1 Ensemble de matrices

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1 1 Ensemble de matrices Définition 1 : M n,p (R) désigne l ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients a 11 a 1p dans R, c est à dire de tableaux d éléments de R A = notés de manière condensée a n1 a np (a ij ) 1 i n 1 j p Remarques : 1 M 1,p est l ensemble des matrices lignes de p colonnes M n,1 est l ensemble des matrices colonnes de n lignes 2 Deux matrices sont égales si elles ont le même nombre de lignes, de colonnes et tous les coefficients pris deux à deux sur la même ligne et la même colonne sont égaux Définition 2 : 1 Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients extra-diagonaux sont nuls 2 Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont les coefficients strict sous la diagonale sont nuls 3 Une matrice triangulaire inférieure est une matrice dont les coefficients strict au dessus de la diagonale sont nuls 11 Somme de matrices, multiplication par un scalaire Définition 3 : Soient A, B deux matrices de M n,p (R) et α R On définit la somme A + B et la multiplication par un scalaire α A par : a 11 + b 11 a 1m + b 1m 1 A + B = a n1 + b n1 a nm + b nm α a 11 α a 1m 2 α A = α a n1 α a nm Proposition 1 : sont vérifiées : Soient A, B, C trois matrices de M np (R), et α, β R Les propriétés suivantes 1 (A + B) + C = A + (B + C) (associativité) 2 A + B = B + A (commutativité) Remarque : On ne peut pas calculer la somme de deux matrices n aant pas le même nombre de lignes ou le même nombre de colonnes Proposition 2 : sont vérifiées : 1 On a : (α + β)a = αa + βa 2 α(βa) = (αβ)a 3 α(a + B) = αa + αb Soient A, B, C trois matrices de M np (R), et α, β R Les propriétés suivantes Page 1/6 Februar 9, 2018

2 12 Produit de matrices Définition 4 : Soient n, p, q 3 entiers Soient A, B deux matrices de M n,p (R) et M p,q (R) respectivement On définit le produit C = AB par : 1 i n, 1 j q, c i,j = p a ik b kj Remarque : On ne peut pas faire le produit de matrices quand le nombre de colonnes de la première est différent du nombre de lignes de la deuxième ( ) ( ) Exemples : ( ) ( ) IMPOSSIBLE Proposition 3 : 1 Si X est une matrice colonne, AX est une combinaison linéaire des colonnes de A 2 La j-ème colonne de AB est le produit de A par la j-ème colonne de B 3 La i-ème ligne de AB est le produit de la i-ème ligne de A par B 4 (AB)C = A(BC) (associativité) 5 α(ab) = (αa)b = A(αB) 6 Il existe des matrices non nulles dont le produit est nul 7 Soient A et B deux matrices telles que AB et BA existent On a rarement AB = BA :Le produit n est pas commutatif en général ( ) ( ) Remarque : Exemple où BA = 0 et A 0 et B 0 Par exemple A = et B = Proposition 4 : Les matrices diagonales (resp triangulaires supérieures, resp triangulaires inférieures) sont stables par multiplication par un scalaire, somme, produit 13 Transposition Définition 5 : Soit A M n,p (K) B la transposée de A est la matrice de M p,n (K) dont les lignes sont les colonnes de A Notation : t A, A T Remarque : Si A = (a i,j ), t A = (a j,i ) Proposition 5 : 1 t (A + B) = t A + t B 2 t (AB) = t B t A Définition 6 : Soit A M n (K) 1 A est dite smétrique ssi A = t A 2 A est dite antismétrique ssi A = t A 1 Exemple : Montrer que la matrice A = ( i+j 1 ), est smétrique k=1 Page 2/6 Februar 9, 2018

3 14 Matrices et sstèmes linéaires Proposition 6 : AX = B : 15 Rang d une matrice Tout sstème linéaire à n lignes et p inconnues peut s écrire sous la forme a 11 a 1p x 1 b 1 = a n1 a np Définition : Le rang d une matrice est le rang du sstème linéaire homogène associé Pour déterminer le rang d une matrice, on fait donc un pivot de Gauss, en faisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice pour la mettre sous forme échelonnée Exemple : Soit A = On note L 1, L 2 et L 3 les lignes de la matrice Les opérations L 2 L 2 + 2L 1 et L 3 L 3 3L 1 donnent la matrice On note : A L On dit que ces deux matrices sont équivalentes Puis, en soustraant les deux dernières lignes : x p b n A L On s est donc ramené à une matrice triangulaire, qui comporte deux lignes non nulles On en déduit que A est de rang 2 On note rg(a) = 2 On a enfin le dernier résultat suivant (admis) : Propriété : Le rang d une matrice est égal au rang de sa transposée Pour calculer le rang d une matrice, on peut donc faire des opérations élémentaires sur les lignes de la transposée lorsque c est plus simple Or, les lignes de la transposée sont les colonnes de la matrice de départ Donc, en fait, pour calculer le rang d une matrice, on peut faire aussi bien des opérations élémentaires sur les lignes que sur les colonnes Remarques : Page 3/6 Februar 9, 2018

4 Soit A M n (K) Alors : A est inversible Le sstème (homogène) associé est de Cramer Le rang du sstème est n rg(a) = n Faire une opération sur les lignes de la matrice A revient en fait à multiplier A par une matrice P à gauche Par exemple, ajouter 3 fois la deuxième ligne à la première revient à remplacer A par PA où P = Ainsi, faire un pivot de Gauss ne revient à rien d autre que faire des multiplications successives sur la matrice du sstème 2 Matrices carrées 21 Définition Définition 7 : M n (R) désigne l ensemble des matrices carrées à n lignes, n colonnes I n désigne la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf les coefficients diagonaux qui valent 1 : I n = Proposition 7 : Soit A M n (R) On a AI n = I n A = A Définition 8 : pour k N Soit A M n (R) On définit les puissances de A par A 0 = I n et A k = A A } {{ } k fois Proposition 8 : Alors : Définition 9 : : Tr(A) (Formule du binôme) Soient A, B M n (R) deux matrices QUI COMMUTENT (A + B) n = n k=0 ( ) n A k B n k k La trace d une matrice carrée est la somme de ses éléments diagonaux Notation Proposition 9 : Soient A, B M n (K), alors : 1 Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) 2 Tr(AB) = Tr(BA) Mais en général Tr(AB) Tr(A)Tr(B) Page 4/6 Februar 9, 2018

5 22 Matrices carrées inversibles Définition 10 : Une matrice A M n (R) est dite inversible lorsqu il existe une matrice B M n (R) telle que AB = BA = I n Dans ce cas, B est appelée inverse de A et est notée A 1 L ensemble des matrices inversibles de taille n est noté GL n (R) Proposition 10 : Soit A, B M n (R) Si AB = I alors BA = I Proposition 11 : (AB) 1 = B 1 A 1 Le produit de matrices inversibles est inversible : si A, B GL n (K), alors Proposition 12 : Pour A M n (K), on a équivalence des propriétés suivantes (X désignant un vecteur colonne d éléments de K): 1 A est inversible 2 A I n L 3 Le sstème AX = 0 n admet que la solution nulle 4 Pour tout Y, le sstème AX = Y admet une unique solution 5 Pour tout Y, le sstème AX = Y admet au moins une solution 6 A est de rang n Proposition 13 : t (A 1 ) = ( t A) 1 Démonstration : AA 1 = I n On applique la transposée de chaque côté On peut calculer l inverse d une matrice par : 1 résolution d un sstème linéaire, 2 la méthode du pivot de Gauss-Jordan (prochain paragraphe) Exercice 1 : Calculer l inverse de A = On calcule l inverse de A en résolvant le sstème linéaire AX = Y 2x 1 x 2 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 2 x 2 + 2x 3 = 3 2x 1 x 2 = 1 3x 2 2x 3 = L 2 2L 2 + L 1 x 2 + 2x 3 = 3 2x 1 x 2 = 1 3x 2 2x 3 = x 3 = L 3 3L 3 + L 2 2x 1 x 2 = 1 3x 2 2x 3 = x 3 = L 3 3/4L 3 2x 1 x 2 = 1 x 2 = L 2 (L 2 + 2L 3 )/3 x 3 = L 3 Page 5/6 Februar 9, 2018

6 3 x 1 = L 1 (L 1 + L 2 )/2 x 2 = x 3 = /4 1/2 1/4 A 1 = 1/2 1 1/2 Par remontées successives, on obtient X = A 1 Y et on en déduit A 1 1/4 1/2 3/4 Page 6/6 Februar 9, 2018

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