Fractions rationnelles

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1 Chaptre 9 Fractons ratonnelles Objectfs Défnr la noton de fracton ratonnelle, la noton d égalté de fractons et la noton de représentant. Étuder la structure de corps de l ensemble des fractons ratonnelles. Défnr la noton de degré d une fracton et ses proprétés. Défnr les notons de pôle et de racne d une fracton ratonnelle. Étuder la dérvaton des fractons ratonnelles. Défnr les notons de parte entère d une fracton et d éléments smples. Établr l exstence de la décomposton des fractons en éléments smples. Étuder le cas complexe : calcul des partes polares. Étuder le cas réel : calcul des éléments smples de seconde espèce. Étuder les applcatons. Plan 9 Fractons ratonnelles 209 I) Constructon de l ensemble des fractons ratonnelles ) Défnton d une fracton ratonnelle ) Opératons sur les fractons ) Représentants rréductbles II) Degré, pôles et racnes d une fracton ) Noton de degré ) Pôles et racnes ) Fonctons ratonnelles ) Dérvaton d une fracton ratonnelle III) Décomposton d une fracton ratonnelle ) Parte entère ) Éléments smples ) Exstence de la décomposton IV) Décomposton dans le cas complexe ) Forme de la décomposton ) Calcul d une parte polare ) Cas partculers V) Décomposton dans le cas réel ) Forme de la décomposton ) Calcul des éléments smples de seconde espèce VI) Applcatons de la décomposton ) Calcul de la dérvée n-ème d une fracton

2 Constructon de l ensemble des fractons ratonnelles 20 2) Prmtves d une fracton ratonnelle VII) Exercces I) Constructon de l ensemble des fractons ratonnelles Le corps K désgne un sous-corps de C,.e. un corps nclus dans C. ) Défnton d une fracton ratonnelle Dans l ensemble K[X] (K[X] \ {0}) = {(P, ) / P, K[X], 0}, on défnt la relaton R en posant : (P, )R(R, S) P S = R. On vérfe que la relaton R est une relaton d équvalence dans K[X] (K[X] \ {0}). Défnton 9. On appelle fracton ratonnelle à coeffcents dans K toute classe d équvalence pour la relaton R. La classe de (P, ) est notée P [avec P le numérateur et le dénomnateur], on a donc : P = {(R, S) K[X] (K[X] \ {0}) / P S = R}. On dt que (P, ) est un représentant de la fracton P. L ensemble des fractons ratonnelles est noté K(X) et la relaton R est appelée égalté des fractons ratonnelles. 2) Opératons sur les fractons Défnton 9.2 (addton, multplcaton, produt par un scalare) Soent P, R S deux fractons ratonnelles et sot λ K, on pose : P + R S = P S + R, S P R S = P R S, et λp = λp. Pour que la défnton at un sens l faut le résultat ne dépende pas des représentants choss pour les fractons, c est à dre s P = P et R S = R S, alors : P S + R S = P S + R S ; P R S = P R S et λ P = λp. Proprétés : a) Pour l addton : elle est assocatve, commutatve, elle admet un élément neutre, la fracton 0 ( 0), appelée fracton nulle. On remarquera qu une fracton est nulle ss son numérateur est nul. toute fracton P admet un opposé et P = P = P. b) Pour la multplcaton : elle est assocatve, commutatve,

3 Degré, pôles et racnes d une fracton 2 elle admet un élément neutre qu est la fracton P ( P 0), appelée fracton unté. P toute fracton P ( ) P non nulle (.e. P 0) admet un nverse, et = P. elle est dstrbutve sur l addton. c) Pour le produt par un scalare : λ, µ K, F, G K(X) :.F =F λ.(f + G) = λ.f + λ.g (λ + µ).f =λ.f + λ.g λ.(µ).f =(λµ).f et λ.(f G) = (λ.f ) G =F (λ.g). Par conséquent, (K(X), +, ) est un corps commutatf et (K(X), +,.) est une K-algèbre commutatve. 3) Représentants rréductbles théorème 9. (plongement des polynômes dans K(X)) L applcaton φ : K[X] K(X) défne par φ(p ) = P est un morphsme d algèbres njectf. Par conséquent on peut dentfer le polynôme P avec la fracton P, ce qu fat que l on peut consdérer que K[X] K(X). En partculer la fracton nulle (en vertu de l égalté des fractons) est dentfée au polynôme nul 0, et la fracton unté est dentfée au polynôme constant. Défnton 9.3 Sot F = P une fracton non nulle, on dt que F est une fracton rréductble lorsque PGCD(P, ) =. Toute fracton admet des représentants rréductbles. S on mpose en plus que le dénomnateur dot être untare, alors l y a un seul représentant rréductble. II) Degré, pôles et racnes d une fracton ) Noton de degré Sot F une fracton non nulle et P, R S deux représentants de F (.e. F = P = R ), on a donc S P S = R, d où deg(p ) deg() = deg(r) deg(s). Autrement dt, la dfférence entre le degré du numérateur et le degré du dénomnateur, ne dépend pas du représentant de F, mas seulement de F. Défnton 9.4 (degré d une fracton) Sot F = P une fracton, on pose deg(f ) = s F = 0, et deg(f ) = deg(p ) deg() snon. Le degré d une fracton est donc un élément de Z { }. Remarque : Sot P un polynôme, en tant que polynôme son degré est deg(p ), mas en tant que fracton, son degré est deg( P ) = deg(p ) deg() = deg(p ), on trouve ben la même chose.

4 Degré, pôles et racnes d une fracton 22 théorème 9.2 (proprétés du degré) Soent F, G K(X), on a : deg(f + G) max(deg(f ), deg(g)), et deg(f G) = deg(f ) + deg(g). On retrouve les mêmes proprétés que pour les polynômes. Remarques : a) Une fracton ratonnelle constante non nulle a un degré nul, mas la récproque est fausse. b) S deg(f ) deg(g) alors deg(f + G) = max(deg(f ), deg(g)). c) Une fracton F est nulle ss son degré vaut. 2) Pôles et racnes Défnton 9.5 Sot F K(X) non nulle, et sot P un représentant rréductble de F. On dt que a K est racne de F de multplcté m N lorsque a est racne du numérateur P de multplcté m. On dt que a K est pôle de F de multplcté m N lorsque a est racne du dénomnateur de multplcté m. Remarques : a) Pusque P est rréductble, on vot qu un scalare a ne peut pas être à la fos pôle et racne de F, snon P et seraent dvsbles par X a. b) a est un pôle de F de multplcté m N équvaut à dre que a est racne de multplcté m de la fracton F. théorème 9.3 (caractérsatons) Sot F une fracton non nulle et sot a K, alors : a est racne de F de multplcté m ss l exste une fracton ratonnelle G telle que a ne sot n pôle n racne de G et F = (X a) m G. a est pôle de F de multplcté m ss l exste une fracton ratonnelle G telle que a ne sot n pôle n racne de G et F = (X a) m G. 3) Fonctons ratonnelles Défnton 9.6 Sot F K(X) et P un représentant rréductble de F. On pose D F = K \ {pôles de F }, c est à dre D F = {x K / (x) 0}. On appelle foncton ratonnelle de K dans K assocée à la fracton F, la foncton notée F de D F vers K défne par F (x) = P (x) (x). Avant d étuder une foncton ratonnelle, l faut la mettre sous forme rréductble. théorème 9.4 Soent F, G K(X), s les fonctons ratonnelles F et G sont égales sur une parte nfne I de D F D G, alors les fractons ratonnelles sont égales,.e. F = G.

5 Décomposton d une fracton ratonnelle 23 4) Dérvaton d une fracton ratonnelle Sot F K(X) une fracton ratonnelle et P = R deux représentants de F, on a P S = R, d où S (P P )S 2 = P S 2 P S 2 = P S 2 RS = S(P S R), mas en dérvant la relaton polynomale P S = R on obtent P S + P S = R + R, d où (P P )S 2 = S(R P S ) = 2 SR P SS = 2 SR 2 RS = 2 (SR RS ), ce qu tradut l égalté des fractons : Défnton 9.7 P P 2 = R S RS S 2. Sot F = P K(X), on appelle fracton dérvée de F la fracton notée F (ou df ) défne par : dx F = P P 2, Le résultat ne dépend pas du représentant de F chos. On défnt également les dérvées successves de F en posant F (0) = F et pour tout n N, F (n+) = ( F (n)). théorème 9.5 (proprétés) On retrouve les proprétés usuelles de la dérvaton ( avec ) les formules usuelles : (F + G) = F + G ; (F G) = F G + F G ; (λ.f ) = λ.f ; = F, et la formule de Lebnz : F F 2 (F G) (n) = C k n F (k) G (n k). III) Décomposton d une fracton ratonnelle ) Parte entère Sot F = A B une fracton, on effectue la dvson eucldenne de A par B : A = B + R avec deg(r) < deg(b). On a alors F = + R B avec deg( R ) < 0 et K[X]. Supposons qu l exste un autre B polynôme S et une fracton G tels que F = S +G avec deg(g) < 0, alors deg( S) = deg(g R B ) < 0 donc = S car ce sont des polynômes, et G = R. On peut donc énoncer : B théorème 9.6 Sot F K(X), l exste un unque polynôme tel que deg(f ) < 0, celu-c est appelé parte entère de F, c est le quotent dans la dvson eucldenne du numérateur de F par le dénomnateur. S deg(f ) < 0 alors la parte entère de F est nulle (à cause de l uncté).

6 Décomposton d une fracton ratonnelle 24 2) Éléments smples Défnton 9.8 Un élément smple de K(X) est une fracton du type A où B est un polynôme rréductble Bn untare (.e. B I K[X] ), deg(a) < deg(b), et n. Éléments smples dans C(X) : on sat que I C[X] = {X a / a C}, donc les éléments smples de C(X) sont les fractons : avec, a C et n. (X a) n Éléments smples de R(X) : on sat que I R[X] = {X a / a R} {X 2 + px + q / p, q R, p 2 4q < 0}, donc les éléments smples de R(X) sont de deux types : éléments smples de premère espèce : éléments smples de seconde espèce : Défnton 9.9 avec, a R et n. (X a) n ax + b (X 2 + px + q) n avec a, b, p, q R, p2 4q < 0, et n. Décomposer une fracton ratonnelle F non nulle, c est l écrre comme somme de sa parte entère et d éléments smples. 3) Exstence de la décomposton Sot F une fracton non nulle et non polynomale : F = A B (forme rréductble), on calcule sa parte entère : E, on a alors = E + R B avec deg( R ) < 0, on est alors amené à décomposer une fracton B de degré strctement négatf en éléments smples. On factorse le dénomnateur B en produt de polynômes rréductbles untares : B = r (on peut supposer B untare). théorème 9.7 S T, S sont deux polynômes premers entre eux et s deg( A ) < 0, alors l exste deux T S polynômes U et V tels que : = P m A T S = U T + V S avec deg(u) < deg(t ), deg(v ) < deg(s). Conséquence : Par récurrence on en dédut que s B,..., B n sont premers entre eux deux à deux A et s deg( ) < 0, alors l exste des polynômes U,..., U n tels que : B... B n A B... B n = = U B avec deg(u ) < deg(b ).

7 Décomposton dans le cas complexe 25 En applquant cec à notre fracton F, on peut affrmer qu l exste des polynômes (U ) r tels que : r U F = E + P m avec deg(u ) < deg[p m ]. théorème 9.8 = S T est un polynôme rréductble untare et s deg( A ) < 0 (n ), alors l exste des T n polynômes V,..., V n tels que : A T n = k= C est une décomposton en éléments smples. V k T k avec deg(v k ) < deg(t ). On peut applquer ce théorème à chacune des fractons tels que : Ce qu donne pour F : U P m = m j= V j, P j F = E + U P m avec deg(v j, ) < deg(p ). r m = C est une décomposton de F en éléments smples. théorème 9.9 (adms) La décomposton en éléments smples est unque. j= V j, P j. : l exste des polynômes V,,..., V m, IV) Décomposton dans le cas complexe ) Forme de la décomposton Sot F = A C(X), sous forme rréductble, sot E sa parte entère et sot B = r (X a k ) m k B k= la factorsaton du dénomnateur. Les complexes a k sont les pôles de F, et les enters m k ( ) sont les multplctés respectves. D après l étude générale, la forme de la décomposton de F sera : r m k F = E + b j,k (X a k ) j. k= Chaque pôle de F va donc générer des éléments smples qu lu correspondent : ce sont les pour j [[..m k ]]. Défnton 9.0 (parte polare) j= b j,k (X a k ) j La somme des éléments smples relatfs au pôle a k est appelée parte polare de F relatve au pôle a k, elle est notée P F (a k ).

8 Décomposton dans le cas complexe 26 On a donc P F (a k ) = m k j= b j,k, et la forme de la décomposton de F est : (X a k ) j F = E + P F (a ) + + P F (a r ). C est à dre : parte entère plus les partes polares relatves aux pôles de F. La décomposton dans C(X) consste donc à calculer des partes polares. 2) Calcul d une parte polare Sot F = A B C(X) (sous forme rréductble) et sot a C un pôle de F de multplcté m. Cas d un pôle smple : on prend m =. On peut écrre B = (X a) avec (a) 0. Comme m =, la parte polare de F relatve à a est P F (a) = c, en regroupant les partes polares X a relatves aux autres pôles, on peut écrre F = E + c X a + U avec E la parte entère et V deg( U V ) < 0. En multplant par X a on obtent : A = (X a)e +c+(x a)u, mas a n étant V pas un pôle de U A(a), on peut évaluer en a, ce qu donne : c =. Comme B = (X a), l est V (a) facle de vor que (a) = B (a), en concluson : S a est un pôle smple de F = A, alors la parte polare de F relatve à a est : B P F (a) = c X a avec c = A(a) B (a) = A(a) (a) où est tel que B = (X a). Cas d un pôle double : on prend m = 2, on peut écrre B = (X a) 2 avec (a) 0, la parte polare de F relatve à a est P F (a) = X a + β, en regroupant les partes polares (X a) 2 relatves aux autres pôles, on obtent : F = E + X a + β (X a) 2 + U V avec deg(u V ) < 0. S on multple le tout par (X a) 2 et que l on évalue en a (a n est pas un pôle de U ), on obtent V β = A(a) (a). β Pour obtenr, on peut poser G = F, on a alors G = E + (X a) 2 X a + U, donc a est V un pôle smple de G, ce qu nous ramène au cas précédent. Autre méthode : on pose H = (X a) 2 F = A, on a en fat H = (X a)2 E + (X a) + β + (X a) 2 U, en évaluant en a on trouve β = H(a), et en évaluant la dérvée en a, on trouve V = H (a). En concluson :

9 Décomposton dans le cas réel 27 S a est un pôle double de F = A, alors la parte polare de F relatve à a est : B P F (a) = X a + β (X a) 2 avec β = H(a) et = H (a), en posant H = (X a) 2 F. Remarque : cette autre méthode se généralse au cas d un pôle a de multplcté m 3 en posant H = (X a) m F. 3) Cas partculers S F est à coeffcents réels alors : les partes polares relatves aux pôles conjugués, sont conjuguées. S F est pare ou mpare, alors en utlsant la relaton entre F (X) et F ( X) et avec l uncté de la décomposton, on obtent des relatons entre les coeffcents à détermner dans les partes polares. V) Décomposton dans le cas réel ) Forme de la décomposton Sot F = A R(X) (sous forme rréductble), sot E sa parte entère et sot B = n (X a k ) m k B k= r (X 2 +p k X +q k ) k la factorsaton de B en produt de facteurs rréductbles untares (p 2 k 4q k < 0). k= D après l étude générale, la forme de la décomposton de F est : m k F = E + b j,k r k (X a k ) j + c j,k X + d j,k (X 2 + p k X + q k ) j. k= j= La premère somme est en fat la somme des partes polares de F relatves aux pôles réels de F. Les technques de calculs sont les mêmes dans le cas complexe. La seconde somme est la somme des éléments smples de seconde espèce. k= 2) Calcul des éléments smples de seconde espèce On se lmtera au cas où X 2 + px + q est un dvseur rréductble de B de multplcté, en regroupant les autres éléments smples, on obtent : F = E + j= ax + b X 2 + px + q + U V. Soent c et c les deux racnes complexes (non réelles) de X 2 + px + q, alors c et c ne sont pas pôles de U, et c et c sont pôles smples de F, on peut calculer la parte polare de F relatve à c dans C(X) : V P F (c) = X c, comme F R(X) on a P F (c) =, la somme de ces deux partes polares donne : X c 2Re()X 2Re(c) P F (c) + P F (c) = X 2, c est un élément smple de R(X), comme la décomposton + px + q dans R(X) est unque, l en résulte que : ax + b X 2 + px + q 2Re()X 2Re(c) = X 2. + px + q

10 Applcatons de la décomposton 28 Autre méthode : Sot H = (X 2 +px+q) F, on a : H = (X 2 +px+q) E+aX+b+(X 2 +px+q) U V. H(c) = ac + b on obtent alors le système :, en résolvant on trouve a et b. H(c) = ac + b VI) Applcatons de la décomposton ) Calcul de la dérvée n-ème d une fracton 2) Prmtves d une fracton ratonnelle Sot F R(X), on décompose F en éléments smples dans R(X), on est donc ramené à calculer des prmtves de tros types : La parte entère : c est un polynôme. Les éléments smples de premère espèce : x dt (t a) n = avec n, on sat les ntégrer, car : (X a) n ln( x a ) s n = (n )(x a) n s n 2. ax + b Les éléments smples de seconde espèce : X 2, pour ceux-là la méthode est la suvante : + px + q on fat apparaître la dérvée du trnôme X 2 + px + q au numérateur et on compense les X en multplant par un facteur adéquat, pus on compense les constantes en ajoutant ce qu l faut, ce qu donne : ax + b X 2 + px + q = a 2X + p ap 2 X 2 + (b + px + q 2 ) X 2 + px + q. La premère de ces deux fractons est facle à ntégrer (du type u u ). Pour la deuxème fracton : on met le trnôme X 2 +px +q sous forme canonque afn de mettre la fracton sous la forme : u où u est une foncton de x, cette foncton est s ntègre en + u2 arctan(u). VII) Exercces Exercce 9. Sot P = λ n (X a k ) m k un polynôme, les scalares a k sont supposés dstncts. Décomposer k= la fracton P P. Exercce 9.2 Mettre les polynômes : Exercce 9.3 X k, et kx k sous forme d une fracton ratonnelle smple. Soent A et B deux fractons ratonnelles non nulles, smplfer la somme : A k B n k.

11 Exercces 29 Exercce 9.4 Soent F C(X), n N, G,..., G n C(X) tels que F n + G F n + + G n F + G n = 0. Montrer que l ensemble des pôles de F est nclus dans la réunon des ensembles des pôles de G,..., G n. Exercce 9.5 Soent F K(X), n N, P,..., P n K[X] tels que F n + P F n + + P n F + P n = 0. Montrer que F est un polynôme. Exercce 9.6 Sot P R[X] scndé à racnes smples, sot a R, en consdérant la fracton P, montrer que P P ap est scndé. Montrer que le résultat reste vra s on suppose seulement que P est scndé. Exercce 9.7 Décomposer dans R(X) les fractons ratonnelles suvantes : a) X 3 + b) 4X 3 X 4 c) X 7 (X 2 + X + ) 3 d) 3X X 2 (X + ) 2. e) X 2 (X 2 + a 2 ) 2 f) X4 + X 2 + (X 3 ) 2 g) X(X 2 + X + ) n. Exercce 9.8 a) Sot P K[X], un polynôme non nul, décomposer la fracton P en éléments smples. P b) Applcaton : sot P C[X] un polynôme de degré 3 ayant tros racnes dstnctes : z, z 2, z 3. Montrer que les racnes de P sont dans le trangle défn par z, z 2, z 3. Exercce 9.9 a) Décomposer dans R(X) la fracton : F = n! X(X + )... (X + n). b) En dédure, pour p N, une smplfcaton de la somme : S n = n Exercce 9.0 Étuder la lmte de la sute (S n ) défne par : S n = Exercce 9. Mettre sous forme rréductble les fractons suvantes : F = (X + k)(x + k + ) G = n k= k k 4 + k 2 +. C k n 2 k (X + 2 k )(X + 2 k+ ). ( ) k p + k. Exercce 9.2 Calculer la dérvée n-ème de la foncton f défne par : f(x) = (x + 2) 2 (x 2 + 3x + 2).

12 Exercces 220 Exercce 9.3 Calculer une prmtve des fonctons suvantes : a) t 4 + t 2 + b) + tan(t) c) cos(t) 3 d) ch(t)sh(t) e) t 2 2t + 3 f) t 2t t 2. Exercce 9.4 Sot F C(X) une fracton ratonnelle non nulle et avec F = A un représentant rréductble. B Sot a un pôle double de F, montrer que la parte polare de F relatve à a est : P F (a) = (X a) 2 + β X a 2A(a) avec = B (a) et β = 6A (a)b (a) 2A(a)B (a) 3B (a) 2.