnées Dans un repère orthonormal (O; i ; j ) on donne : A(0 ;4) B(-8 ;0) C(2 ;0) 1) Démontrer que AB = 2AC. 2) On pose BM = k BA avec 0 k 1 et CM = -k CA, k 0. a) Calculer les coordonnées de M en fonction de k. b) Démontrer que BM = CM équivaut à k = 2k. c) En déduire les coordonnées de M en fonction de k. 3) a) Quelles sont les coordonnées de B = f(b) et de A =f(a)? b) Calculer les coordonnées du point I intersection des médiatrices de [BB ] et [AA ]. c) Démontrer alors que la médiatrice de [MM ] passe par I. 1
2 A A partir d une configuration 1) CORRECTION 2) 2
3 Si passe par un point fixe I alors toutes les droites définies lorsque M varie sur [AB] passe par I. En particulier, lorsque M = B, la droite est la médiatrice de [BB ]. Lorsque M = A, la droite est la médiatrice de [AA ]. Donc si I existe, il est le point d intersection des médiatrices de [BB ] et [AA ]. 3) a) On a AB = A C (par construction de A ). On a AI = IA car I appartient à la médiatrice de [AA ]. On a BI = IB = IC car I appartient à la médiatrice de [BB ] et B = C Les triangles ABI et A CI ayant leurs côtés deux à deux de même longueur sont donc isométriques. b) Les triangles ABI et A CI étant isométriques, ils ont leurs angles homologues de même mesure. Donc a IBA = a ICA. Et comme a IBA = a IBM et a ICA = a ICM, on en déduit que a IBM = a ICM. On a d une part IB = IC et d autre part BM = CM (par construction de M ). Les triangles IBM et ICM ayant deux paires de côtés de même mesure et l angle formé par ses deux côtés de même mesure sont donc isométriques. c) Les triangles IBM et ICM étant isométriques ont leurs côtés homologues de même longueur, on a en particulier IM = IM. Donc I appartient à la médiatrice de [MM ]. B A partir d un triangle particulier avec les transformations 1) a) Soit I le point 3
4 d intersection des médiatrices de [BB ]et [AA ]. On a CA = AB = AC. Donc C est le milieu de [AA ]. On en déduit que la médiatrice de [AA ] et la perpendiculaire à C à (AC) sont confondues. On CI² = AI² - AC² en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ACI. IB = IC car I appartient à la médiatrice de [BC]. On a donc IC² = IB² = AI² - AC² = AI² - AB² Et selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABI est rectangle en B. On en déduit que la perpendiculaire à B à (AB) passe par I. Donc les perpendiculaires à C à (AC) et à B à (AB) se coupent en I. b) Les triangles rectangles ABI et ACI sont isométriques. On pose = a ICB Soit O le point d intersection de (BC) et (AI). (AI) étant la médiatrice de (BC), triangle OCI est rectangle en O. Donc a OIC = 90 - Donc a IAC = Le triangle IAA est isocèle en I donc a IA A = et a AIA = Le triangle BIC étant isocèle en I, on a a IBC = a ICB = et a BIC = Les triangles BIC et AIA ayant les angles deux à deux de même mesure sont donc semblables. 2) a) IA = IA et a BIC = a AIA donc r(a) = A. b) L image par r du segment [AB] est le segment [A C]. L image Q par r du point M appartenant à [AB] appartient donc à [A C] et BM = CQ. Donc Q = M et r(m) = M. On a donc IM = IM et par suite I appartient à la médiatrice de [MM ]. C A partir d un repère et des coordonnées 1) AB² = = 80 AB = 4 5 AC² = = 20 AC = 2 5 Donc AB = 2AC 2) a) M(x M ;y M ) x M + 8 = 8k et y M = 4k M(8k 8;4k) b) BM = CM BM² = CM ² k² AB² = k ² AC² k² 4 AC² = k ² AC² k = 2k c) M (x M ;y M ) x M 2 = 4k et y M = -8k M (2 + 4k;-8k) 3) a) B = C donc B (2;0) (on prend k = 0 pour M ) Pour calculer A = f(a) on prend k = 1. A (6 ;-8) 4
5 b) Soit J le milieu de [BC]. J(-3 ;0) Soit K(x ;y) K appartient à la médiatrice de [BC] si KJ. BC = x Soit 0 - y = 0 Soit x = -3: équation de la médiatrice de [BC]. Soit L le milieu de [AA ] L(3 ;-2) Soit K(x ;y) K appartient à la médiatrice de [AA ] si KL. AA = 0. 3 x Soit -2- y = 0 Soit 6(3 x) 12(-2 y) = 0 Soit 3 x y = 0 Soit x + 2y + 7 = 0 : équation de la médiatrice de [AA ]. Les coordonnées du point d intersection I des médiatrices de [BC] et de [AA ] vérifient le système : x = x + 2y + 7 = 0 x = -3 et y = -5 I(-3 ;-5) c) M(8k 8 ;4k) M (2 + 4k ; -8k) IM² = (8k 8 +3)² + (4k + 5)² = (8k 5)² + (4k + 5)² IM ² = (2 + 4k + 3)² + (-8k + 5)² = (4k + 5)² + (8k 5)² On a IM² = IM ² donc IM = IM et I appartient à la médiatrice de [MM ]. 5
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