BACCALAUREAT GENERAL Session BAC BLANC Jeudi 14 février 2013 Série S. L'utilisation d une calculatrice est autorisée

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1 BACCALAUREAT GENERAL Session BAC BLANC Jeudi 14 février 013 Série S Epreuve: MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE L'utilisation d une calculatrice est autorisée Le candidat doit traiter les quatre eercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet. Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6. Eercice 1 : ( 4 points) Commun à tous les candidats 1- On donne en annee un cube ABCDEFGH. a) Les vecteurs AJ, GE et KF sont-ils coplanaires? Justifier. b) Sur la figure donnée en annee, construire, sans justifier, la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK). - SABCD est une pyramide dont la base est un trapèze ABCD. Construire l intersection des plans (SAD) et (SBC) sur la figure donnée en annee. Justifier. 3- Dans un repère orthonormé ( O; i ; j ; k ), on donne les points A ( 1 ; -5 ; 4) et B ( ; -3 ; ) et la droite de représentation paramétrique s y 3 s z 4 3s Démontrer que les deu droites (AB) et sont coplanaires. 1

2 Eercice : (4,5 points) Pondichéry 1er avril 004 Commun à tous les candidats Un joueur dispose d un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U 1, U et U 3 contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. Il y a trois boules noires dans l urne U 1, deu boules noires dans l urne U et une boule noire dans l urne U 3, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches. Les boules sont indiscernables au toucher. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé, s il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l urne U 1, note sa couleur et la remet dans l urne U 1 ; s il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l urne U, note sa couleur et la remet dans l urne U ; si le numéro amené par le dé n est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l urne U 3, note sa couleur et la remet dans l urne U 3. On désigne par A, B, C, et N les évènements suivants : A : «Le dé amène le numéro 1.» B: «Le dé amène un multiple de trois.» C: «Le dé amène un numéro qui n est ni le 1, ni un multiple de 3.» N: «La boule tirée est noire.» 1. Le joueur joue une partie. a. Montrer que la probabilité qu il obtienne une boule noire est égale à 5 3k. b. Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire. c. Déterminer k pour que la probabilité d obtenir une boule noire soit supérieure à 1. d. Déterminer k pour que la probabilité d obtenir une boule noire soit égale à Dans cette question, k est choisi pour que la probabilité d obtenir une boule noire en jouant une partie soit égale à a. Le joueur joue 5 parties, indépendantes les unes des autres. Calculer, sous forme d une fraction, la probabilité qu il obtienne eactement 4 boules noires. b. Le joueur effectue n parties, indépendantes les unes des autres. Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité d obtenir au moins une boule noire soit supérieure à 0,99.

3 Eercice 3 : (6,5 points) Nouvelle-Calédonie 16 novembre 01 Commun à tous les candidats Partie A On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle [0 ; + [ par f ( ) 5ln( 3). 1. a. On appelle f la fonction dérivée de la fonction f sur [0 ; + [. Calculer f () et étudier son signe sur [0 ; + [. b. Donner, dans un tableau, les variations de f sur l intervalle [0 ; + [. c. Montrer que, pour tout strictement positif on a ln 3 f ( ) (5 1) 5ln(1 ) d. En déduire la limite de f en +. e. Compléter le tableau de variation de f sur l intervalle [0 ; + [.. a. Montrer que l équation f () = 0 admet une unique solution dans l intervalle [0 ; + [. On notera cette solution. b. Après avoir vérifié que appartient à l intervalle [14 ; 15], donner une valeur approchée de à 10 près. c. En déduire le signe de f sur l intervalle [0 ; + [. Partie B u0 4 Soit ( u n ) la suite définie par pour tout entier naturel n 0. u 5ln( u 3) n 1 n On considère la fonction g définie sur l intervalle [0 ; + [ par g () = 5ln( +3). En annee on a tracé dans un repère orthonormé la droite d équation y = et la courbe, courbe représentative de la fonction g. 1. a. Construire sur l ae des abscisses de l annee les termes u 0, u 1, u de la suite ( u n ) en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction. b. Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite ( u n ). a. Étudier le sens de variations de la fonction g sur l intervalle [0 ; + [. b. Vérifier que g ( )= où est défini dans la partie A question. a. c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 un. d. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B. 3

4 Eercice 4 : (5 points) Nouvelle Calédonie novembre 004 Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité On considère la fonction f définie sur par f( ) e. On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal ( O; i; j ). L unité graphique est cm sur l ae des abscisses et 5 cm sur l ae des ordonnées. Partie A Soit g la fonction définie sur par g( ) e Étudier les variations de la fonction g sur. En déduire le signe de g.. Justifier que pour tout, e est strictement positif. Partie B 1. a. Calculer les limites de la fonction f en + et en. b. Interpréter graphiquement les résultats précédents.. a. Calculer f (), f désignant la fonction dérivée de f. b. Étudier le sens de variations de f puis dresser son tableau de variations. 3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d abscisse 0. b. À l aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T). 4. Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe (C). 4

5 Annee : Eercice 1 Nom : Classe : 1- - SABCD est une pyramide dont la base est un trapèze ABCD où (AD) // (BC). 5

6 Eercice 3 6

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