Chapitre n o 12. Matrices

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1 Lycée Roland Garros Mathématiques BCPST 1ère année Chapitre n o 12 Matrices Dans ce chapitre K désignera R ou C Un élément de K est appelé un scalaire 1 Dénitions Dénition 1 Soient n, p N Une matrice A de taille n p à coecients dans K est un tableau d'éléments de K à n lignes et p colonnes On note A = (A i,j ) 1 i n, ou plus simplement A = (A i,j ) s'il n'y a pas d'ambiguïté sur les dimensions A i,j est le coecient de la ligne i, colonne 1 j n j Il existe aussi une façon développée d'écrire cette matrice : A 1,1 A 1,2 A 1,p A 2,1 A 2,2 A 2,n A = A n,1 A n,2 A n,p L'ensemble des matrices de taille n p à coecients dans K est noté M n,p (K) Cas particuliers : si n = 1, A est une matrice ligne M 1,p (K) s'identie à K p si p = 1, A est une matrice colonne M n,1 (K) s'identie à K n si n = p, A est une matrice carrée L'ensemble des matrices carrées de taille n est noté simplement M n (K) Exemple Pouvez-vous donner l'écriture développée de la matrice A = (i j) 1 i 3? 1 j 3 Dénition 2 Soit A = (A i,j ) 1 i n une matrice 1 j n La i-ème ligne de A est la matrice ligne L i = [A i,1, A i,2,, A i,p M 1,p (K) La i-ème colonne de A est la matrice colonne A 1,j A 2,j C j = M n,1(k) A n,j 1

2 Remarque Deux matrices sont égales si elles ont mêmes dimensions et que tous leurs coecients sont égaux 2 Quelques matrices particulières La matrice nulle 0 n,p = M n,p(k) La matrice identité (ou unité) I n = M n(k) Remarque ces deux matrices seront souvent notées I et 0 s'il n'y a pas d'ambiguïté sur leurs dimensions Les matrices diagonales Diag(λ 1, λ 2,, λ n ) = λ λ λ n M n(k) Les matrices triangulaires T 1,1 T 1,2 T 1,n 0 T 2,1 T 2,n supérieures : T = T n,n T 1, T 2,1 T 2,1 0 0 inférieures : T = 0 T n,1 T n,2 0 T n,n M n (K) M n (K) 2

3 3 Opérations sur les matrices 31 Somme de deux matrices Dénition 3 Soient A, B M n,p (K) On dénit A + B M n,p (K) par A + B = (A i,j + B i,j ) 1 i n 1 j n En clair, on fait la somme de deux matrices en additionnant un-à-un les coef- cients Par exemple, [ [ [ = Les propriétés suivantes sont donc de simples conséquences des propriétés bien connues des nombres réels ou complexes Proposition 1 Pour toutes matrices, on a 1 A + (B + C) = (A + B) + C : on notera donc désormais A + B + C puisque l'ordre des deux additions n'a pas d'importance 2 A + B = B + A 3 A + 0 = A 32 Multiplication d'une matrice par un scalaire Dénition 4 Soient A M n,p (K) et λ K On dénit λ A M n,p (K) par λa = (λa i,j ) 1 i n 1 j n En clair, on multiplie une matrice par un scalaire en multipliant chacun de ses coecients par ce scalaire Par exemple, [ [ = Les propriétés suivantes sont donc de simples conséquences des propriétés bien connues des nombres réels ou complexes Proposition 2 Pour toutes matrices et tous scalaires, on a 1 λ (µ A) = (λµ) A 2 1 A = A 3 (λ + µ) A = λ A + µ A 4 λ(a + B) = λ A + λ B Remarque On peut se passer du point λ A est souvent noté λa, s'il n'y a pas de risque de confusion avec le produit matriciel que nous allons dénir plus bas 3

4 33 Produit de deux matrices Dénition 5 Soient A M n,p (K) et B M p,q (K) On dénit A B M n,q (K) par (A B) i,j = p k=1 A i,kb k,j, pour 1 i n, 1 j q Remarque Il faut donc que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B Sinon, le produit A B n'est pas déni! A retenir la règle suivante sur les dimensions : (n p) multiplié par (p q) donne (n q) Lorsque A, B M n (K) (matrices carrées de même dimension), le produit est bien déni et le produit A B est encore un élément de M n (K) Remarque On peut se passer du signe A B est souvent noté simplement AB, s'il n'y a pas de risque de confusion avec le produit d'une matrice par un scalaire Exemple Calculer le produit matriciel Proposition 3 Lorsque les opérations suivantes sont bien dénies, 1 A (B C) = (A B) C, 2 (A + B) C = A C + B C A (B + C) = A B + A C, 3 A (λ C) = (λ A) C = λ (A C), 4 Si A M n,p (K), I n A = A I p = A Démonstration On calcule le coecient i, j de chacune de ces matrices et on constate les égalités 1 Soit A M n,p (K), B M p,q (K), et C M q,r (K) On a p (A (B C)) ij = A ik (BC) kj = k=1 p B kl C lj ) ( q A ik k=1 l=1 ) q = A ik B kl ( p C lj l=1 k=1 q = (AB) il C lj l=1 4

5 donc au nal (A (B C)) ij = ((A B) C) ij 2 Découle des dénitions et de la linéarité de la somme 3 Idem : c'est une simple conséquence des dénitions (le λ sort de la somme) 4 Il sut de poser le produit matriciel pour le constater! Proposition 4 (Produit de matrices diagonales) Un produit de matrices diagonales est une matrice diagonale Plus précisément Diag(λ 1, λ 2,, λ n ) Diag(µ 1, µ 2,, µ n ) = Diag(λ 1 µ 1, λ 2 µ 2,, λ n µ n ) Démonstration Il sut de poser le produit matriciel pour le constater! Proposition 5 (Produit de matrices triangulaires) Un produit de matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure Plus précisément, si on note alors d 1 0 d 2 T = d n d 1 0 d 2 et T = d n d 1 d 1 0 d 2 d 2 T T = d n d n La même chose est vraie pour les matrices triangulaires inférieures Démonstration On a T ij = 0 et T ij = 0 pour i > j Ainsi si i > j, (T T ) i,j = n T ik T kj = 0 k=1 puisque pour toutes les valeurs de k on a i > k ou k > j Si i = j la somme ne contient qu'un terme non nul, le terme pour k = i qui est d i d i 5

6 34 Quelques diérences notables entre la multiplication des nombres et la multiplication des matrices En général A B B A Exemple : Calculer A B et B A pour A = [ et B = [ En d'autres termes, l'opération n'est pas commutative Par conséquent lorsqu'on multiplie une expression par une matrice, on précisera toujours si l'on multiplie à gauche ou à droite Remarque Lorsque A B = B A, on dit que A et B commutent Les identités remarquables ne sont plus valables en général! C'est une conséquence de la non-commutativité : (A + B) 2 = A 2 + B 2 + AB }{{ + BA } 2AB à moins que A et B commutent Pour la même raison la formule du binôme de Newton n'est pas valable en général, sauf pour deux matrices qui commutent (voir plus bas) A B = 0 n'implique PAS que A = 0 ou B = 0 Exemple Calculer [ , ou [ [ Même si A 0, on ne peut PAS simplier par A en général : A B = A C n'implique PAS que B = C 35 Puissances d'une matrice Dénition 6 Soit A M n (K) Pour p N, on note A p = A A A la puissance p-ème de A Par convention, si A 0 n, A 0 = I n et (0 n ) 0 = 0 n Proposition 6 Soient p, q N On a 1 A p A q = A p+q 2 (A p ) q = A pq 6

7 3 Si A et B commutent, (AB) p = A p B p Théorème 1 (Formule du binôme de Newton) Soient A, B M n (K) deux matrices qui commutent On a pour p N, 4 Transposition (A + B) p = p k=0 ( ) p A k B n k k Dénition 7 Soit A M n,p (K) La transposée de A, notée t A, est la matrice de M p,n (K) dénie par pour 1 i n et 1 j p ( t A) i,j = A j,i, En clair, quand on transpose une matrice les lignes deviennent les colonnes et vice-versa Remarque Attention, certains notent plutôt A T la transposée de A La coexistence de ces deux notations peut porter à confusion par exemple quand on lit un produit A T B : la transposée porte-t-elle sur A ou sur B? [ Exemple Ecrire la transposée de la matrice A = Proposition 7 Lorsque les opérations suivantes sont dénies, 1 t ( t A) = A, 2 t (A + B) = t A + t B, 3 t (A B) = t B t A Démonstration 1 et 2 sont évidentes et pour 3 on a ( t (A B)) ij = (A B) ji = n A jk B ki = ( t B t A) ij k=1 Dénition 8 Soit A M n (R) On dit que A est symétrique si t A = A, c'est-à-dire si pour 1 i, j n, A j,i = A i,j, A est antisymétrique si t A = A, c'est-à-dire si pour 1 i, j n, A j,i = A i,j 7

8 Exemple est symétrique, est antisymétrique Remarque Si A est antisymétrique, alors en prenant j = i, on a A i,i = A i,i et par conséquent A i,i = 0 Les coecients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls 5 Ecriture matricielle d'un système linéaire Soit le système linéaire a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 (L 1 ) a (S) 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 (L 2 ) a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n (L n ) On note a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,p A = a n,1 a n,2 a n,p M n,p(k), X = x 1 x 2 x p Kp, et B = b 1 b 2 b n Kn Proposition 8 (x 1,, x p ) est solution de (S) si et seulement si AX = B C'est la formulation matricielle du système (S) La méthode de résolution du pivot vue au chapitre 12 s'applique à cette formulation Une possibilité est de travailler avec la matrice augmentée, c'est-àdire de rajouter, à la matrice des coecients, une colonne contenant les seconds membres des équations Comme d'habitude, on opère sur les lignes de manière à réduire la matrice (la rendre échelonnée) L'intérêt de travailler avec les matrices est qu'on gagne en lisibilité, et aussi en temps puisqu'on n'a plus à écrire les variables à chaque étape : on écrit seulement les coecients Exemple Résoudre le système x y + 2z = 5 (S) : 3x + 2y + z = 10 2x 3y 2z = 10, 8

9 Écrivons les opérations sur les lignes peuvent s'écrire matriciellement : (S) ( ) Fin 1 On en conclut que (S) est équivalent au système suivant : x y + 2z = 5 y z = 1 z = 3, qui admet manifestement une unique solution x = 1, y = 2, z = 3 Fin 2 Une fois la matrice échelonnée ( ), une méthode alternative consiste à terminer le travail par d'autres opérations sur les lignes : La dernière matrice dit que x = 1, y = 2, z = 3 Dénition 9 Le rang d'une matrice A, noté rga, est le nombre de lignes non nulles après réduction C'est donc le rang du système linéaire associé Exemple Calculer le rang de la matrice M = Théorème 2 (Admis) Le rang d'une matrice est égal à celui de sa transposée : rg( t A) = rga 9

10 6 Inversion de matrices Motivation Pour un nombre a 0, on sait qu'il existe un unique nombre b tel que ab = ba = 1 Ce nombre b est d'ailleurs noté 1 et appelé l'inverse de a a Peut-on généraliser ceci aux matrices? Pour une matrice carrée A M n (K) non nulle, peut-on trouver une matrice B telle que A B = B A = I n? Et bien non, pas toujours en tout cas : il sut de considérer par exemple [ 1 0 A = 0 0 Multipliez cette matrice par n'importe quelle autre matrice B, il est clair que vous n'obtiendrez jamais I 2 Dénition 10 Une matrice A M n (K) est dite inversible s'il existe B M n (K) telle que A B = B A = I n La matrice B est alors unique, elle est appelée l'inverse de A et notée B = A 1 (et surtout pas 1 A!) Démonstration Il faut montrer que B est bien unique : supposons que deux matrices B 1 et B 2 vérient B 1 A = AB 1 = I n et B 2 A = AB 2 = I n, alors B 1 = B 1 AB }{{} 2 = B 1 A B }{{} 2 = B 2 =I n I n Le théorème suivant simplie grandement le problème de la recherche de l'inverse d'une matrice Théorème 3 (ADMIS) Soient A, B M n (K) On a l'équivalence A B = I n B A = I n [ 2 i Exemple Soit A = M i 1 2 (C) Vérier que A est inversible et que [ 1 i B = est son inverse i 2 Remarque Lorsqu'une matrice A est inversible, on PEUT simplier par A En eet de l'égalité A B = A C on déduit facilement l'égalité B = C en multipliant à gauche par A 1 Proposition 9 1 Si A est inversible alors A 1 aussi et (A 1 ) 1 = A 10

11 2 Si A et B sont inversibles alors A B aussi et (A B) 1 = B 1 A 1 3 Si A M n (K) est inversible alors t A l'est aussi et ( t A) 1 = t (A 1 ) Démonstration 1 A A 1 = A A 1 = I 2 (A B) (B 1 A 1 ) = I 3 t (A 1 ) t A = t (A A 1 ) = t I = I 7 Calcul pratique de A 1 71 Par résolution du système linéaire associé à A Rappel : il y a équivalence entre le système a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 (L 1 ) a (S) 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 (L 2 ) a n,1 x 1 + a n,2 x a n,n x n = b n (L n ) et l'équation AX = B, avec a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a n,1 a n,2 a n,n M n(k), X = x 1 x 2 x n Kn, et B = b 1 b 2 b n Kn Théorème 4 Une matrice A M n (K) est inversible si et seulement si pour tous b 1,, b n, le système (S) est de Cramer (une unique solution) Démonstration L'équation AX = B possède une unique solution X = A 1 B Soit M la matrice dont là j-ème colonne est l'unique solution de AX = e j (e j étant la matrice colonne avec un 1 en position j et 0 ailleurs) On vérie que AM = I 11

12 Proposition 10 Soit A M n (K) Alors A est inversible si et seulement si rg(a) = n Démonstration le rang de (S) est celui de A, qui vaut n si et seulement si (S) est de Cramer Proposition 11 Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coecients diagonaux sont non nuls Démonstration Un tel système est de Cramer si en remontant les équations on obtient une seule solution pour chaque variable x i C'est le cas si et seulement si les coecients diagonaux sont tous non nuls Dans le cas où la matrice est inversible, il est fondamental de remarquer que AX = B X = A 1 B Conséquence : calculer A 1 revient à exprimer X en fonction de B, autrement dit à résoudre le système linéaire (S) En eet, une fois résolu le système, si (S) est de Cramer on aura obtenu une unique solution de la forme : x 1 = α 1,1 b 1 + α 1,2 b α 1,n b n, x 2 = α 2,1 b 1 + α 2,2 b α 2,n b n, x n = α n,1 b 1 + α n,2 b α n,n b n, et on pourra alors en conclure que α 1,1 α 1,n A 1 = α n,1 α n,n Une fois ce travail fait il est toujours bon de faire une vérication : calculer le produit A A 1 (ou bien A 1 A) pour vérier que le résultat est bien I n Faire l'exemple de calcul d'inverse donné en page 15 Remarque Si le système (S) n'admet pas une unique solution c'est que A n'est pas inversible! 72 Par la méthode du miroir La méthode que l'on décrit ici consiste à faire les mêmes opérations qu'avec la méthode ci-dessus, mais en travaillant matriciellement, c'est-à-dire en écrivant uniquement les coecients, pas les variables 12

13 La première méthode consistait à passer de l'égalité AX = I n B à l'égalité X = A 1 B par opérations élémentaires sur les lignes Cela revient donc à appliquer ces opérations sur A jusqu'à la transformer en I n, et appliquer en parallèle les MÊMES opérations à I n : la matrice ainsi obtenue est alors A 1 Faire l'exemple de calcul d'inverse donné en page 16 8 Inversion des matrices de taille 2 2 [ a b Dénition 11 Le déterminant de la matrice A = M c d n (K) est déni par det A = ad bc Théorème 5 A est inversible si et seulement si det A = 0 Dans ce cas on a A 1 = 1 [ d b det A c a Démonstration Si a = 0, A est inversible si et seulement si b = [ 0 ou c = 0, or a b det A = bc Si a 0, par opérations élémentaires rga = rg 0 ad bc qui vaut 2 si et seulement si ad bc 0 On applique la méthode du miroir pour déterminer A 1 (le cas a = 0 est à traiter à part mais nous ne le détaillons pas ici) Opérations sur A [ a b A = c d Les mêmes opérations sur Id n [ = I n [ a b 0 ad bc [ 1 0 c a [ a b 0 1 [ 1 0 c det A a det A [ a [ ad det A c det A ab det A a det A [ 1 0 Id n = det A [ d b c a = A 1 13

14 Conséquence du dernier théorème : si ad bc 0, l'unique solution du système { ax + by = s, (S) cx + dy = t est donnée par { x = 1 (ds bt), ad bc y = 1 ( cs + at) ad bc 14

15 Calculer l'inverse d'une matrice : méthode 1 résoudre le système linéaire associé On cherche à inverser la matrice A = En notant a x B = b et X = y, c z on a 2x + 7y +3z = a AX = B 3x + 9y +4z = b x + 5y +3z = c = = = = = = = = = x = y = z = x a y = b z } {{ } c A 1 15

16 Calculer l'inverse d'une matrice : méthode 2 méthode du miroir On cherche à inverser la matrice A = Opérations sur A A = Id n = Les mêmes opérations sur Id n = Id n = A 1 A moins de manquer de temps, vériez toujours que la matrice trouvée est bien A 1 : A A 1 = =