MATRICES. I- Définitions

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1 MATRICES I- Définitions Une matrice A de format n, p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice Le coefficient de la i ème et de la j ème est noté a ij a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A = On pourra écrire A = a ij a n1 a n2 a np A = est une matrice de dimension 2 3 a 23 = 5, a 12 = 2 Définition 2 Si n = 1, la matrice A est une matrice ligne Si p = 1, la matrice A est une matrice colonne Si n = p, la matrice A est une matrice carrée on dit que c est une matrice carrée d ordre n s A = est une matrice ligne de format 1, 4 B = 2 6 est une matrice colonne de format 3, 1 3 C = est une matrice carrée de d ordre Définition 3 Deux matrices A = a ij et B = b ij sont égales si elles ont le même format n p et si, pour tout couple i, j, avec 1 i n et 1 j p, a ij = b ij Définition 4 La matrice nulle de format n, p est la matrice dont tous les coefficients sont nuls Définition 5 a ij une matrice de format n, p L opposée de la matrice A, notée A, est la matrice de format n, p dont les coefficients sont les opposés des coefficients de A situés à la même ligne et même colonne Si A = 3 2 1, alors A = Définition 6 La matrice transposée d une matrice A de format n, p est la matrice notée t A de format p, n obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A 1

2 3 2 1 Si A =, alors t A = A est de format 2, 3, t A est de format 3, 2 II- Opérations 1 Somme de deux matrices On appelle somme de deux matrices A = a ij et B = b ij de même format n, p la matrice notée A + B = c ij de format n, p telle que, pour tout couple i, j, avec 1 i n et 1 j p, c ij = a ij + b ij et B = A + B = deux matrices de format 2, 3 Théorème a ij, B = b ij, C = c ij trois matrices de même format n, p et O la matrice nulle de format n, p A + B = B + A A + B + C = A + B + C, on notera donc A + B + C cette somme A + O = O + A = A A + A = A + A = O Démonstration Les coefficients de la matrice A + B sont a ij + b ij, ceux de la matrice B + A sont b ij + a ij a ij + b ij = b ij + a ij pour tout couple i, j, avec 1 i n et 1 j p On a donc : A + B = B + A Les coefficients de la matrice A + B + C sont a ij + b ij + c ij Les coefficients de la matrice A + B + C sont a ij + b ij + c ij a ij + b ij + c ij = a ij + b ij + c ij = a ij + b ij + c ij, pour tout couple i, j, avec 1 i n et 1 j p On a donc : A + B + C = A + B + C a ij + 0 = 0 + a ij = a ij pour tout couple i, j, avec 1 i n et 1 j p On a donc A + O = O + A = A a ij + a ij = a ij + a ij = 0 pour tout couple i, j, avec 1 i n et 1 j p On a donc A + A = A + A = 0 Remarque Soit A et B de même format n, p On notera A B la somme A + B et B = deux matrices de dimension B = et A B =

3 2 Produit d une matrice par un réel Définition a ij une matrice de format n, p et λ un nombre réel Le produit du réel λ par la matrice A est la matrice notée λa de format n, p dont le terme de la i ème et de la j ème colonne est λa ij A = Théorème Soit A et B deux matrices de même format, λ et µ deux nombres réels 0A = O et 1A = A λa + B = λa + λb λ + µa = λa + µa λµa = λµa Remarque On retrouve les mêmes propriétés que sur l ensemble des vecteurs du plan muni de l addition et du produit par un réel x On peut noter les coordonnées d un vecteur u sous forme d une matrice colonne : y 3 Produit de deux matrices Produit d une matrice ligne par une matrice colonne a 1 a 2 a n une matrice ligne de format1, n et B = b 1 b 2 une matrice colonne de format n, 1 n A B = a 1 b 1 + a 2 b a n b n = a i b i A B est une matrice de format 1, 1 i= = = 2 0 Définition 2 Produit de deux matrices Soit A une matrice de format n, p et B une matrice de format p, q, n, p et q étant des entiers naturels non nuls Le produit A B est la matrice de dimension n q, dont le terme de la i ième ligne et de la j ième colonne est le produit de la i ième ligne de la matrice A par la j ième colonne de la matrice B Soit a ik les coefficients de la matrice A, b kj les coefficients de la matrice B et c ij les coefficients de la matrice A B p Alors : c ij = a ik b kj k=1 3 b n

4 et disposition des calculs une matrice de format 2, 2 et B = une matrice de format 2, 3 Le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B, on peut donc effectuer le produit A B, qui est une matrice de format 2, 3 Remarque : On ne peut pas effectuer le produit B A On dispose les calculs de la manière suivante : Le coefficient de la première ligne et première colonne s obtient en effectuant le produit de la première ligne de A par la pemière colonne de B : = 3 III- Matrices carrées Une matrice carrée d ordre n est une matrice qui a n lignes et n colonnes Définition 2 La matrice unité d ordre n, notée I n est la matrice dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1 et dont tous les autres termes sont nuls I 3 = Propriétés admises Soit A, B et C trois matrices carrées d ordre n, n étant un entier naturel non nul A B C = A B C On note ce produit A B C Associativité A B + C = A B + A C et A + B C = A C + B C Distributivité Pour tout réel λ, λa B = λa B = A λb A I n = I n A = A Attention La multiplication n est pas commutative, en général, on n a pas A B = B A : = mais = Si A et B sont deux matrices non nulles, leur produit peut être nul : = Conséquence : Si A B = A C, avec A non nulle, on ne peut pas en déduire en général que B = C Définition 3 Soit A une matrice carrée d ordre n, n étant un entier naturel non nul A 1 = A et, pour tout entier naturel k non nul, A k+1 = A k A Par convention : A 0 = I n 4

5 1 1 Soit la matrice A = 1 1 Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, A n = 2 n 1 A On fait une démonstration par récurrence : Intialisation A 1 = 2 0 A est vrai, la propriété est initialisée au rang 1 Hérédité Supposons que, pour un entier naturel n non nul, A n = 2 n 1 A On a alors A n+1 = A n A = 2 n 1 A A = 2 n 1 A Or A 2 = = 2A 2 2 Par conséquent A n+1 = 2 n 1 2A = 2 n A La propriété est héréditaire Conclusion Pour tout entier naturel n non nul, A n = 2 n 1 A 5

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