Exemple préliminaire Généralités Définitions Addition des matrices Produit par un réel Produit des matrices Puissance d une matrice.
|
|
|
- Chantal Bergeron
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 /44 Matrices Partie 1 : Calcul matriciel Laurent Debize BTS SIO
2 2/44 Exemple préliminaire Généralités Définitions Addition des matrices Produit par un réel Produit des matrices Puissance d une matrice Exemple préliminaire Généralités Définitions Addition des matrices Produit par un réel Produit des matrices Puissance d une matrice Préliminaire Le produit 1 ligne par 1 colonne Produit des matrices Puissance d une matrice
3 3/44 Exemple préliminaire Généralités Définitions Addition des matrices Produit par un réel Produit des matrices Puissance d une matrice Exemple préliminaire Trois élèves A, B et C ont obtenu sur 2 semestres et dans 4 matières les résultats ci-dessous : 1 er semestre Français Anglais Maths SVT Élève A Élève B Élève C e semestre Français Anglais Maths SVT Élève A Élève B Élève C On peut résumer ces valeurs dans deux tableaux S 1 et S 2 que l on appellera matrices : S 1 = et S 2 =
4 /44 Total annuel Pour obtenir le total annuel des points obtenus par chaque élève on ajoute les résultats de chaque semestre : Points sur l année Français Anglais Maths SVT Élève A Élève B Élève C On peut écrire le total annuel des points dans le tableau S : S = On dit que S est la matrice somme des matrices S 1 et S 2. On note S = S 1 + S 2 et l on a : S = =
5 5/44 Exemple préliminaire Généralités Définitions Addition des matrices Produit par un réel Produit des matrices Puissance d une matrice Moyenne annuelle Pour obtenir la moyenne annuelle obtenue par chaque élève on divise par 2 la somme annuelle : Moyenne annuelle Français Anglais Maths SVT Élève A Élève B Élève C On peut écrire la moyenne annuelle dans le tableau M. On note M = 1 S et l on a : M = =
6 6/44 Exemple préliminaire Généralités Définitions Addition des matrices Produit par un réel Produit des matrices Puissance d une matrice Coefficients Les élèves peuvent s orienter dans 2 filières d étude distinctes. Pour définir leur meilleur profil on étudie leurs résultats suivant les coefficients retenus dans chacune des filières. Ces coefficients sont répartis par matières de la façon suivante : Filière 1 Filière 2 Français 2 4 Anglais 3 4 Maths 7 5 SVT Les coefficients sont indiqués dans la matrice C =
7 7/44 Exemple préliminaire Généralités Définitions Addition des matrices Produit par un réel Produit des matrices Puissance d une matrice Coefficients On a donc les deux tableaux suivants : Filière 1 Filière 2 Français 2 4 Anglais 3 4 Maths 7 5 SVT 3 2 Moyenne annuelle Français Anglais Maths SVT Élève A Élève B Élève C Quelle est la moyenne générale de chaque élève en fonction de chaque filière? Moyenne générale Élève A Élève B Élève C Filière 1 Filière = = = = = = 153
8 /44 Coefficients Le total des points suivant les filières est indiqué dans le tableau P cidessous : P = On dit que la matrice P est le produit de la matrice M par la matrice C. On note P = M C et l on a : =
9 10/44 Exemple préliminaire Généralités Définitions Addition des matrices Produit par un réel Produit des matrices Puissance d une matrice Préliminaire Le produit 1 ligne par 1 colonne Produit des matrices Puissance d une matrice
10 1/44 Généralités Définitions Définition On appelle matrice réelle de dimension n p tout tableau rectangulaire de nombres réels comportant n lignes et p colonnes. Les matrices à n lignes et n colonnes sont appelées matrices carrées d ordre n. Exemples ( ) A = est une matrice 2 3 (lire matrice 2, 3 ) ( ) 1 0 B = est une matrice carrée d ordre C = 3 est une matrice 3 1 appelée matrice colonne. 7 D = ( ) est une matrice 1 4 appelée matrice ligne.
11 12/44 Généralités Définitions Remarque Une matrice A de dimension n p est encore notée (a ij ) pour 1 i n et 1 j p où a ij désigne le terme de la ligne i et de la colonne j. On peut ainsi noter la matrice A de dimension 3 3 : a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
12 13/44 Exercice 1
13 4/44 Définitions Généralités Définitions La matrice (a ij ) telle que a ij = 0 pour tout couple (i, j) est appelée matrice nulle. On note la note 0. Dans l ensemble des matrices { carrées d ordre n, aij = 1 si i = j la matrice (a ij ) telle que a ij = 0 si i j est appelée matrice identité et est notée I n. Exemple Pour les matrices carrées d ordre 3, la matrice nulle est : 0 = Et la matrice identité est : I 3 =
14 15/44 Généralités Définitions Définition - identité des matrices Soient A = (a ij ) et B = (b ij ) deux matrices de dimension n p. A = B si et seulement si pour tout couple (i, j) : a ij = b ij Exemple ( ) ( ) a Soient A = et B = 0 3 b 3 A = B si et seulement si a = 3 et b = 0.
15 16/44 Exercice 2
16 17/44 Exemple préliminaire Généralités Définitions Addition des matrices Produit par un réel Produit des matrices Puissance d une matrice Préliminaire Le produit 1 ligne par 1 colonne Produit des matrices Puissance d une matrice
17 8/44 Addition des matrices Produit par un réel Définition Soient A = (a ij ) et B = (b ij ) deux matrices de dimension n p. L addition des matrices est définie par : A + B = (a ij + b ij ) Le produit externe des matrices est défini, pour k R, par : k A = (k a ij )
18 19/44 Addition des matrices Produit par un réel Méthode : Comment additionner deux matrices? vérifier que les deux matrices ont même taille additionner coefficient par coefficient, aux place identiques dans les deux matrices Méthode : Comment multiplier une matrice par un réel k? multiplier chaque coefficient de la matrice par k
19 20/44 Addition des matrices Produit par un réel Exemples ( ) ( ) Si A = et B = alors : ( ) A + B = ( ) A = 6 10 ( 8 ) A + 3 B =
20 21/44 Addition des matrices Produit par un réel Ces calculs peuvent également s effectuer à la calculatrice... Sur TI-82 : Matrice puis EDIT puis sélectionner une matrice Donner la taille de la matrice et la remplir Pour l utiliser : Matrice puis NOMS et sélectionner la matrice Sur TI-89 : APPS Data Matrix Editor new Donner un nom à la matrice et donner sa dimension, puis éditer la matrice saisir A+B, 2A... Casio 35+ Menu Run Maths puis F3 Mat (ou Menu Mat) puis Exe Saisir les dimensions de la matrice Saisir Mat A + Mat B, 2*Mat A...
21 22/44 Addition des matrices Produit par un réel Propriétés de la somme Soient A, B et C trois matrices de dimension n p. Commutativité : A + B = B + A Associativité : (A + B) + C = A + (B + C) Élément neutre est la matrice nulle 0 : A + 0 = 0 + A = A Si A = (a ij ), alors la matrice ( a ij ) est appelée matrice opposée de A, et est notée A Elle vérifie : A + ( A) = ( A) + A = 0 ( 1) A = A A B = A + ( B) Notation La somme finie de n termes A + A + + A est notée n A.
22 23/44 Addition des matrices Produit par un réel Propriétés du produit externe Soient a et b deux réels, A et B deux matrices de dimension n p. Alors : a (b A) = (ab) A (a + b) A = a A + b A a (A + B) = a A + a B 1 A = A
23 24/44 Exercice 3
24 25/44 Exemple préliminaire Généralités Définitions Addition des matrices Produit par un réel Produit des matrices Puissance d une matrice Préliminaire Le produit 1 ligne par 1 colonne Produit des matrices Puissance d une matrice
25 26/44 Préliminaire Le produit 1 ligne par 1 colonne Définition On considère les matrices A = ( ) a 1 a 2 a n et B = b 2 Le produit de la matrice A par la matrice B, noté A B ou AB, est une matrice carrée d ordre 1 définie par : AB = ( a 1 b 1 + a 2 b a n b n ) b 1 b n Exemple Si A = ( ) et B = alors AB = ( ( 3) ( 1) ) = ( 5 )
26 27/44 Produit des matrices Définition Soient A = (a ij ) une matrice n p et B = (b ij ) une matrice p q. On appelle produit de la matrice A par la matrice B, et l on note A B ou AB, la matrice C = (c ij ) de dimension n q définie par : c ij = p a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj k=1
27 28/44 Produit des matrices Méthode : Comment multiplier deux matrices entre elles? Soient A et B deux matrices. Pour effectuer le produit A B : vérifier que le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B placer la matrice A en bas à gauche et la matrice B en haut à droite pour calculer le coefficient ligne i colonne j dans la matrice A B : isoler la ligne i dans A isoler la colonne j dans B faire les produits des termes deux à deux, l un dans la ligne de A, l autre dans la colonne de B faire la somme des résultats obtenus placer ce résultat à l intersection de la ligne de A et de la colonne de B recommencer pour tous les coefficients
28 9/44 Produit des matrices Méthode : Comment multiplier deux matrices entre elles? Prenons une matrice A de dimension 3 4 et une matrice B de dimension 4 5. Premièrement nous remarquons que A a 4 colonnes et B a 4 lignes, donc le produit est possible. Ensuite nous plaçons les matrices et calculons par exemple le coefficient ligne 2 colonne 3 : b 13 b 23 b 33 b 43 a 21 a 22 a 23 a 24 c 23
29 30/44 Produit des matrices Exemple ( ) ( ) Soient A = et B = Calculons ( C = ) AB( et D = ) BA :( ) C = = ( 3 5 ) ( 2 1 ) ( 10 2 ) D = = On peut vérifier à l aide de la calculatrice.
30 31/44 Exercice 4
31 32/44 Produit des matrices Autre exemple ( ) ( ) Soient A =, B = et C = A est une matrice 2 2, B est une matrice 2 3 et C est une matrice 3 2. Quelle est la taille de la matrice AB? 2 3 Quelle est la taille de la matrice BA? produit non défini Quelle est la taille de la matrice BC? 2 2 Quelle est la taille de la matrice CB? 3 3 Quelle est la taille de la matrice AC? produit non défini Quelle est la taille de la matrice CA? 3 2
32 33/44 Remarques Produit des matrices On a AB BA : la multiplication des matrices n est pas commutative. Les matrices AB et BA peuvent avoir des tailles différentes. Le produit AB peut exister sans que le produit BA n existe. Le produit d une matrice n p par une matrice p q donne une matrice n q : le nombre de colonnes de la matrice A doit être égal au nombre de lignes de la matrice B. Le produit de 2 matrices carrées d ordre n est une matrice carrée d ordre n. Si A est une matrice carrée d ordre n alors : AI n = I n A = A et en particulier I n I n = I n.
33 34/44 Exercice 5
34 35/44 Produit des matrices Propriété : associativité Soient A une matrice n p, B une matrice p q et C une matrice q r. Alors : (AB)C = A(BC) On dit que la multiplication des matrices est associative et le produit A(BC) est noté ABC.
35 36/44 Produit des matrices Exemple ( ) ( ) Soient A =, B = et C = La matrice AB étant une matrice 2 3, et la matrice BC une matrice 2 2, ( les matrices ) ( (AB)C et A(BC) ) ( sont des matrices ) AB = = ( ) 0 1 ( ) D où (AB)C = = ( ) 0 1 ( ) BC = = D où A(BC) = ( ) ( ) = ( )
36 37/44 Exercice 6
37 38/44 Produit des matrices Propriétés Soient A, B et C trois matrices et k un réel. Lorsque les produits sont définis : A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC (k.a)b = A(k.B) = k.(ab) Exemple Pour A, B et I n matrices carrées d ordre n : (2A 3I n )(3B + 2I n ) = 2A(3B + 2I n ) 3I n (3B + 2I n ) = 6AB + 4AI n 9I n B 6I n I n = 6AB + 4A 9B 6I n
38 39/44 Produit des matrices Remarque L égalité AB = 0 n entraîne ( ) pas nécessairement ( ) A = 0 ou B = Par exemple si A = et B =, on a bien AB = 0, alors que A 0 et B 0.
39 40/44 Puissance d une matrice Le produit de 2 matrices carrées d ordre n étant une matrice carrée d ordre n, l associativité du produit permet de définir la puissance d une matrice. Définition Soit A une matrice carrée d ordre n. On appelle puissance de la matrice A et l on note A n la matrice définie par : { A 1 = A A n+1 = A A n = A n A si n 1
40 1/44 Puissance d une matrice Exemple( ) 0 1 Soit A =. Alors : 1 0 A 1 = A( ) 1 0 A 2 = 0 1 ( ) 0 1 A 3 = ( 1 ) A 4 = 0 1
41 2/44 Puissance d une matrice Conséquence : identités remarquables pour les matrices carrées (A + B)(A B) = A 2 AB + BA B 2 (A + B) 2 = A 2 + AB + BA + B 2 (A B) 2 = A 2 AB BA + B 2 Exemples : développement d expressions matricielles (A + I n ) 2 = A 2 + AI n + I n A + I 2 n = A 2 + 2A + I n (A I n ) 2 = A 2 AI n I n A + I 2 n = A 2 2A + I n (2A + 3B) 2 = 4A 2 + 6AB + 6BA + 9B 2 (A + 2I n )(A 3I n ) = A 2 3AI n + 2I n A 6I 2 n = A 2 A 6I n
42 43/44 Puissance d une matrice Remarque Pour les factorisations on notera, par exemple, que A 2 2A = A (A 2 I n ) et non A 2 2 A = A (A 2) car l expression A - 2 n a pas de sens.
43 44/44 Exercice 7
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Chapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Les suites numériques
Chapitre 3 Term. STMG Les suites numériques Ce que dit le programme : Suites arithmétiques et géométriques CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme
CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?
2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
CORRECTION EXERCICES ALGORITHME 1
CORRECTION 1 Mr KHATORY (GIM 1 A) 1 Ecrire un algorithme permettant de résoudre une équation du second degré. Afficher les solutions! 2 2 b b 4ac ax bx c 0; solution: x 2a Solution: ALGORITHME seconddegré
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Le théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
TRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale
TRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale Déterminer la mesure principale d un angle orienté de mesure! 115" Problèmatique : Appelons θ la mesure principale, θ et! 115" sont deux mesures du même angle,
AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Excel 2007 Niveau 3 Page 1 www.admexcel.com
Excel 2007 Niveau 3 Page 1 TABLE DES MATIERES UTILISATION DE LISTES DE DONNEES... 4 REMARQUES PREALABLES SUR LES LISTES DE DONNEES... 4 METTRE EN FORME LE TABLEAU... 6 METTRE LA LISTE A JOUR... 7 a/ Directement
DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
= constante et cette constante est a.
Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc
Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
6 ème. Rallye mathématique de la Sarthe 2013/2014. 1 ère épreuve de qualification : Problèmes Jeudi 21 novembre 2013
Retrouver tous les sujets, les corrigés, les annales, les finales sur le site du rallye : http://sarthe.cijm.org I Stéphane, Eric et Christophe sont 3 garçons avec des chevelures différentes. Stéphane
Découverte du tableur CellSheet
Découverte du tableur CellSheet l application pour TI-83 Plus et TI-84 Plus. Réalisé par Guy Juge Professeur de mathématiques et formateur IUFM de l académie de Caen Pour l équipe des formateurs T 3 Teachers
Angles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Priorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Les Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition.
Les Angles I) Angles complémentaires, angles supplémentaires 1) Angles complémentaires Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90 41 et 49 41 49 90 donc Les angles
Cours d algorithmique pour la classe de 2nde
Cours d algorithmique pour la classe de 2nde F.Gaudon 10 août 2009 Table des matières 1 Avant la programmation 2 1.1 Qu est ce qu un algorithme?................................. 2 1.2 Qu est ce qu un langage
Structures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Leçon N 4 : Statistiques à deux variables
Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d
Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plan. 1. La planification d un d 2. Méthodes et techniques de planification 3. Conclusion. D. Leclet - 2006-2007
Plan 1. La planification d un d projet 2. Méthodes et techniques de planification 3. Conclusion 1 1. La planification d un d projet 1.1 Découpage chronologique du projet 1.2 Ordonnancement des tâchest
FORMULAIRE DE STATISTIQUES
FORMULAIRE DE STATISTIQUES I. STATISTIQUES DESCRIPTIVES Moyenne arithmétique Remarque: population: m xμ; échantillon: Mx 1 Somme des carrés des écarts "# FR MOYENNE(série) MOYENNE(série) NL GEMIDDELDE(série)
Séquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire
Séquence 3 Expressions algébriques Équations et inéquations Sommaire 1. Prérequis. Expressions algébriques 3. Équations : résolution graphique et algébrique 4. Inéquations : résolution graphique et algébrique
Exercice 6 Associer chaque expression de gauche à sa forme réduite (à droite) :
Eercice a Développer les epressions suivantes : A-(-) - + B-0(3 ²+3-0) -0 3²+-0 3+00 B -30²-30+00 C-3(-) -3 + 3-3²+6 D-(-) + ² Eerciceb Parmi les epressions suivantes, lesquelles sont sous forme réduite?
Plus courts chemins, programmation dynamique
1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique
Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879-
Chapitre 9 REVOIR > les notions de points, droites, segments ; > le milieu d un segment ; > l utilisation du compas. DÉCOUVRIR > la notion de demi-droite ; > de nouvelles notations ; > le codage d une
Probabilités conditionnelles Loi binomiale
Fiche BAC ES 05 Terminale ES Probabilités conditionnelles Loi binomiale Cette fiche sera complétée au fur et à mesure Exercice n 1. BAC ES. Centres étrangers 2012. [RÉSOLU] Un sondage a été effectué auprès
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
PROPORTIONNALITÉ LES ÉCHELLES. Dossier n 2 Juin 2005. Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE
PROPORTIONNALITÉ LES ÉCHELLES 0 000 000 Dossier n 2 Juin 2005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE C.D.R. AGRIMEDIA
Note de cours. Introduction à Excel 2007
Note de cours Introduction à Excel 2007 par Armande Pinette Cégep du Vieux Montréal Excel 2007 Page: 2 de 47 Table des matières Comment aller chercher un document sur CVMVirtuel?... 8 Souris... 8 Clavier
Nombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
TD3: tableaux avancées, première classe et chaînes
TD3: tableaux avancées, première classe et chaînes de caractères 1 Lestableaux 1.1 Élémentsthéoriques Déclaration des tableaux Pour la déclaration des tableaux, deux notations sont possibles. La première
Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain
Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain Philippe Bernard Ingénierie Economique & Financière Université Paris-Dauphine Février 0 On considère un univers de titres constitué
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Cours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin
Cours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin 11 octobre 2014 2 Table des matières 1 Introduction 5 2 Bases de la programmation en C++ 7 3 Les types composés 9 3.1 Les tableaux.............................
Représentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Livret de formules. Calcul Professionnel Boulangère-Pâtissière-Confiseuse AFP Boulanger-Pâtissier-Confiseur AFP
Version 2: 13.11.2014 Livret de formules Calcul Professionnel Boulangère-Pâtissière-Confiseuse AFP Boulanger-Pâtissier-Confiseur AFP Economie d entreprise Boulangère-Pâtissière-Confiseuse CFC Boulanger-Pâtissier-Confiseur
6 JANVIER 2015 REUNION D INFORMATION SUR L ORIENTATION EN CLASSE DE PREMIERE
6 JANVIER 2015 REUNION D INFORMATION SUR L ORIENTATION EN CLASSE DE PREMIERE LES ENJEUX L HEURE DES CHOIX OBJECTIF : REUSSITE Associer les goûts et les aptitudes Le cycle Terminal (1 ère + Ter) Maîtrise
Problème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
L ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Activités numériques [13 Points]
![Activités numériques [13 Points]](/thumbs/21/1117704.jpg "Activités numériques [13 Points]")
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.
Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne
Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
LES DIFFERENTS TYPES DE MESURE
LES DIFFERENTS TYPES DE MESURE Licence - Statistiques 2004/2005 REALITE ET DONNEES CHIFFREES Recherche = - mesure. - traduction d une réalité en chiffre - abouti à des tableaux, des calculs 1) Qu est-ce
Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Bulletins de notes électroniques avec Nota Bene
Bulletins de notes électroniques avec Nota Bene 1. Le logiciel Nota Bene est composé de deux logiciels : «Nota Bene Module Professeur», qui permettra à chacun de vous de rentrer ses notes dans des tableaux
Bienvenue au collège Sciences et Technologie
Bienvenue au collège Sciences et Technologie INFORMATIONS RENTRÉE 2014 Sommaire Le semestre d orientation MISMI 1 Unité d Enseignement unique composée de 8 matières: 1 - Le semestre d orientation 2 - Après
Analyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail
La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice
COMPTABILITE GENERALE ETAPE 2 : LE COMPTE
COMPTABILITE GENERALE ETAPE 2 : LE COMPTE 1. LE PLAN COMPTABLE GÉNÉRAL ET LES CLASSES La loi impose des règles concernant la présentation et le contenu des documents comptables. Ces règles font l'objet
UNITÉS ET MESURES UNITÉS DE MESURE DES LONGUEURS. Dossier n 1 Juin 2005
UNITÉS ET MESURES UNITÉS DE MESURE DES LONGUEURS Dossier n 1 Juin 2005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE
DOMAINES RESULTATS. Nb : il ne doit pas y avoir d interdit et que les droits d inscription aient été réglés.
DOMAINES RESULTATS MATERIEL INDISPENSABLE POUR LA FORMATION : - être muni de son mot de passe et login apogée - être muni de ses codes VDI VET - élément pédagogique - être muni de son login pour l ENT.
Initiation à Excel. Frédéric Gava (MCF) gava@univ-paris12.fr
Initiation à Excel Frédéric Gava (MCF) gava@univ-paris12.fr LACL, bâtiment P2 du CMC, bureau 221 Université de Paris XII Val-de-Marne 61 avenue du Général de Gaulle 94010 Créteil cedex Plan de cette année
Une forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
IMAGES NUMÉRIQUES MATRICIELLES EN SCILAB
IMAGES NUMÉRIQUES MATRICIELLES EN SCILAB Ce document, écrit par des animateurs de l IREM de Besançon, a pour objectif de présenter quelques unes des fonctions du logiciel Scilab, celles qui sont spécifiques
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
UTILISATIONS D'EXCEL POUR LES SCIENTIFIQUES.
page 1 UTILISATIONS D'EXCEL POUR LES SCIENTIFIQUES. 1) généralités, opérations élémentaires : Création de séries, utilisation des noms de variables, graphiques 2D avec axes multiples, régressions linéaire
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Utilisation de l outil lié à MBKSTR 9
Utilisation de l outil lié à MBKSTR 9 Avec MBKSTR, vous disposez d un outil fonctionnant sous Excel (version 97 au minimum) et permettant de faire les études financières suivantes : Aide à la vente avec
Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
PRISE EN MAIN D UN TABLEUR. Version OPEN OFFICE
PRISE EN MAIN D UN TABLEUR Version OPEN OFFICE Prise en main d un tableur page 2 1. L utilisation de la souris Pour faire fonctionner un tableur, on utilise le clavier mais aussi la souris. Rappelons,
Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques
CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques VIII. 1 Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On
Comment réaliser une capture d écran dans Word. Alors comment ouvrir une page Word?
Comment réaliser une capture d écran dans Word Pour réaliser une capture d écran dans Word, l idéal est d ouvrir d abord la page Word. Mais on peut bien l ouvrir après la capture d écran. Alors comment
Raisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
GUIDE POUR LE PLEXTALK Linio Pocket - LECTEUR DE Podcasts -
GUIDE POUR LE PLEXTALK Linio Pocket - LECTEUR DE Podcasts - Shinano Kenshi Co., Ltd. Se reserve le droit de modifier le contenu de ce manuel sans information ecrite prealable. Table des matie res 1 A quoi
Couples de variables aléatoires discrètes
Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude
EXAMEN : CAP ADAL SESSION 2011 N du sujet : 02.11 SPECIALITE : CEB - GEPER SUJET SECTEUR : FOLIO : 1/6 EPREUVE : EG2 (MATH-SCIENCES)
EXAMEN : CAP ADAL SESSION 20 N du sujet : 02. FOLIO : /6 Rédiger les réponses sur ce document qui sera intégralement remis à la fin de l épreuve. L usage de la calculatrice est autorisé. Exercice : (7
Service des ressources informatiques - Conseil Scolaire de District Catholique Centre-Sud Page 1
Service des ressources informatiques - Conseil Scolaire de District Catholique Centre-Sud Page 1 Table des matières 1. Accéder au gestionnaire de notes... 3 2. Sélectionner une classe... 4 3. Première
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode
Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en
CREG : http://www.creg.ac- versailles.fr/spip.php?article803
OUTILS NUMERIQUES Édu-Sondage : concevoir une enquête en ligne Rédacteur : Olivier Mondet Bla. 1 Présentation Parmi les pépites que contient l Édu-Portail, l application Édu-Sondage est l une des plus
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Calcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Cours pratique Excel. Dans chacune des feuilles, les donnés sont déjà entrées afin de gagner du temps.
Cours pratique Excel Présentation du classeur cours.xls C est un classeur qui contient 7 feuilles Liste de personnes Calculs simples Solde Listes Auto Relatif Absolu Formats Paye Cours AFM Dans chacune
Introduction à l approche bootstrap
Introduction à l approche bootstrap Irène Buvat U494 INSERM buvat@imedjussieufr 25 septembre 2000 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-1 Plan du cours Qu est-ce que le bootstrap?
EXCEL PERFECTIONNEMENT SERVICE INFORMATIQUE. Version 1.0 30/11/05
EXCEL PERFECTIONNEMENT Version 1.0 30/11/05 SERVICE INFORMATIQUE TABLE DES MATIERES 1RAPPELS...3 1.1RACCOURCIS CLAVIER & SOURIS... 3 1.2NAVIGUER DANS UNE FEUILLE ET UN CLASSEUR... 3 1.3PERSONNALISER LA
Cours Informatique Master STEP
Cours Informatique Master STEP Bases de la programmation: Compilateurs/logiciels Algorithmique et structure d'un programme Programmation en langage structuré (Fortran 90) Variables, expressions, instructions
UFR de Mathématiques et Informatique Année 2009/2010. Réseaux Locaux TP 04 : ICMP, ARP, IP
Université de Strasbourg Licence Pro ARS UFR de Mathématiques et Informatique Année 2009/2010 1 Adressage IP 1.1 Limites du nombre d adresses IP 1.1.1 Adresses de réseaux valides Réseaux Locaux TP 04 :
Vecteurs. I Translation. 1. Définition :
Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même