Rational Expectations

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1 Rational Expectations Vives (2008) Information and Learning in Markets Chapitre 4 Partie 2

2 Les informés bougent en premier Ce modèle est tiré de Vives (1995) et Medrano (1996). Un titre avec les mêmes propriétés que précédemment est transigé par différents investisseurs. Une proportion ν [0,1] de négociants soumettent des ordres limite: X(s i, p) pour i [0,ν]. Une proportion 1 ν [0,1] de négociants soumettent des ordres au marché: Y (s i ) pour i (ν,1]. θ N(θ,σ 2 θ ), s i = θ + ε i, ε i N(0,σ 2 ε) 2

3 Les informés bougent en premier Le prix de l actif est déterminé par des market makers compétitifs et neutres au risque ayant accès au livre d ordres représenté par L( ): p = E[θ L( )]. Le fait que les informés bougent en premier permet aux market makers de voir le livre d ordre avant de fixer le prix de transaction. Les market makers effectuent les transactions permettant à l offre d être égale à la demande. Tous les négociants (excluant les market makers) ont le même degré d aversion au risque ρ. 3

4 Les informés bougent en premier Supposons que chaque négociant i [0,ν] soumette un ordre X(s i, p) = a(s i θ) + ξ(p) et que chaque négociant i (ν,1] transige selon une fonction Y (s j ) = c(s j θ). Le livre d ordres est donc donné par (u N(0,σ 2 u)) L(p) = Z ν 0 X(s i, p)di + Z 1 = (νa + (1 ν)c)(θ θ) + u } {{ } A } {{ } z = z + νξ(p). ν Y (s j )d j + u + νξ(p) 4

5 Les informés bougent en premier Les market makers observent L( ), déduisent z et fixe p = E[θ z]: p = θ + λz avec λ = Aτ u /τ, τ = (Var(θ z)) 1 = τ θ + A 2 τ u. La linéarité dans le prix implique que p = E[θ z] = E[θ p]. La volatilité ex-ante du prix est donnée par Var(p) = τ 1 θ τ 1 5

6 Équilibre Il existe un unique équilibre linéaire bayesien donné par X(s i, p) = a(s i p) et Y (s j ) = c(s j θ), où a = ρ 1 τ ε, c = (ρ(σ 2 ε + Var(p))) 1 et p = E[θ z] = θ + λz, avec z = A(θ θ) + u, λ = Aτ u /τ et A = νa + (1 ν)c. 6

7 Équilibre: discussion Dû à la présence de market makers neutres au risque, les négociants envoyant des ordres limite ne font que spéculer, ils n agissent pas en tant que market makers. Les négociants envoyant des ordres au marché spéculent sur la différence entre leur signal privé et l espérance ex-ante tout en tenant compte de l effet de σ 2 ε, ρ et Var(p). Notez que c < a dû au risque d exécution de prix Var(p). Si ν, A, impliquant que Var(p) et τ. L effet sur λ est ambigu. 7

8 Équilibre: discussion Supposons que les négociants diffèrent en termes d aversion au risque et de précision de signal. Alors, si placer un ordre limite implique un petit coût positif: Les négociants avec un niveau élevé d avantage informationnel ajusté pour la tolérance au risque (un ρ 1 i τ εi élevé) envoient des ordres limite; Les négociants avec un niveau faible d avantage informationnel ajusté pour la tolérance au risque (un ρ 1 i τ εi faible) envoient des ordres au marché. 8

9 Cas particuliers Supposons que ν = 1. Si τ 1 u, alors (i) τ et (ii) λ 1 ; si le marché devient plus bruyant, le prix devient moint informatif mais la liquidité du marché s améliore puisque la sélection adverse devient moins sévère. Si τ 1 ε ou ρ, alors (i) τ et (ii) λ 1 ; si l avantage informationnel ajusté pour l aversion au risque des négociants se détériore, alors moins d information est incorporée dans le prix. Une moins grande quantité d information dans le prix détériore la profondeur du marché mais la réduction de la sélection adverse l améliore. 9

10 Cas particuliers Supposons que ν = 1. Le [ volume anticipé de transactions informées et donné par R ] E 1 0 X(s i, p)di = (2π) 1/2 a τ 1. Celui-ci augmente avec la quantité de noise trading τ 1 u et augmente avec la précision de l information privilégiée τ ε. Quand τ ε 0, (2π) 1/2 a τ 1 0 et les market makers absorbent le déséquilibre des ordres sans ajuster le prix: λ = 0 et p = θ. Si ν = 0, alors le modèle est comparable à une compétition à la Cournot. 10

11 Les informés bougent en premier: résumé La présence de market makers neutres au risque fait en sorte que les prix reflètent toute l information publique disponible. Les négociants n envoyant que des ordres au marché sont plus prudents en utilisant leur information que les négociants envoyant des ordres limite. Une augmentation du nombre de négociants envoyant des ordres limite augmente la précision des prix ainsi que leur volatilité. 11

12 Jusqu à maintenant, aucune explication n a été fournie concernant les motivations des noise traders. Les noise traders sont cependant souvent essentiels à la résolution de modèles de microstructure des marchés. Dans cette section, les noise traders sont représentés par des hedgers averses au risque. 12

13 Le titre risqué est un contrat futures pour un bien (agricole ou autre commodité) avec un prix spot futur aléatoire θ. Le contrat futures se transige à un prix p. Les producteurs du bien désirent couvrir leur production à l aide du marché futures générant un prix au temps t = 2, obtiennent de l information privilégiée sur leur commodité au temps t = 1 et la commodité commence à être produite au temps t = 0. 13

14 L information privilégiée des producteurs ne peut les aider dans le processus de production mais elle les aide à spéculer sur le marché des futures. L information privilégiée des producteurs crée un problème de sélection adverse dans le marché des futures où opèrent des spéculateurs non informés (market makers) ainsi que d autres hedgers. L asymétrie d information vient contrecarrer l efficacité de la couverture des producteurs ce qui, en retour, a tendance à diminuer leur production. 14

15 Modèle Un actif risqué (le contrat futures) avec une valeur liquidative aléatoire θ N(θ,σ 2 θ ) et un actif sans risque avec rendement unitaire sont transigés par un continuum de spéculateurs non informés, un continuum de hedgers et un continuum de spéculateurs informés. Tous les participants du marchés sont averses au risque et agissent de manière compétitive. Le titre risqué se transige à un prix p et génère un rendement θ p. 15

16 Négociants informés Continuum de négociants informés avec masse unitaire produisant un bien avec valeur aléatoire θ. Chaque agent informé reçoit un signal s = θ + ε, où θ et ε sont indépendants et où ε N(0,σ 2 ε). Un informé produit une quantité q à un coût C(q) = c 1 q + c 2 q 2 /2 avec c 1,c 2 > 0. L utilité d un informé est donnée par U I (W I ) = e ρ IW I, ρ I > 0, où W I = θq C(q) + (θ p)x I, la variable x I représentant la quantité de contrats futures achetés. 16

17 Négociants informés Un négociant informé soumet une cédule de demande contingente à son information privilégiée s. Si x I > 0, il est un acheteur net de futures. Nous verrons qu à l équilibre E[x I ] < 0, i.e. un informé tend à vendre sur le marché des futures. Un négociant informé transige pour trois raisons: Pour couvrir son exposition à sa production; Pour spéculer sur la différence entre s et p; Spéculer sur la différence entre p et θ (market making). 17

18 Market makers Continuum de market makers avec masse unitaire. La richesse finale d un market maker est donnée par W U = (θ p)x U, x U représentant sa position sur le marché des futures. Les market makers tentent de profiter des positions de couverture des producteurs et des hedgers. L utilité d un market maker est donnée par U U (W U ) = e ρ UW U, ρ U > 0. Les market makers soumettent des cédules de demande. 18

19 Hedgers Un continuum de hedgers avec masse unitaire. Hedger j est muni d une quantité u j d un actif avec valeur aléatoire z N(z,σ 2 z ) corrélée avec la valeur de θ: ) Corr(z,θ) = r θ,z z = σ z ((r θ,z /σ θ )θ + y 1 rθ,z 2 où y N(0,1). Richesse finale du hedger j donnée par W j = u j z + (θ p)x j, x j étant sa position dans le contrat futures. L utilité du hedger j est donnée par U H (W j ) = e ρ HW j, ρ H > 0. Hedger j est le seul à connaître u j et envoie une cédule de demande X H (u j, ). u j = u + η j avec u N(0,σ 2 u), η j N(0,σ 2 η) et Cov(u,η j ) = 0. 19

20 Hedgers Hypothèse: R 1 0 η j d j = 0 presque sûrement et ainsi R 1 0 u j d j = u presque sûrement. La principale motivation des hedgers est de transiger afin de réduire leur risque. 20

21 Timing Temps t = 0: Les producteurs choisissent un niveau de production q, celui-ci étant alors connu de tous. Temps t = 1: Chaque producteur reçoit un signal privé s = θ + ε, chaque hedger j reçoit u j et les cédules de demande sont soumises au marché. Temps t = 2: Un prix équilibrant le marché est déterminé et les transactions ont lieu. Temps t = 3: Les valeurs liquidatives de z et θ sont connues. 21

22 Hypothèses sur les distributions des variables aléatoires Sauf pour z et θ, toutes les variables aléatoires du modèle sont non corrélées. ξ représente le carré de la corrélation entre s et θ, i.e. ξ = σ 2 θ σ 2 θ + σ2 ε. ξ u représente le carré de la corrélation entre u et u j, i.e. ξ u = σ 2 u σ 2 u + σ 2. η 22

23 Fonction de demande des hedgers La condition de premier ordre pour les hedgers donne X H (p,u j ) = E[θ p p,u j] ρ H u j Cov(z,θ p,u j ). ρ H Var(θ p,u j ) Demande spéculative: E[θ p p,u j ] ρ H Var(θ p,u j ) Demande de couverture: ρ Hu j Cov(z,θ p,u j ) ρ H Var(θ p,u j ) 23

24 Fonction de demande des non informés La condition de premier ordre pour les non informés donne X U (p) = E[θ p p] ρ U Var(θ p). 24

25 Fonction de demande des informés Pour les informés, la condition de premier ordre donne X I (s, p) = E[θ p s] ρ I Var(θ s) q. Demande spéculative: E[θ p s] ρ I Var(θ s) Demande de couverture: q, soit la totalité de la quantité produite, à condition que les informés soient imparfaitement renseignés, i.e. ξ < 1. 25

26 Équilibre Supposons que les fonctions de demande soient les suivantes: X I (s, p) = a(s θ) + b I (θ p) γ I q X U (p) = b U (θ p) γ U q X H (p,u j ) = b H (θ p) δu j γ H q où a,b I,b U,b H,γ I,γ U,γ H et δ sont des paramètres exogènes non aléatoires. 26

27 Équilibre La condition d équilibre du marché X U (p) + X U (p,u) + X I (s, p) = 0, où X H (p,u) = R 1 0 X H (p,u j )d j = b H (θ p) δu γ H q, donne Posons p = θ γ I + γ U + γ H b I + b U + b H q + a(s θ) δu b I + b U + b H. Λ = b I + b U + b H et Γ = γ I + γ U + γ H Λ. 27

28 Équilibre L inclusion de la fonction de prix dans les fonctions de demande de chacun des participants permet alors de trouver les coefficients. Si ξ < 1, il existe un unique équilibre bayesien linéaire caractérisé par X I (s, p) = a(s θ) + b I (θ p) q X U (p) = b U (θ p) γ U q X H (p,u j ) = b H (θ p) δu γ H q p = θ Γq + a(s θ) δu Λ où Λ = b I + b U + b H et Γ = γ I+γ U +γ H Λ. 28

29 Équilibre Les coefficients a,b I,b U et b H sont donnés par a = b I = b U = b H = 1 ρ I σ 2 ε 1 ρ I (1 ξ)σ 2 θ δ 2 σ 2 uσ 2 θ (ρ H((1 ξ u )δ 2 σ 2 u + a 2 σ 2 ε) + aξ u ) (ρ U (δ 2 σ 2 u + a 2 σ 2 ε) + a)(ρ H ((1 ξ u )δ 2 σ 2 u + a 2 σ 2 ε) + a) a 2 δ 2 σ 2 uσ 2 θ (ρ U (1 ξ u )(δ 2 σ 2 u + a 2 σ 2 ε) aξ u ) (ρ U (δ 2 σ 2 u + a 2 σ 2 ε) + a)(ρ H ((1 ξ u )δ 2 σ 2 u + a 2 σ 2 ε) + a) a 2 29

30 Équilibre Les coefficients γ H et γ U sont donnés par γ H = a ρ H ((1 ξ u )δ 2 σ 2 u + a 2 σ 2 ε)(1 + ae) γ U = a ρ U (δ 2 σ 2 u + a 2 σ 2 ε)(1 + ae) 30

31 Équilibre Le prix espéré est donné par p = θ Γq, soit la valeur liquidative anticipée moins une prime de risque. Le paramètre Λ = b I + b U + b H est relié à la profondeur du marché: λ = p u = δ Λ La précision du prix τ = (Var(θ p)) 1 est donnée par τ > τ θ seulement si a > 0. τ = τ θ + 1 τ 1 ε + δ 2 (a 2 τ u ) 1. 31

32 Équilibre Les producteurs sont des offreurs nets du titre risqué: E[x I ] = q((a + b I )Γ 1) < 0. La valeur anticipée de la demande spéculative est positive mais l offre anticipée pour fins de couverture est plus élevée. 32

33 Équilibre Il est possible de démontrer que lorsque ξ augmente, i.e. lorsque les informés deviennent mieux renseignés, le coefficient de demande spéculative des informés (a) augmente alors que la sensibilité des demandes spéculatives des non informés (b U ) et des hedgers (b H ) diminuent. En d autres mots, lorsque les informés deviennent mieux renseignés, les négociants non informés réduisent la profondeurs du marché. 33

34 Équilibre Si ξ = 1 ou ρ I = 0, alors le prix est donné par p = E[θ s]. Si ξ = 1, alors l équilibre est pleinement révélateur (p = θ). 34

35 Hedgers et noise traders Un hedger possède une fonction de demande similaire à celle d un noise trader lorsque z est parfaitement corrélé avec θ et l avantage informationnel ajusté pour la tolérance au risque d un hedger, ξ u /ρ H, approche zéro: X H (p,u) u lorsque σ θ,z = σ 2 θ et ρ H 35

36 Production En utilisant l utilité espérée d un producteur au temps t = 0, nous trouvons q = θ c 1 c 2 + ρ I σ 2 θ (1 d), où d est un terme relié à l efficacité de couverture du marché: ( E[XI (s, p)]/q + ρ I (ξ/σ 2 θ d = (1 ξ) )Cov(E[θ s],x I(s, p)) ) Var(X I (s, p)) 36

37 Production Si d 0, le niveau de production atteint son plus faible niveau. Notez que d 0 lorsque ξ 1, i.e. la sélection adverse qui règne dans le marché des futures lorsque l information des informés est parfaite réduit considérablement l efficacité de couverture de ce marché. 37