Matrices. Chapitre 7. Sommaire

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1 Chapitre 7 Matrices Sommaire 7.1 Notion de matrice et vocabulaire Définitions Quelques cas particuliers Opérations de base sur les matrices Addition de matrices et multiplication d un réel par une matrice Transposition Définition Matrices symétriques et antisymétriques Produit matriciel Définition Propriétés Matrices carrées Puissances de matrices carrées Matrices carrées qui commutent Inverse d une matrice carrée Définition Propriétés des matrices carrées inversibles Cas particuliers de calcul de l inverse d une matrice carrée L objectif de cette partie du programme est d initier au calcul matriciel. Le calcul matriciel nous permettra, par la suite, de résoudre des problèmes mathématiques, notamment issus de la théorie des probabilités. 108

2 7.1. NOTION DE MATRICE ET VOCABULAIRE Dans tout le chapitre, n, p, q désignent des entiers naturels non nuls. On appellera scalaire tout nombre appartenant à R. 7.1 Notion de matrice et vocabulaire Définitions Définition 7.1 (Vocabulaire et notation) Une matrice A à n lignes et p colonnes est un tableau défini par n p éléments de R notés a ij pour 1 i n et 1 j p On note A = (a ij ) 1 i n. 1 j p Le nombre a ij est le coefficient d indice (i, j) de la matrice A. La matrice A est dite de taille (n, p). L ensemble des matrices de taille (n, p) à coefficients dans R est noté M n,p (R). Définition 7.2 (Représentation) On présente généralement les matrices de cette manière : j-ème colonne a 11 a a 1j... a 1p a 21 a a 2j... a 2p.... i-ème ligne a i1 a i2... a ij... a ip.... a n1 a n2... a nj... a np Définition 7.3 (Vecteur ligne et colonne) Soit A = (a ij ) 1 i n M n,p (R). Pour (i, j) tel que 1 i n et 1 j p, on appelle : 1 j p a 2j jème vecteur colonne de A le vecteur C j = R p... ième vecteur ligne de A le vecteur L i = (a i1, a i2,..., a in ) R n. a 1j a pj Exemple e 3 ln est une matrice 2 3 à coefficients réels

3 CHAPITRE 7. MATRICES 2. (1, 2, 3) est une matrice 1 3. C est une matrice ligne (ou vecteur ligne) est une matrice 3 1. C est une matrice colonne (ou vecteur colonne). 1 Exercice À quels ensembles appartiennent les matrices suivantes? (a) A = e (b) B = π 2 0, (c) Id 3 = (d) C = (e) D = 2 4 (f) E = (g) 0 2,3 = ( ) (h) F = 3 2. Écrire sous forme de tableau la matrice M = (i j) 1 i 3. 1 j Quelques cas particuliers Définition 7.4 On adopte le vocabulaire suivant : 1. M n (R) = M nn (R) est l ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans R. 2. M 1p (R) est l ensemble des matrices lignes de taille p à coefficients dans R. 3. M n1 (R) est l ensemble des matrices colonnes de taille n à coefficients dans R. 4. A = (a ij ) M n (R) est une matrice triangulaire supérieure si a ij = 0 dès que i > j. 5. A = (a ij ) M n (R) est une matrice triangulaire inférieure si a ij = 0 dès que i < j. 6. A = (a ij ) M n (R) est une matrice diagonale si si a ij = 0 dès que i j np M np (R) est la matrice nulle, dont tous les coefficients valent 0. On note 0 n la matrice carrée nulle de taille n. 8. Id n M n (R), ou plus simplement I n est la matrice identité : de taille n, dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux diagonaux qui valent 1. Exercice 7.2. Pour n = 3, donner des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures), diagonales et symétriques. 110 Cour ECE1

4 7.2. OPÉRATIONS DE BASE SUR LES MATRICES 7.2 Opérations de base sur les matrices Addition de matrices et multiplication d un réel par une matrice Définition 7.5 Soient A = (a ij ) et B = (b ij ) deux matrices de M np (R). On dit que A et B sont égales (et on note A = B) si : (i, j) 1, n 1, p, a ij = b ij. Définition 7.6 (Addition et multiplication par un scalaire) Soient A = (a ij ) 1 i n M np (R) et B = (b ij ) 1 i n M np (R) et λ R. 1 j p 1 j p Par définition, on a A + B = (a i,j + b i,j ) 1 i n 1 j p λa = (λa i,j ) 1 i n. 1 j p Remarque 7.59 Cela signifie, que par définition, pour sommer deux matrices, on somme leurs coefficients et pour multiplier une matrice par scalaire, on multiplie les coefficients par ce scalaire. Il est possible d additionner deux matrices uniquement lorsqu elles ont les mêmes dimensions! Remarque 7.60 Cette addition est clairement associative et commutative. Son élément neutre est la matrice nulle de M np (R). Toute matrice A = (a ij ) 1 i n admet une opposée qui est A = ( a ij ) 1 i n. 1 j p 1 j p Exemple e 3 ln = ln ln = 1 e 4 0 π 6 ln π

5 CHAPITRE 7. MATRICES 3. L addition et la multiplication externe des matrices permet ainsi d envisager des combinaisons linéaires de matrices. 1 e 3 Par exemple, si A =, on a 2 5 π A = e π Exercice 7.3. A partir des matrices de l exercice 7.1, calculer E + D, 3B et A 3I Trouver deux réels a et b tels que = aa + bi Exercice 7.4. A partir des matrices de l exercice 7.1, calculer 2D + 3E. Trouver deux réels a et b tels que = ae + bd Propriétes 7.17 (Propriétés de la somme et de la multiplication par un scalaire) Soient (α, β) R 2 et soit (A, B, C) M np (R) 3. On a : 1. A + B = B + A (commutativité de la somme) 2. (A + B) + C = A + (B + C) (associativité de la somme) 3. α(βa) = (αβ)a (associativité), 4. (α + β)a = αa + βa (distributivité), 5. α(a + B) = αa + αb (distributivité). 112 Cour ECE1

6 7.3. TRANSPOSITION 7.3 Transposition Définition Définition 7.7 (Transposée d une matrice) Soit A M n,p (R). On appelle transposée de A et on note t A, la matrice B dont les coefficients vérifient : (i, j) 1, n 1, p, b i,j = a j,i. a 1,1 a 1,2 a 1,p a 1,1 a 2,1 a n,1 a 2,1 a 2,2 a 2,p a 1,2 a 2,2 a n,2 Autrement dit, si A =.., alors t A = a n,1 a n,2 a n,p a 1,p a 2,p a n,p Remarque 7.61 En fait, transposer une matrice, c est seulement échanger ses lignes et ses colonnes. Remarque On notera bien que si A est une matrice n m, sa transposée est une matrice m n. 2. La transposée d une matrice ligne est une matrice colonne et vice-versa. 3. La transposée de 0 n est 0 n et celle de I n est I n. Plus généralement, toute matrice diagonale est égale à sa transposée. 4. Pour une matrice carrée, la transposition est équivalente à une symétrie par rapport à la diagonale. Exercice 7.5. Calculer la transposée de T = Puis calculer t ( t T ). Exercice 7.6. Calculer la transposée de chacune des matrices de l exo 7.1. Proposition A M n,p (R), t ( t A) = A. 2. λ R, A, B M n,p (R), t (λa + B) = λ t A + t B

7 CHAPITRE 7. MATRICES Exercice 7.7. Calculer t (λe + D), où E et D sont les matrices de l exo 7.1. Exercice 7.8. On considère les matrices A = Calculer AB, t A, t B et t B t A. Vérifier que t (AB) = t B t A, B = Exercice Vérifier que t (EB) = t B t E, où E et B sont les matrices B et E de l exercice Matrices symétriques et antisymétriques A partir de cette opération, on peut définir un ensemble de matrices particulières. Définition 7.8 (Matrices symétriques ou antisymétriques) Une matrice A M n (R) est dite : symétrique si t A = A. antisymétrique si t A = A. On note S n (R) l ensemble des matrices symétriques et A n (R) l ensemble des matrices antisymétriques. Remarque 7.63 A = (a ij ) M n (R) est une matrice symétrique si (i, j) 1, n 2, a ji = a ij. Les coefficients diagonaux d une matrice antisymétriques sont forcément nuls. Pourquoi? Exemple I n est symétrique n est symétrique et antisymétrique est symétrique e est antisymétrique. e Cour ECE1

8 7.4. PRODUIT MATRICIEL Remarque 7.64 On retiendra que : une matrice carrée est symétrique lorsque les coefficients au dessus de la diagonale sont les symétriques des coefficients en dessous de la diagonale ; une matrice carrée est antisymétrique lorsque les coefficients de la diagonale sont nuls et les coefficients au dessus de la diagonale sont les opposés des coefficients en dessous de la diagonale. Propriétes I n S n (R). 2. Si A, B S n (R)(respAS n (R)), A + B S n (R)(respAS n (R)). 7.4 Produit matriciel Si la somme est une opération facile et intuitive dans l ensemble des matrices, c est un peu différent pour le produit Définition Définition 7.9 (Produit matriciel) Soient A = (a ij ) 1 i n M np (R) et B = (b kj ) 1 k p M pq (R), alors 1 j p 1 j q ( p ) AB = a ik b kj M nq (R). k=1 1 i n 1 j q Le coefficient (i, j) du produit AB est le «produit» de la i-ème ligne de A avec la j-ème colonne de B. Remarque 7.65 On insiste sur le fait qu on multiplie une matrice de M n,p par une matrice de M p,q pour obtenir une matrice de M n,q. Le produit AB de A par B a donc le nombre de ligne de A et le nombre de colonne de B. La multiplication agit donc sur les formats comme la relation de Chasles :. (n, p) (p, q) = (n, q)

9 CHAPITRE 7. MATRICES Exemple 7.4. On peut disposer les calculs ainsi : = B A = = AB Par exemple, pour obtenir le coefficient à la 2ème ligne et 2ème colonne, on fait le calcul : = 5 Exercice À partir de l exo 7.1, calculer : 1. ED 2. D ( 1 2 E) 3. AId ,3 A. Exercice À partir de l exo 7.1, calculer : (a) AC (b) EB (c) Que dire de BE? ( 2. Calculer les produits LC et CL, où L = ) et C = Remarque 7.66 On insistera à nouveau sur le fait que l on ne peut calculer le produit AB que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Cette définition n a un sens que si A est de type (n, p) et B de type (p, q). Ainsi, le produit AB peut être défini, sans que BA ne le soit! 116 Cour ECE1

10 7.4. PRODUIT MATRICIEL Propriétés Propriétes 7.19 ( Propriétés du produit) Le produit matriciel 1. est associatif : A M np (R), B M pq (R), C M qr (R), (AB)C = A(BC). 2. est distributif à gauche par rapport à + : A M np (R), B, C M pq (R), A(B + C) = AB + AC. 3. est distributif à droite par rapport à + : A, B M np (R), C M pq (R), (A + B)C = AC + BC. 4. commute avec le produit externe : λ R, (A, B) M np (R) M pq (R), (λa)b = λ(ab) = A(λB). 5. vérifie A M np (R),. AI p = A et I n A = A. 6. passe à la transposition de la manière suivante : A M n,p (R), B M p,q (R), t (AB) = t B t A. Attention à l ordre! Démonstration. Se vérifie à partir des définitions. Attention le produit matriciel n est pas commutatif AB BA. Même lorsque les produits AB et BA existent tous les deux, ils ne sont pas nécessairement égaux (ils n ont d ailleurs à priori pas le même format). Exemple Si A = 2 ) (1 et B = 2, alors AB = 2 4 ) (4 et BA = Si A = et B = , alors AB =, mais le produit BA n existe pas! 117

11 CHAPITRE 7. MATRICES Par ailleurs, le produit matriciel ne vérifie pas la propriété du produit nul : AB = 0 A = 0 ou B = 0 est fausse!. Il existe des matrices non nulles dont le produit est nul. Cf. exercice 7.10 où ED = O 2,2 mais E O 2,2 et F O 2,2. Il faut donc bien se garder de vouloir simplifier un terme dans un produit matriciel! On peut avoir AB = AC mais B C. 7.5 Matrices carrées Lorsqu on considère l ensemble matrices carrées M n (R), on n a pas besoin de faire attention à la compatibilité des tailles pour faire des produits. Le produit est toujours défini et appartient aussi à M n (R). Il existe aussi, dans ce cas, un élément neutre pour le produit : I n (rappel : (I n est la matrice carrée d ordre n dont tous les éléments sont égaux à 0, sauf ceux de sa diagonale, qui sont égaux à 1.) On a alors A M n (R), I n A = A I n = A. Par contre, on a toujours AB BA en général! Et AB = AC B = C en général Puissances de matrices carrées Comme on peut multiplier une matrice par elle-même sans problème, cela permet en itérant de définir les puissances de matrice. Définition 7.10 (Puissance d une matrice carrée) Soit k N et soit A une matrice carrée de M n (R). On appelle puissance k-ième de A, la matrice A k := A A (k fois). Par convention A 0 = I n. 1 2 Exercice Soit A =. Calculer A Exercice Soit A = Montrer quea 3 = Cour ECE1

12 7.5. MATRICES CARRÉES Exercice 7.14 (Méthode à retenir). Calculer A n pour tout n N, pour les matrices suivantes : a 0 0 A = 1 1 1, A = 0 b c Indication : calculer les premières puissances, puis conjecturer le résultat et le montrer par récurrence. 1 1 Exercice Calculer A n pour tout n N, pour la matrice A =. 1 1 Indication : calculer les premières puissances, puis conjecturer le résultat et le montrer par récurrence. Le produit matriciel ne commutant pas en général, la puissance de matrice garde seulement certaines propriétés des réels : Propriétes 7.20 Soient k, l, n trois entiers naturels et A et B deux matrices de M n (R). 1. A k A l = A k+l. 2. (A k ) l = A kl Matrices carrées qui commutent Définition 7.11 Si A M n (R), B M n (R), on dit que A et B commutent si AB = BA. 1 0 Exercice Soit A =, B = 1 0, ces matrices commutent-elles? Exercice Déterminer toutes les matrices qui commutent avec la matrice N = L ensemble des matrices qui commutent avec une matrice donnée s appelle le commutant de cette matrice

13 CHAPITRE 7. MATRICES Remarque 7.67 Deux exemples fondamentaux de matrices qui commutent. Pour tout A M n (R), pour tout λ R : A et λi n (appelé matrice scalaire) commutent. En particulier la matrice identité commute avec toutes les matrices. Pour toute matrice carrée A : toutes les puissances de A commutent entre elles : A M n (R), k, p N, A p A k = A p+k = A k A p. Propriétes 7.21 Soient k N, A et B deux matrices de M n (R) qui commutent, on a : 1. (AB) k = A k B k 2. (A B)(A + B) = A 2 B 2 3. (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 4. (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 Exercice Calculer, si possible : 1. A 2 pour A = M 0, M 1, M 2, M 3, M 4, M 100 pour M = Exercice Calculer, sipossible : A 2, A 3, B 2, AB, BA, A + B, (A + B) 2, A 2 + 2AB + B pour A = pour B = Enfin, la formule importante du binôme de Newton se généralise à la somme de deux matrices dès lors que celles-ci commutent. Proposition 7.51 (Formule du binôme) A M n (R), B M n (R), telles que AB = BA. On a pour tout p N, p ( ) p (A + B) p = A k B p k. k k=0 120 Cour ECE1

14 7.6. INVERSE D UNE MATRICE CARRÉE Méthode 7.29 (Calcul puissances d une matrice) Si on veut calculer la puissance n-ième d une matrice carrée A, on peut écrire A = B +C, avec B et C qui commutent (en général B = λi n ) et on applique la formule du binôme Exercice 7.20 (Méthode à retenir). Calculer : A n avec A = en apppliquant la méthode précédente Exercice Soit B = Justifier que B = 2I 3 + N où N est une matrice vérifiant N 3 = 0 3, la matrice carrée nulle de dimension En déduire, l expression de B n pour n 2. Vérifier que cette formule est également valable pour tout n N. Remarques 7.68 Précautions calculatoires à retenir Les défauts de commutativité et d intégrité du produit matriciel ainsi que la convention A 0 = I n obligent à prendre quelques précautions calculatoires. Ainsi, lorsqu on factorise une expression, il faut, d une part, tenir compte de l ordre et, d autre part, ne pas oublier les termes I n qui peuvent apparaître, comme par exemple dans l égalité AB + A = A(B + I n ); une matrice A non nulle peut avoir l une de ses puissances qui est nulle ; la quantité (AB) p n est pas égale à A p B p (sauf lorsque A et B commutent) ; le développement de (A + B) 2 donne (A + B) 2 = A 2 + AB + BA + B 2 et rien ne dit, sans hypothèse de commutativité, que l expression AB + BA soit égale au double-produit 2AB ; plus généralement, on retiendra que la formule du binôme de Newton n est utilisable que si les matrices commutent. Exercice 7.22 (Matrices symétriques et produit). 1. Montrer que si A est symétrique, alors n N, A n est symétrique. 2. Le produit de deux matrices symétriques peut ne pas être symétrique, donner un exemple. 3. Montrer que si A et B symétriques et commutent alors AB est symétrique. 7.6 Inverse d une matrice carrée Nous avons vu plus haut, qu il n est en général pas possible de simplifier par une matrice. Nous allons maintenant étudier un ensemble très particulier de matrices qui nous permettra ce genre de simplifications

15 CHAPITRE 7. MATRICES Définition Définition 7.12 (Matrice inversible et inverse d une matrice) Une matrice A M n (R) est dite inversible s il existe B M n (R) telle que AB = BA = I n. Lorsqu une telle matrice existe, elle est unique et on l appelle l inverse de A. On la note A 1. L ensemble des matrices inversibles est noté GL n (R). Remarques 7.69 Pour être inversible, une matrice doit d abord être carrée! Il existe des matrices non nulles et non inversibles. Soit A = a + c b + d Pour toute matrice M = 0 0 a c b, on a AM = d En particulier, (AM) 22 = 0, donc (AM) Par conséquent, quelle que soit la matrice M M 2 (R), la matrice AM ne sera jamais égale à la matrice identité I 2, donc A n est pas inversible. Exemple La matrice identité I n est inversible et l on a clairement I 1 n = I n. 2. La matrice nulle 0 n n est pas inversible (puisqu il est évidemment impossible de trouver une matrice A telle que 0 n A = I n ) Soit A =. 1 0 Alors A 2 = I 2. De sorte que A est inversible : elle est sa propre inverse. A 1 = A. Exercice Soit A GL n (R). Montrer que pour tout p N, A p est inversible et préciser son inverse. 122 Cour ECE1

16 7.6. INVERSE D UNE MATRICE CARRÉE Propriétés des matrices carrées inversibles Propriétes 7.22 Soient A, B GL n (R). 1. A 1 est unique. 2. (A 1 ) 1 = A 3. (AB) 1 = B 1 A 1 Attention à l ordre! 4. Si λ R est un scalaire non nul, λa est inversible et l on a : (λa) 1 = 1 λ A p N, A p est inversible et (A p ) 1 = (A 1 ) p. 6. A GL n (R), t (A 1 ) = ( t A) 1. Démonstration. Le premier résultat sera admis. Exercice Soit n N, λ R. Vérifier que λi n est inversible, d inverse 1 λ I n et que 0 n n est pas inversible Vérifier que B = est l inverse de la matrice A = Soit n N. Montrer que si A 2 A = I n alors A est inversible, et préciser son inverse. Exercice 7.25., méthodes à retenir 1. Soit n N. Montrer que si A 3 = A 2 + 2A + 3I n alors A est inversible, et préciser son inverse Soit B = Calculer B 3 3B 2 + 2B. Déduire que B n est pas inversible

17 CHAPITRE 7. MATRICES Remarque 7.70 La somme de deux matrices inversibles n est pas inversible en général. Par exemple I n et I n sont inversibles mais I n I n = 0 n ne l est pas. Exercice Soit A M p (R) et P GL p (R). Simplifier (P 1 AP ) 2, (P 1 AP ) Conjecturer une formule pour (P 1 AP ) n valable pour n N et la prouver par récurrence. Est-elle encore valable pour n = 0? 3. Si de plus A est inversible, vérifier que pour tout n N, (P 1 AP ) n est inversible et préciser son inverse. 4. Déduire que la formule démontrée est encore vraie pour les entiers négatifs. Contrairement au cas général, si on a AB = AC et si A est inversible, alors on peut simplifier par A, puisqu en multipliant à gauche par A 1 de chaque côté de l égalité, on obtient B = C. Propriétes 7.23 Soit C GL n (R), et A et B des matrices telles que les produits suivants aient un sens. Simplification à gauche : CA = B A = C 1 B CA = CB A = B Simplification à droite : AC = B A = BC 1 AC = BC A = B Remarque Une matrice inversible est simplifiable, autrement dit, si A est inversible et si l on a AB = AC, on peut en déduire que B = C en multipliant par A 1 à gauche. 2. Mais attention, la simplification AA 1 = I n n est envisageable que lorsque A et A 1 sont contiguës. Ainsi, dans le produit ABA 1, on ne peut pas simplifier par A (sauf si l on sait que A et B commutent). Exercice Soient A, B telles que AB = 0. Montrer que si A 0 et B 0 alors ni A ni B ne sont inversibles. 2. Soit B = 1 1. Calculer B2 + B et déduire que B n est pas inversible Cas particuliers de calcul de l inverse d une matrice carrée C est cette propriété qui va nous permettre de calculer explicitement l inverse d une matrice d ordre Cour ECE1

18 7.6. INVERSE D UNE MATRICE CARRÉE Proposition 7.52 (Calcul de l inverse d une matrice d ordre 2) Soit A = a c b, où a, b, c, d sont quatre nombres réels. Alors, d 1. Si ad bc = 0, A n est pas inversible. 2. Si ad bc 0, A est inversible et A 1 = 1 d ad bc c b. a Démonstration. Calcul direct Remarque 7.72 Le calcul explicite de l inverse d une matrice carrée de petite dimension (3 3, voire plus rarement 4 4), qui repose essentiellement sur une séries de manipulations techniques, sera vu dans le chapitre consacré à la résolution de systèmes linéaires. Exercice Chercher des matrices 2 2 inversibles ou non et donner si possible l inverse. Exercice Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, le cas échéant, calculer leurs inverses : A 1 = , A 2 = Proposition 7.53 (Cas particulier des matrices triangulaires) Soit A = (a ij ) une matrice triangulaire. Alors A est inversible si et seulement si, pour tout i 1, n, a ii 0. Dans ce cas, A 1 est une matrice triangulaire, dont les éléments diagonaux sont les 1 a ii. Proposition 7.54 (Cas particulier des matrices diagonales) Soit A = diag(a 11,..., a nn ) une matrice diagonale. Alors A est inversible si et ( seulement si) pour tout i 1, n, a ii 0. 1 Dans ce cas, A 1 1 = diag,...,. a 11 a nn 125

19 CHAPITRE 7. MATRICES Exercice Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles : A 1 = 0 2 2, A 2 = 0 4 0, A 3 = Cour ECE1

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