Interférences lumineuses

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1 1 Interférences lumineuses 1) Fentes d Young: F 1 et F 2 sont deux fentes d Young très fines, distantes de a, éclairées sous incidence normale de longueur d onde La lentille L de distance focale f est pratiquement confondue avec le plan contenant les fentes. S 1 éterminer l interfrange i sur le plan d observation ( Π ) distant de L de : 1) Pour = f 2) Pour = 2f. S 2 2) Mesure de l écart angulaire d une étoile double : Une lentille mince convergente précédée de deux trous d Young T 1 et T 2 distants de d, vise les deux composantes de même luminosité d une étoile double E 1 et E 2 dans les directions α et α + Δα. On observe la T 1 figure d interférences dans le plan focale image de la lentille convergente. 1) Monter qu en faisant varier d, on E 1 α peut mesurer Δαde façon précise. T 2 2) Si la valeur maximale de d est E 2 f 30 cm et la radiation utilisée d'une longueur d ondeλ = 500 nm, calculer en seconde d arc la valeur minimale de Δα mesurable. 3) Interférences avec deux miroirs parallèles : On considère le montage représenté ci-contre. M 1 et M 2 sont des miroirs plans distants de 2L. S et S sont des sources ponctuelles monochromatiques, distantes de 2a, de même longueur d onde et de même intensité. L opaque E supprime la lumière directe, les rayons lumineux issus des sources se réfléchissent forcément sur un des deux miroirs éterminer l intensité lumineuse I(x) sur l, ainsi que le contraste des franges. 4) Lever d une étoile : Un détecteur d ondes radio muni d un filtre sélectionnant la longueur d onde = 21 cm est placé près d un lac à H = 0,5 m au-dessus de la surface de l eau. Une étoile se lève lentement à l horizon. Le détecteur indique des maxima et des minima successifs d intensité lumineuse. À quel angle θ au-dessus de l horizon l étoile est-elle située lorsque le premier maximum est 2L 2a S S miroir1 miroir 2 x

2 2 détecté? La réflexion sur l eau d un rayon issu de l air entraîne un déphasage de π. 5) Biprisme de Fresnel : Une source ponctuelle S o est placée au foyer objet de la lentille convergente. Il s'agit d'une source supposée monochromatique (longueur d'onde dans le vide ). Le biprisme présente un angle α égal à 10 d'arc. Qu'observe-t-on sur l' E placé à une S o = F α n O distance de O. Commenter les résultats. f 6) emi-lentilles de Billet : On coupe en deux par un plan diamétral une lentille convergente de distance focale f = 0.5 m et de rayon d ouverture R = 2 cm. On écarte les deux demi-lentilles obtenues symétriquement de e = 1.2 mm perpendiculairement à l axe de révolution initial de la lentille unique. Sur cet axe, à une distance d = 1 m en avant d de la position initiale du centre optique de la lentille O 1 unique, on place une fente S source infiniment fine S émettant une lumière de O 2 longueur d onde λ = 550 nm. 1) éterminer les positions des images S 1 et S 2 de S à travers les demi-lentilles. 2) Expliquer l existence de franges d interférences sur un (E) perpendiculaire à l axe de révolution. 3) éterminer la distance minimale des demi-lentilles à l pour laquelle il y a interférences. 4) L est placé à = 2 m des demi-lentilles. Calculer l interfrange, la largeur du champ d interférences et le nombre de franges brillantes. 7) Une expérience de TP : 1) Un élève travaille sur un interféromètre de Michelson éclairer par une source étendue monochromatique de longueur d onde λ = 546 nm; en manipulant une des vis de l appareil il observe la succession d images ci-contre suivantes sur un : éterminer le réglage de l interféromètre ; comment l élève a-t-il pu obtenir ces figures? Quelle vis a-t-il manipulée et dans quel sens. Argumenter les réponses.

3 3 2) On se place dans la situation du deuxième : l a une largeur de 10 cm et se situe à 1 m d une lentille convergente. Quelle est l épaisseur e entre les deux miroirs? onner un encadrement. 3) On suppose que la valeur de e correspond à la plus grande valeur de l encadrement précédent. On diminue la valeur de e. Calculer la valeur e de e pour laquelle le premier anneau disparaît. En déduire le rayon r 1 du premier nouvel anneau et le comparer au rayon de l anneau qui a disparu. 8) Anneaux d égale inclinaison : Un interféromètre de Michelson est réglé en lame d air. Il est éclairé par une lampe au mercure devant laquelle on a placé un diaphragme largement ouvert et un filtre interférentiel isolant la raie verte de longueur d onde o = 546.1nm. 1) Où doit-on placer l pour observer des anneaux bien contrastés? 2) La distance entre les miroirs est e = 1.4 mm et la lentille de projection a une distance focale image f = 1m. éterminer l ordre d interférence p o au centre de la figure. Calculer les rayons r 1 et r 2 des deux premiers anneaux brillants. 3) Cherchant à atteindre le contact optique, on diminue la valeur de e jusqu à voir sur l une tache de diamètre égal à 10 cm dont l éclairement, maximal au centre, est uniforme à 10% près. Quelle est alors la limite supérieure pour la valeur de e? 9) Etude d une figure d interférences : On dispose d un Michelson réglé en coin d air. Ses miroirs sont circulaires de diamètre 20 mm. On l éclaire à l aide d une lampe à vapeur de sodium. On suppose qu il s agit d une onde monochromatique de longueur d onde = 589 nm. On projette l image sur un à l aide d une lentille. L est placé à 1,25 m des miroirs. 1) Parmi ces deux figures d interférences, laquelle obtient-on? On précise que sur l l image des miroirs fait 8 cm. 2) Quel type de lentille est utilisé? éterminer sa position et sa focale. 3) Calculer l angle α du coin d air. 4) On suppose la présence d une bosse sur l un des miroirs. Elle est de 8 mm de diamètre et d épaisseur maximale. étailler son influence sur la figure d interférences. 4 5) L expérimentateur prend son briquet et envoie du gaz devant l un des miroirs. Que serait-il pertinent de mesurer pour obtenir l indice du gaz? 10) Franges d égale épaisseur : Un interféromètre de Michelson est réglé pour observer les franges du coin d air. Il est éclairé par une source étendue à l infini. La figure d interférences est projetée sur un à l aide d une lentille de distance focale f = 20cm; la distance entre la lentille et l est

4 4 = 1,30m. La lumière est monochromatique de longueur d onde o = 546,1nm. Les miroirs ont un diamètre d = 2cm. On joue sur l orientation des miroirs pour élargir les franges, jusqu à voir un éclairement uniforme à 10% près avec un maximum d éclairement au milieu. Quel est alors l angle maximal entre les miroirs? Indications 1) Interférences et lames à faces parallèles : 1) La première question a été vu en cours ; 2) Il faut commencer par faire une figure d optique géométrique sans les fentes d Young et trouver l objet M dont un point M de l est l image ; quelle est sa position et sa distance à l axe optique? Puis faire une construction avec les fentes d Young. Les rayons qui convergent en M semblent être issus de M. En utilisant la condition de stigmatisme entre M et M en déduire la différence de marche. 2) Mesure de l écart angulaire d une étoile double : Les deux étoiles sont incohérentes ; il faut sommer les éclairements ; pour une certaine valeur de d on aura brouillage de la figure ce qui permet une mesure de l écart angulaire. 3) Interférences avec deux miroirs parallèles : Il faut tout de suite remarquer que les sources S et S sont incohérentes ; trouver les images S 1 et S 2 de S à travers les deux miroirs et reprendre le calcul des trous d Young pour S 1 et S 2 ; attention à la position de l axe optique ; faire de même pour S. 4) Lever d une étoile : Le détecteur reçoit de l étoile une onde arrivant directement d intensité I 1 et une onde arrivant après réflexion sur le lac d intensité I 2 inférieure à I 1 ; (le coefficient de réflexion de l eau est inférieur à 1. Ces ondes vont interférer. Pour déterminer la différence de marche en tre les deux rayons, il faut faire un dessin clair, un des rayon subissant une réflexion sur l eau et l autre pas. 5) Biprisme de Fresnel : Faire une figure pour mettre en évidences un champ d interférences ; il ne faut surtout pas chercher à calculer les chemins optiques en évaluant les distances ; il s agit d interférences d ondes planes et le point O est un point commun aux deux ondes planes qui sortent des prismes ; exprimer les vecteurs d ondes k 1 et k 2 des deux ondes planes et sommer les amplitudes complexes de ces deux OPPH : s(m) = s o expjk 1. OM + s o expjk 2. OM. 6) emi-lentilles de Billet : 1) Pour chaque demi lentille, l axe optique a été décalé de e/2 ; faire un dessin avec deux nouveaux axes optiques, passant par les centres optiques de chacune de demi-lentilles ; 2) Faire un dessin pour représenter le champ d interférence ; les rayons issus de S doivent passer par S 1 et S 2 ; 3) Il faut placer l dans le champ d interférences ; 4) Les dispositifs est équivalent à un dispositif de fentes d Young placées en S 1 et en S 2 ; le champ d interférences est limité par les rayons issus de S qui passent par les bords des demi-lentilles ; comme d = 2f ces rayons recoupent l axe optique en f ; pour compter le nombre de franges brillantes, travailler sur un demi, la frange centrale étant brillante. 7) Une expérience de TP : 2) La largeur de l donne le rayon du quatrième anneau brillant; 3) L ordre du premier anneau brillant de la première expérience devient l ordre au centre de la deuxième ; en déduire e, puis trouver l ordre du premier anneau brillant pour trouver son rayon

5 5 8) Anneaux d égale inclinaison : 2) il faut trouver l ordre p du premier anneau brillant, le deuxième anneau est à l ordre p 1 ; 3) on voit sur l une tache de diamètre d ; en déduire l angle maximal i max des rayons lumineux ; on veut que l éclairement pour i max soit 90% de l éclairement pour i = 0. 9) Etude d une figure d interférences : 2) Il faut calculer le grandissement, en déduire OA et OA puis appliquer la formule de conjugaison de escartes ; attention aux signes ; 3) exprimer la relation entre l interfrange et l angle entre les miroirs ; utiliser la figure pour calculer l interfrange ; 4) calculer la différence de marche au niveau de la bosse et comparer avec le cas sans bosse ; 5) cette fois l interfrange est modifiée. 10) Franges d égale épaisseur : Il faut que l éclairement en r = d/2 soit 90% de l éclairement central ; en déduire la valeur de la différence de marche correspondant à d/2, puis l angle entre les miroirs. Solutions 1) Interférences et lames à faces parallèles : 1) i = λf 2λf ; 2) i = a a 2) Mesure de l écart angulaire d une étoile double : ( 2d ( ) I1 x f ') I1 o 1 cos ; ( 2d ( ) I2 x f ') I2o 1 cos ; 2d 2d d I 2Io1 cos.cos ; le contraste est C cos ; le premier 2 brouillage aura lieu pour. 2d 3) Interférences avec deux miroirs parallèles : 8lx 8la Itotal( x) IS ( x) IS '( x) 4Io1 cos.cos 4) Lever d une étoile : I = I 1 + I 2 2 I 1 I 2 cos ( 4πhsinθ ), avec θ la direction de l étoile par rapport à l horizon ; λ premier maximum sinθ = λ soit θ = 6. 4h 5) Biprisme de Fresnel : k1 sin( n( 1)) ux cox( n( 1)) u y ; k2 sin( n( 1)) ux cox( n( 1)) u y ; i. 2 ( n 1) 6) emi-lentilles de Billet : 1) S 1 et S 2 se situent de part et d autre de l axe optique, à une hauteur ±e de cet axe et à une distance d = 2f en aval des demi lentilles ; 3) > d ; 4) i = λ( d) = 0,23 mm ; la largeur du champ d interférences est H = R f f brillantes. = 60 mm ; N = 2E ( H ) + 1 = 261 franges 2i e

6 6 7) Une expérience de TP : 1) l élève est en train d augmenter la distance e entre les miroirs ; 2) si l ordre au centre de l est 2e = p o + ε, pour le quatrième anneau brillant de rayon 5 cm = r 4, on a e = 3 ε soit 0,4368 µm < e < 0,6552 µm ; 3) Avant ordre au centre p r 2 /f 2 o = 2400, rayon du premier anneau brillant r 1 = 2,88 cm: Après diminution de e : l ordre au centre est maintenant de 2399 ; e = 0,654 μm ; rayon du premier anneau brillant r 1 = 4,08 cm 8) Anneaux d égale inclinaison : 1) dans le plan focal image d une lentille CV ; 2) l ordre du premier anneau brillant est 2e o p1 p E 1 d où r1 f ' 21 17mm ; l ordre du deuxième anneau brillant est o 2e o p2 p 1 1 d où r2 f ' 21 28mm ; 3) e = 11 µm. 2e 9) Etude d une figure d interférences : 1) coin d air = franges ; 2) γ = 4; f = (γ 1)2 γ γ = 20 cm ; OA = = 100 cm ; 3) on lit γ 1 9 interfranges sur l ; α =.γ 2i = 1, rd ; 4) la bosse va décaler les franges d une demi interfrange, ce sui décale les franges d ordre 0, ±1, en revanche la frange d ordre 2 n est plus concernée vues les dimensions de la bosse ; l interfrange n est pas modifiée ; 5) i = 2α(n 1). 10) Franges d égale épaisseur : α = arco(0,8) 2πd = 2, rd