Chapitre 3 : Inte grales Ge ne ralise es

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1 Chpire : Ie grles Ge e rlise es Sommire I) Iégrle sur u iervlle o oré... 9 ) Défiiio... 9 A) Iégrle de Riem... ) Iégrles géérlisées de foios posiives... ) Iégrles géérlisées de foios queloques... II) Iégrle géérlisée d ue foio o orée sur u iervlle oré... 4 ) Défiiio... 4 ) Iégrle géérlisée de foios posiives... 5 ) Iégrle géérlisée de foios queloques... 5 III) Iégrles plusieurs fois impropres

2 Soi f ue foio défiie e oiue pr moreu sur u iervlle oré [; ] de R. O e dédui que f es orée sur [; ]. De plus ous svos que f es iegrle sur [; ], es-à-dire que f() eise. Ds e hpire, o herhe à éedre l oio d iégrle à : Soi sur u iervlle o oré ( [; +[ ou ] ; ]) Soi à ue foio o orée sur [; ] (pr eemple lim f() = ±) I) Iégrle sur u iervlle o oré ) Défiiio Soi f ue foioo défiie sur [; +[ e oiue pr moreu sur ou iervlle [: ] où >. Défiiio : O di que l iégrle géérlisée (ou impropre) f() overge ou es overgee X + si : lim X + f() eise e es fiie. Ds e s, o oer f() ee limie. Sio o di qu elle diverge ou qu elle es divergee. Eudier l ure de l iégrle géérlise es éudier l overgee de l iégrle géérlisée. Deu iégrles géérlisées so de même ure si elles so oues deu overgees ou oues deu divergees. Ierpréio grphique : L vleur de l iégrle géérlisée overgee + f() es l ire lgérique (fiie) omprise ere les droies = e y = e le grph de f. Remrque : Si f dme ue limie o ulle e +, lors l iégrle diverge. (Ce es i ue odiio éessire, i ue odiio suffise). + Eemple : Nure de e L foio e es défiie sur [; +[. Soi [; +[, o : e = [ e ] = e L iégrle géérlisée overge e + + e = + Eemple : Nure de + L foio es défiie e oiue sur [; +[ Soi, o : L iégrle géérlisée diverge do. = [l( + )] = l( + ) l() + + Proposiio : Soi f ue foio défiie sur [; +[, oiue pr moreu sur ou ivervlle [; ] ( > ). + + Soi, lors les iégrles géérlisées f() e f() so de même ures. De + + plus, si elles overge, elles vérifie f() = f() + f() 9

3 Preuve : Relio de hsles f() = f() + f(), e o psse à l limie. A) Iégrle de Riem + Soi α R. Cosidéros l iégrle géérlisée : α Supposos que α. Soi >, O : = α α o Si α >, lim = e α α + overge. α o Si α <, lim = e l iégrle diverge. α Supposos que α =. O : diverge. Colusio : L iégrle de Riem + α = α = α+ α α = [l ] = l l = l, Do l iégrle diverge si e seuleme si α >. Ds e s : + α = α Remrque : Soi f ue foio défiie sur ] ; ], oiue pr moreu sur ou [; ]. O di que l iégrle géérlisée f() overge si lim f() eise e es fiie. Ds e s, f() = lim f(). Sio, elle diverge. O peu se rmeer u s prééde pr le hgeme de vrile u =. ) Iégrles géérlisées de foios posiives Soi f ue foio défiie sur [; [, posiive, oiue pr moreu sur ou [; ]. Puisque f es posiive. L foio f() es roisse. Aisi f() overge si e seuleme si l foio f() es mjorée. Théorème de mjorio : Soie f e g deu foios défiies sur [; [, posiives e oiues pr moreu sur ou iervlle[; ]. Supposos que pour ou, o i f() g(). Alors : + + Si g() overge, lors f() overge. + + Si f() diverge, lors f() diverge. Preuve : f() Eemple : Nure de g() e o uilise l remrque préédee. e L foio e e es oiue, posiive sur [; [. O pour,. Or es ue iégrle de Riem de prmère >, do overgee. D près le héorème de mjorio, e overge.

4 Eemple : Nure de + l L foio + es oiue e posiive sur [; [. Pour : l L iégrle Pr le héorème de mjorio : diverge (iégrle de Riem de prmère ). + l diverge. l = Eemple : Nure de e α L foio e α es oiue, posiive sur [; [ Si α, lors pour ou, e α. Or =, do D près le héorème de mjorio, e α diverge. Si α >, lors pour ou, o e α = e α Do e α overge e e α = α Colusio : e α overge si e seuleme si α >. α + l l = e α α diverge. α Théorème d équivlee : Soie f e g deu foios défiies e posiives sur [; [ e oiues pr moreu sur ou [; ]. Supposos que f() ~ g(), lors les iégrles géérlisées ure. f() e g() so de même Preuve : Pour ssez grd, g() f() /g(). E o pplique le héorème de mjorio. Eemple : Nure de L foio 4 +5 De plus, f() ~ 4 Or = = f() es oiue e posiive sur [; [. = 5 8, overge (Iégrle de Riem de prmère 8 > ). Pr le héorème d équivlee, l iégrle géérlisée overge. Théorème : Règle «α f()» Soi f ue foio défiie sur [; [, posiive e oiue pr moreu : Si il eise α > e >, els que pour ou, o i α f(). Alors f() overge. E priulier si lim α f() = ve α >, lors f() overge. Si il eise α < e >, els que pour ou, α f(), lors f() diverge. E priulier si lim α f() = (α ), lors Preuve : pr le Théorème de mjorio. f() diverge.

5 Eemple : Nure de e β ve β >. L foio e β es oiue e posiive sur [; [. O : lim e β =. D près l règle " α f()", e β overge. (s α = > ) Eemple : Nure de l L foio es oiue e posiive sur [; [. Or : lim l =. l D près l règle " α f()", l Eemple : Iégrles de Berrd diverge. (s α = ) Pour α, β R, o osidère l iégrle géérlisée α (l ) β e posiive sur [; [. Nous pouvos do uiliser le héorème de ompriso : Supposos que α >. Posos γ [, α[. Or : lim γ α γ >. D près l règle " α f()", α (l ) β. L foio α (l ) β es oiue α (l ) β = lim overge. (s α > ). α γ (l ) β = r Supposos que α <. Or : lim = lim α (l ) β =. D près l règle (l ) β "α f()", α (l ) β diverge. (s α = ). Supposos que α =. Soi >. O : du u β α u=l =e u =e u du = (l ) β l l que overge si e seuleme si β >, o e dédui que seuleme si β >. du u β. Comme l e α (l ) β overge si e Colusio : L iégrle de Berrd β > ). α (l ) β overge si e seuleme si α > ou (α = e Théorème : Compriso Séries / Iégrles Soi ue foio f défiie, oiue pr moreu, posiive e déroisse sur [; [. Alors f() e f() so de mêmes ures. Remrque : O rerouve les mêmes rières de overgees pour les séries e les iégrles de Riem (e de Berrd). Preuve : Comme f es déroisse, [; + ], f( + ) f() f() f( + ) = f( + ) f() f() = f() = f() + O somme pour vri de à : = f( + ) = f() f() C es-à-dire : + = f() = S + S f() S. =,

6 ) Iégrles géérlisées de foios queloques Défiiio : Soi f ue foio défeie sur[; [ e oiue sur ou iervlle [; ]. O di que l iégrle géérlisée f() overge solume ou es solume overgee si l iégrle f() overge. Théorème : Ue iégrle géérlisée solume overgee es overgee. Remrque : L réiproque es fusse! Core-Eemple : Nure de ei L iégrle ei e overge ps solume r (Iégrle de Riem de prmère α = ). L iégrle ei ei E ei i u= u = v =e i v= ei i = ei,. Ave ei i i ed vers ue limie fiie r ei ei = es divergee. es overgee : Soi >, o : + ei = ei ei i i i i = i ei, r ei = i i overge. (Iégrle de Riem de prmère ). C es-à-dire ei overge solume. Aisi lim ei es fiie e ei overge. si os Eemple : Nure de e si os si e so solume overgees. Cr ue iégrle de Riem overgee. (Théorème de mjorio). e os, où es Eemple : Nure de osh e O : i = = ~ osh osh e +e e. Or : e le héorème d équivlee, i overge. e i osh e overge (voir eemple prééde). Pr Règle d Ael : Soi f e g deu foios défiies sur [; [ e oiues pr moreu sur ou [; ]. Supposos : L foio f es posiive, déroisse e ed vers e. Il eise M > el que g() M,. Alors, l iégrle géérlisée f()g() overge. Eemple : Nure de si L foio es posiive, déroisse e ed vers e. Pour, si = [ os ] = os os os + os = M si D près le héorème d Ael, overge.

7 Remrque : Il eise uu lie ere :. lim f() =. f() overge II) Iégrle géérlisée d ue foio o orée sur u iervlle oré ) Défiiio Soi f ue foio défiie sur ]; ], oiue pr moreu sur ou iervelle [; ] ( < < ), elle que lim + f() = ±. Défiiio : O di que l iégrle géérlisée (ou impropre) f() eise e es fiie. Ds e s f() = lim + f() overge si lim + f(). Sio o di qu elle diverge. Eemple : Nure de l L foio l es oiue sur ]; ]. C es ue iégrle géérlisée à use de l ore. (lim o + l = ). Soi ]; ], o : l u=l v = u = v= = [ l ] Aisi l overge e l =. = l +. Proposiio : Soi, R e f ue foio défiie e oiue pr moreu sur ]; ]. Si lim + f() eise e es fiie, lors f() overge. Eemple de référee : Iégrle de Riem Cosidéros l iégrle où α R. Soi ]; ] : Si α : o α α = α = α+ α α Si α <, lim α+ = α = e l iégrle overge. α o Si α >, lim = e l iégrle diverge. Si α =, = [l ] = l l e l iégrle diverge. α Colusio : L iégrle géérlisée de Riem overge si e seuleme si α <. De l même mière : ( ) α e ( ) α overge si e seuleme si α <. 4

8 ) Iégrle géérlisée de foios posiives Théorème de mjorio : Soi f e g deu foios défiies e posiives sur ]; ] e oiues pr moreu sur ou [; ] ( < < ). Supposos que f() g() pour ou ]; ], lors : Si g() overge, lors f() overge. Si f() diverge, lors g() diverge. Théorème : Règle de «α f()» Soi f ue foio défiie e posiive sur ]; ], oiue pr moreu sur ou [; ] ( < < ). S il eise α < e > el que pour ou u voisige de, α f(), lors f() overge. E priulier si lim + α f() = (α < ), lors f() overge. S il eise α e > el que pour ou u voisige de, α f(), lors f() diverge. E priulier si lim + α f() = (α ), lors f() diverge. π Eemple : Nure de si L foio es oiue e posiive sur ]; π ]. C es ue iégrle géérlisée à use de l si ore. Sur ]; π ], si e do. Or es ue iégrle de Riem de prmère si π do divergee. Pr le héorème de mjorio, diverge. si Eemple : Nure de α L foio α es oiue e posiive sur ]; ]. C es ue iégrle géérlisée à use de l ore. O si que α ~ α. Or α = es ue iégrle de Riem qui overge α si e seuleme si α <, es-à-dire α >. Pr le héorème d équivlee, α overge si e seuleme si α >. Eemple : Nure de e L foio e es oiue e posiive sur ]; ]. C es ue iégrle géérlisée à use de l ore. O lim e =. D près l règle «α f()», l iégrle e diverge. Eemple : Iégrle de Berrd Les iégrles de Berrd α l β overge si e seuleme si (α < ) ou (α = e β > ). ) Iégrle géérlisée de foios queloques Défiiio : Soi f ue foio défiie sur ]; ] e oiue pr moreu sur ou [; ] ( < < ). O di que l iégrle f() es solume overgee ou overge solume si f() overge. Théorème : Ue iégrle solume overgee es overgee. L réiproque es fusse. 5

9 Eemple : Nure de si L foio si es défiie sur ]; ]. Cee foio es de sige queloque (r < > ). O v éudier l overgee solue de ee iégrle. Soi ]; ], o : u= = u = si udu = si u du = u (Mjorio e Riem). si u u si u u du. Or si u u du es solume overgee. Do l limie de du qud + eise e es fiie. O e dédui que lim si eise e es fiie e isi si es solume overgee e do overgee. III) Iégrles plusieurs fois impropres Ceries iégrles géérlisées relève des deu s préédes. Soi f ue foio défiie sur ]; [, oiue pr moreu sur ou iervlle de l forme [; d] ( < < d < ). O di que l iégrle géérlisée f() overge si il eise ]; [ el que les iégrles géérlisées f() e f() overge oues les deu. Ds e s, f() = f() + f(). E priulier f() overge si f() e f() overge. Eemple : Nure de e L foio e es oiue e posiive sur ]; [. C es ue iégrle géérlisée à use des deu ores : e. Cosidéros d ord e. O e ~ e (où ). Or es ue iégrle de Riem overgee. D près le héorème d équivlee (ou mjorio) e overge. Cosidéros mie e. O lim e = lim e =. D près l règle Colusio : «α f()», e overge. e overge. Plus géérleme : Soi f ue foio défiie sur ]; [ privée d u omre fii de poi { i } i=,, ve = < < < < + =. Si pour ou i {; ; }, f es oiue sur ] i ; i+ [ e si les iégrles i+ f() overge, lors f() overge, e i f() = f() i= i i+ 6