Cité scolaire Georges Clémenceau Montpellier. devoir commun de mathématiques. classes de seconde. 03 Février 2017

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1 Nom :... Prénom : Classe : Cité scolaire Georges Clémenceau Montpellier devoir commun de mathématiques classes de seconde 03 Février 2017 L utilisation de la calculatrice est autorisée. Tout échange est interdit, même les échanges de matériel (calculatrice, effaceur, stylo, feuille ). La durée du devoir est deux heures : Aucune sortie n est autorisée pendant le devoir, ni avant la fin. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l évaluation des copies. Vous glisserez l énoncé dans votre copie, après en avoir rempli l en-tête.

2 Exercice 1 Statistiques (5,5 points) Partie A : Lecture d histogramme. Le montant des dépenses (en euros) de chaque client lors d'une journée de soldes a été relevé. Le commerçant a construit un histogramme à partir du montant des dépenses. 1) A l aide de l histogramme, compléter le tableau des effectifs et des fréquences ci-dessous. 2) En utilisant les fréquences, calculer la moyenne des dépenses par client. (arrondir le résultat au centime près) x = 5 Dépenses en [10 ; 30[ Total Effectifs 120 Fréquences Partie B : Étude statistique. Après avoir postulé et été acceptée sur un poste de secrétaire de direction dans deux entreprises différentes, Élodie cherche maintenant à comparer les salaires proposés avant de faire son choix. Dans l'entreprise A, elle trouve le tableau suivant : Salaire mensuel en Total Effectifs Effectifs cumulés croissants 1) Remplir le tableau précedent. 2) Calculer le salaire moyen des employés (détaillez les calculs et arrondir au centime). 3) Calculer la médiane (détaillez les calculs). 4) Calculer les quartiles Q 1 et Q 3 (détaillez les calculs). 5) Le chef d'entreprise projette une augmentation de 50 pour les salariés touchant a) La moyenne a t elle variée? Pourquoi? b) La médiane a t elle variée? Pourquoi? 6) Dans l'entreprise B, composée d un effectif total de 100 salariés, on obtient le tableau suivant : moyenne 1 er quartile médiane 3 ème quartile a) Comment expliquer une telle différence du salaire moyen avec le salaire médian? b) Quelle entreprise conseillez-vous à Elodie? Justifiez votre réponse.

3 Exercice 2 Fonctions (7,5 points) Exercice 2 : On s intéresse à une partie de tennis et plus particulièrement à la trajectoire de la balle envoyée par le joueur 1 lors d un échange. 2 m 1m Le joueur 1 est situé à 2 m du filet lorsqu il tire et le filet a une hauteur de 1 m. L évolution de ce projectile est modélisée par une fonction f dans laquelle : f(x) est la hauteur (en m) de la balle x est la distance (en m) parcourue par la balle L origine du repère représente la position du joueur 1 au moment du tir. Ci-contre, la courbe représentative C f de la fonction f Partie A : Conjecture graphique. 1) Quel est l ensemble de définition de la fonction f? 2) Déterminer graphiquement l image de 1 par la fonction f. 3) Déterminer graphiquement les éventuels antécédents de 0,5 par la fonction f. (laisser apparent les traits de construction) 4) Résoudre graphiquement, l inéquation f(x) 1. (laisser apparent les traits de construction) 5) La fonction f admet-elle un maximum? Quelle est sa valeur? Pour quelle valeur est-il atteint? Partie B : Preuve par le calcul. L expression algébrique de la fonction f est : f(x)= 2 (x 1)² 1) Développer, réduire et ordonner l expression de f. 2) Factoriser l expression de f 3) On donne trois expressions de f (x): Forme 1 : f(x)= 2 (x 1)² Forme 2 : f(x)= x² + 2x +1 Forme 3 : Utiliser la bonne expression de la fonction f et déterminer sur son ensemble de définition : a) L image de 0 par f. b) L image de 1 par f. c) Les solutions de l équation f(x) = 0. d) Les solutions de l équation f(x) = 2. e) Question hors-barème : Les solutions de l équation f(x) = 1 Partie C : Dans le contexte du sujet. 1) La balle franchira t elle le filet? (justifier à l aide des résultats des parties précédentes)

4 Exercice 3 Géométrie (7 points) Dans le repère orthonormé (O ; I, J) ci-dessous, deux carrés (ABCD et AEFG) ont été construits. Les coordonnées des sommets de ces carrés sont toutes des nombres entiers. Les centres de ces carrés sont nommés O 1 et O 2. 1) Lecture graphique Lire graphiquement et donner les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G et H. 2) Etude des carrés a) Calculer, à l aide des coordonnées précédentes, la longueur du côté de chaque carré. b) Émile affirme : «le grand carré a une aire supérieure au double de celle du petit carré». A-t-il raison? (Justifier votre réponse) 3) Etude du quadrilatère AHDG On donne l algorithme ci-dessous dans lequel x et y sont les coordonnées d un point quelconque et x, y celles d un autre point quelconque du plan. a) Donner les valeurs U et V affichées en sortie de cet algorithme lorsqu on saisi les coordonnées des points A et D en entrée. b) Que calcule cet algorithme? Entrée : saisir x saisir y saisir x saisir y c) Donner à présent les nouvelles valeurs U et V affichées en sortie de l algorithme lorsqu on saisi les coordonnées des points G et H en entrée Traitement : U prend la valeur V prend la valeur d) Utiliser les résultats précédents et donner la nature du quadrilatère AHDG (Faire une démonstration). Sortie : Afficher U Afficher V

5 4) Etude du triangle OO 1O 2 Dans cette partie, on admet les résulats suivants : O 1 ( ) et OO 1 = et OO 2= a) Montrer par un calcul que les coordonnées du centre O 2 sont ( 2 ; 2). b) Quelle est la nature du triangle OO 1 O 2? (Faire une démonstration) 5) Cercle de centre A Le cercle de centre A passant par F coupe l axe des abscisses en deux points M et N, l abscisse de M étant positive. a) Sur la figure précédente, placez les points M et N (en laissant visibles les traits de construction). b) Question hors-barème : Déterminez par un calcul la valeur exacte de l abscisse de M. Fin