Chapitre I Matrices. est une matrice de format (2,3). ... La matrice M ci-contre est notée M=(a ij ) où le. La matrice A est de taille (3,2).

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1 Chapitre I Matrices I. Notion de matrice Définitions : Soient n et p deux entiers naturels non nuls. Un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes s appelle une matrice de taille ou d ordre (n,p). Les nombres qui la compose sont appelés coefficients, éléments ou termes de la matrice. Exemple : La matrice A = Notation générale : M= est une matrice de format (2,3). a a j a p a i a ij a ip a n a nj a np La matrice M ci-contre est notée M=(a ij ) où le coefficient a ij est à l intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne. Exemple : A=,, La matrice A est de taille (3,2). Le coefficient a 12 = et le coefficient a 31 =12. En général, a ij a ji : ici par exemple a 12 = et a, Définitions : - Lorsque n = 1, on dit que M est une matrice ligne - Lorsque p = 1, on dit que M est une matrice colonne - Lorsque n = p, on dit que M est une matrice carrée d ordre n. - Si M est une matrice carrée et que tous ses termes sont nuls en dehors de la diagonale, on dit que M est une matrice diagonale : M= II. Opérations sur les matrices 1. Egalité de matrices Définition : Dire que deux matrices sont égales signifie que : - Elles sont de même ordre - Les coefficients qui occupent la même position sont deux à deux égaux. x Exemple : On considère les matrices A= y et B= yx On veut déterminer les réels x et y pour que les matrices A et B soient égales. A et B sont toutes les deux des matrices carrées d ordre 2.

2 x A=B équivaut à yx. Ce système est équivalent à x y y A et B sont égales si et seulement si x = 4 et y = Somme de matrices et multiplication par un réel Définitions : Soient A et B deux matrices de même ordre. On appelle somme des matrices A et B la matrice notée A+B, de même ordre que A et B, obtenue en ajoutant les coefficients situés en même position dans A et dans B. Exemple : On considère les matrices C et D telles que : C = et D = on a alors : C+D = Définition : Soit A une matrice réelle et soit un nombre réel. On appelle produit de la matrice A par le réel la matrice notée A, de même ordre que A, obtenue en multipliant chaque coefficient de A par le réel. Dans le cas où = 1, la matrice A est appelée matrice opposée de A. Exemple : On considère les matrices A = et B Alors 3A = et B = Règles de calculs : (admises) A, B et C désignent des matrices ayant le même ordre, k et k désignent deux réels. On a : A + B = B + A (A+B) + C = A + (B+C) k(a+b) = ka + kb k(k A) = (kk )A 3. Produit d une matrice par une matrice colonne x Considérons les matrices A = et V = y z La matrice produit AV est la matrice colonne suivante : AV = xyz xyz

3 Ainsi, le terme situé sur la première ligne de la matrice AV est obtenue à partir de la somme des produits des coefficients de la première ligne de A avec les coefficients de V ; et le terme situé à la deuxième ligne de AV est obtenue à partir de la somme des produits des coefficients de la deuxième ligne de A par les coefficients de V. Exemple : = = = = Remarque : Pour que le produit AV soit possible, il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de V. Propriétés (admises) : Soient A une matrice et V et V deux matrices colonnes (tels que les opérations ci-dessous existent) AV + V ) = AV + AV A(kV) = k(av) où k 4. Produit de matrices Définition : le produit d une matrice A d ordre (m ;p) par une matrice B d ordre (p ;n) est une matrice C d ordre (m ;n). L élément de C placé en ligne k et en colonne j est le produit de la ligne k de la matrice A avec la colonne j de la matrice B, suivant le principe de multiplication vu en 3). Exemple : B A A B Chaque terme de AB est obtenu à partir des termes de A situés sur la même ligne et des termes de B situés sur la même colonne. Ainsi : Et

4 Attention! : - Le produit AB n est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. - Il peut arriver que le produit AB soit réalisable alors que le produit BA ne le soit pas (problème de dimensions). - Le produit des matrices n est pas commutatif : en général AB BA Exemple : Soient les matrices A = et B = Les matrices produits AB et BA sont de dimension (2 ;2) et : AB = alors que BA = Définition : On appelle matrice identité d ordre n la matrice carrée d ordre n dont les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et tous les autres égaux à 0. On la note I n. Exemple : la matrice identité d ordre 2 est : I 2 = Remarques : - La matrice identité joue, pour le produit des matrices, un rôle similaire au nombre 1 pour le produit des nombres réels. - En supposant que les dimensions permettent le produit, on a : A I n = I n A = A. Propriété (admises) : Soient A, B, C trois matrices réelles ; si les opérations indiquées existent, on a alors les égalités suivantes : 1. AB C AB AC 2. A BC AC BC 3. A(BC) (AB)C Notation : Soit A une matrice carrée d ordre n. Soit p un entier naturel non nul. On note A p la matrice définie par : A p =AAA A p fois Attention! Le calcul A², par exemple, ne consiste pas à élever les éléments de A au carré! III. Matrices inversibles 1. Définition et propriété Définition : Soit A une matrice carrée d ordre n. On dit que la matrice A est inversible s il existe une matrice B d ordre n telle que : AB = I n

5 Remarque : sous les hypothèses précédentes, on admet que : AB = I n BA =I n Propriété : Soit A une matrice carrée d ordre n. S il existe une matrice carrée B d ordre n telle que AB = I n alors B est unique. B est appelée l inverse de la matrice A et se note A -1. Démonstration : Supposons qu il existe B et C deux matrices carrées d ordre n telle que AB=AC=I n On a : B = BI n = B (AC) =(BA)C = I n C = C. Exemple : Soient les matrices E = et F = On souhaite montrer que E est inversible d inverse F. On calcule le produit de EF qui est une matrice de dimension 22 : CQFD On a donc bien EF=I 2 donc la matrice E est inversible d inverse F. On note E -1 =F 2. Résolution de systèmes (S) est le système de deux équations à deux inconnues xy xy Avec A =, X = x y et B =, le système (S) s écrit A X = B Propriété : A est une matrice carrée qui admet une matrice inverse A -1. Le système d équations linéaires dont l écriture matricielle est A X = B admet une unique solution ; elle s obtient en calculant X= A -1 B Démonstration : AX=B A -1 (AX)=A -1 B A -1 A)X=A -1 B I n X=A -1 B X=A -1 B CQFD En reprenant les données de l exemple ci-dessus, on trouve X = A -1 B = = Ainsi, la solution est x y