BTS MAI 1 Devoir surveillé n 7 Mardi 5 avril 2005

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1 BTS MAI 1 Devoir surveillé n 7 Mardi 5 avril 005 EXERCICE I ( 11 points ) Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d'une équation différentielle. On considère l'équation différentielle (E) : y' y = e x où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur IR et y' sa fonction dérivée. 1 Résoudre sur IR l'équation différentielle (E 0 ) : y' y = 0 Soit h la fonction définie sur IR par h(x) = x e x Démontrer que h est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 3 En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 4 Déterminer la solution particulière fde l'équation (E) qui vérifie la condition f(0) = 1. B. Etude d'une fonction Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = (x 1) e x Sa courbe représentative C est donnée dans le repère de l'annexe ( à rendre avec la copie ). 1 a) Calculer lim f(x) b) On admet que lim x ex = 0. En déduire lim f(x). x x c) Interpréter géométriquement le résultat obtenu au b). a) Démontrer que, pour tout x de IR, f '(x) = ( x 1) e x b) Résoudre dans l'inéquation f '(x) 0. c) En déduire le sens de variation de f sur IR. 3 a) A l'aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle t et, donner le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction x ex. b) En déduire que le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction f est : f(x) = 1 x + 3 x3 + x 3 ε (x) avec lim ε (x) = 0 x 0 c) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 et la position relative de C et au voisinage de ce point. d) Tracer T dans le repère de l'annexe. C. Calcul intégral 1 Soit α un réel strictement négatif; On pose I (α) = 0 f(x) dx α Démontrer que I (α) = α 3 4 e α On pourra effectuer une intégration par parties. a) Calculer la limite de I (α) quand α tend vers. b) A l'aide d'une phrase, donner une interprétation graphique de ce résultat.

2 EXERCICE II ( 9 points ) Partie A : résolution d'une équation différentielle. On considère l'équation différentielle (E) définie sur IR par : (E) : y '' 3 y ' + y = 4 e x. 1 Donner la forme générale des solutions de l'équation (E ' ) : (E ' ) : y '' 3 y ' + y = 0. Déterminer le réel a pour que la fonction g définie sue IR par g(x) = a x e x soit solution de l'équation (E). 3 a) Déduire des questions précédentes la solution générale de l'équation (E). b) Déterminer la solution f de l'équation (E) dont la courbe représentative passe par le point S(0 ; ) et admet en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses. Partie B : étude d'une solution particulière de l'équation différentielle (E) Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = e x (1 x). On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i ; j ); unité graphique cm. 1 a) Étudier la limite de f en. b) Étudier la limite de f en +. En déduire que C admet une asymptote (que l'on précisera). Préciser la position de C par rapport à cette asymptote. Étudier les variations de la fonction f sur IR. Hors barème 3 Tracer la courbe C. 4 A l'aide d'une intégration par parties, déterminer l'aire, exprimée en cm², du domaine limité par C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = et x = 0. Donner la valeur de cette aire arrondie au mm².

3 A 1 y' y = 0 y' x =. Solutions de la forme : x k e y h(x) = x e x et h '(x) = e x + x e x h'(x) h(x) = e x + x e x x e x = e x h est bien une solution particulière de l'équation différentielle (E). 3 les solutions sont de la forme : x x e x + k e x 4 f(x) = x e x + k e x. f(0) = 1 0 e 0 + k e 0 = 1 k = 1 et donc f(x) = x e x e x = (x 1) e x B 1 a) f(x) = x e x e x. On a : lim x 1 = + et lim e x = + donc lim f(x) = +. b) lim x x ex = 0 et lim x ex = 0 donc lim x f(x) = 0 c) la droite d'équation ' y = 0" est asymptote à à C. a) u (x) = x 1 et u '(x) = 1 v(x) = e x et v'(x) = e x donc f '(x) = 1 e x + (x 1) e x = (1 + x ) e x = ( x 1) e x b) f (x) 0 x 1 0 x 1 c) 3 a) e t = 1 + t + t + t3 6 + t ε 1(t) e x = 1 + x + ( x) + ( x)3 6 (e x > 0) + x ε (x) = 1 + x + x + 4 x3 3 + x ε 3 (x) f(x) = (x 1) (1 + x + x + 4 x3 3 + x ε 3 (x)) = x + x + x 3 1 x x 4 x3 3 + x ε 4 (x) = 1 x + 3 x3 + x 3 ε 4 (x) c) Equation tangente : " y = 1 x " 3 x3 est du signe de x donc pour x voisin de 0 on a C au dessous avant 0 puis C au dessus x x3 C au dessous C au dessus C 1 I (α) = 0 (x 1) e x dx α u(x) = x 1 et u '(x) = 1 v '(x) = e x et v(x) = e x 0 intégration par partie : I (α) = (x 1) e x α e x α 0 dx = (0 1) e0 α 1 e α e x 0 4 = 1 α α e α + e α e α 4 = 3 4 α e α + 3 e α = α 3 4 e α a) lim α e α = lim e α = 0 donc lim 3 α α α 4 α e α + 3 e α = x 1/ + signe de f ' f e/ b) 3 4 représente, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan limité par : la droite d'équation " x = 0 ", la courbe C et la tangente T.

4 Partie A 1 Equation caractéristique : r 3 r + = 0 (r 1) (r ) = 0 r = 1 ou r =. Les solutions sont de la forme x λ ex + µ e x g(x) = a x e x et g '(x) = a e x + a x e x et g "(x) = a e x + a e x + 4 a x e x g "(x) 3 g '(x) + g(x) = 4 e x a e x + a e x + 4 a x e x 3 (a e x + a x e x ) + a x e x = 4 e x a e x + a e x 3 a e x = 4 e x 4 a x e x 6 a x e x + a x e x x a = 4 On a donc g(x) = 4 e = 0 3 a) f(x) = λ e x + µ e x 4 e x b) La courbe représentative de f passe par le point S(0 ; ) et admet en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si f(0) = et f'(0) = 0. f(x) = λ e x + µ e x 4 x e x et f '(x) = λ e x + µ e x 8 x e x 4 e x f(0) = 0 f(x) = λ e 0 + µ e e 0 = λ + µ = f '(0) = 0 λ e 0 + µ e e 0 4 e 0 = 0 λ + µ = 4 λ + µ = λ + µ = 4 µ = λ = 0 f(x) = e x 4 e x = e x (1 x). Partie B 1 a) f(x) = e x (1 x) = e x 4 x e x lim x e x = lim X ex = 0 et lim x x e x = lim X X ex = 0 donc lim f(x) = 0. x b) lim (1 x) = et lim e x = + donc lim f(x) = + lim f(x) = 0 donc la droite T d'équation "y = 0" est asymptote à C. x Pour étudier la position de C par rapport à T il faut étudier le signe de f(x) = e x (1 x). e x (1 x) > 0 1 x > 0 x < 1 x 1/ f(x) + C au dessus C au dessous f '(x) = 4 e x (1 x) + e x ( ) = (4 (1 x) 4) e x = 8 x e x < 0 Hors barème 4 f est positive sur [ ; 0 ] donc en unité d'aire on a A = 0 f(x) dx UA = 0 f(x) dx 4 cm x 0 + signe de f ' + 0 f 0 u(x) = 1 x et u '(x) = v '(x) = e x et v(x) = e x donc 0 e x (1 x) dx = [(1 x) e x ] 0-0 e x dx = (1 0) e 0 (1 + 4) e 4 + [e x ] 0 - = 1 5 e + 1 e = 1 4 e A = e 1,84

5 3 y 0 x