Microéconomie B Interrogation du Mercredi 24 Novembre 2010 Durée : 1h30

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1 Univesité Pais Ouest Nantee La Défense Année univesitaie UFR SEGMI L Economie-Gestion Micoéconomie B Inteogation du Mecedi 4 Novembe 010 Duée : 1h30 Aucun document n est autoisé et les calculatices sont intedites. La qualité de l expession, la claté et la pécision du popos, la igueu de l agumentation seont pises en compte dans la notation. Execice 1 : (11 points) Soit une entepise qui poduit un bien au moyen de deux facteus de poduction : le capital et le tavail. Sa containte technologique est décite pa la fonction de poduction suivante : q = f (, = 1/ + L Où q est la quantité poduite du bien. 1) Que signifie l expession «endements d échelle»? Dans le cas de la fonction de poduction de l execice, quelle est leu natue? ( points) ) Définissez économiquement et mathématiquement les notions de poductivité moyenne et de poductivité maginale pou chacun des facteus de poduction. (1.5 point) 3) Définissez les notions de containte technologique et d ensemble de poduction. (1 point) 4) On suppose, maintenant, que les coûts unitaies du facteu tavail (noté ) et du facteu capital (noté ) sont donnés et égaux à unités. a. Quelle est l'équation qui définit l'isoquante? Que epésente-t-elle économiquement? Tacez les isoquantes pou q = 1 et pou q = en tenant compte de la condition suivante : L < q. ( points) b. Calcule le TMST L. Que emaquez-vous? (1 point) c. Quelle est l'équation qui définit l'isocoût? Que epésente-t-elle économiquement? (1 point) d. En déduie la condition de minimisation du coût de poduction pou une solution intéieue. (1 point) e. Définissez le sentie d expansion et déteminez son équation pou les solutions intéieues. (0.75 point) f. Définissez économiquement les fonctions de coût total, de coût moyen et de coût maginal. (0.75 point)

2 Execice : L'abitage tavail-loisi (9 points) Soit le pogamme du consommateu : Max U(l, = αc l s / c l + pc H + R 1) Intepétez les deux équations en donnant péalablement une définition de tous les symboles qui y appaaissent. Donnez ensuite la signification économique et mathématique de la fomule «abitage tavail-loisi». (1,5 point) ) Résolvez le pogamme du consommateu. Founissez une epésentation gaphique. (1 point) 3) Étudiez, sépaément, les effets d'une vaiation positive de p, et R su la demande de loisi et su la demande de consommation. ( points) Posons =p=1, H=, R= et α=1/. 4) Calcule la demande de loisi, la demande de consommation et l'utilité du consommateu. (1 point) Le salaie augmente de 50% alos que le evenu non salaial baisse de 50%. 5) Donnez les nouvelles valeus de la demande de loisi et de la demande de consommation. Les individus ont-ils augmenté leu utilité? Founissez une epésentation gaphique. (1.5 point) 6) Détemine l'expession de l'utilité indiecte. De combien doit s'éleve le evenu non salaial pou que les individus etouvent leu niveau d'utilité pécédent? Founissez une epésentation gaphique. ( points) On vous donne les acines du polynôme x + 6x 15, qui valent x1 0,9 et x 7,9. Coigé de l execice 1 : (11 pts) Soit une entepise qui poduit un bien au moyen de deux facteus de poduction : le capital et le tavail. Sa containte technologique est décite pa la fonction de poduction suivante : q = f (, = 1/ + L Où q est la quantité poduite du bien. 1) Que signifie l expession «endements d échelle»? Dans le cas de la fonction de poduction de l execice, quelle est leu natue? ( points)

3 1) Calcul des endements d échelle pa le degé d homogénéité. 1/ 1/ 1/ α f ( λ, λ = ( λ) + λl = λ + λl λ f (, La fonction n est pas homogène (1pt) Cette méthode n est pas applicable Les endements d échelle sont coissants ssi : f ( λ, λ > λf (, f ( λ, λ λf (, > 0 1/ 1/ 1/ λ + λl λ λl > 0 1/ 1/ 1/ λ λ > 0 1/ 1/ ( λ λ) > 0 Comme 1/ > 0 on a alos : 1/ ( λ λ) > 0 1/ λ > λ 1/ 1 > λ 1 > λ O ceci est faux et donc pa conséquent les endements d échelle ne sont pas coissants mais décoissants. (1 pt) ) Définissez économiquement et mathématiquement les notions de poductivité moyenne et de poductivité maginale pou chacun des facteus de poduction. (1.5 point) * Economiquement : - La poductivité moyenne expime la poduction pa unité de facteu employée (0.5) - La poductivité maginale expime le supplément de poduction associé à l emploi d une unité supplémentaie du facteu employé (0.5) * Mathématiquement : 1/ PT ( - La poductivité moyenne du tavail: PM ( = = + 1 (0.5) L L PT ( - La poductivité maginale du tavail: Pm ( = = 1 (0.5) L PT ( L - La poductivité moyenne du capital : PM ( ) = = 1/ + (0.5) PT ( ) 1 1/ - La poductivité maginale du capital : Pm ( ) = = (0.5) 3 Définissez les notions de containte technologique et d ensemble de poduction. (1 point) - La containte technologique décit la elation ente les quantités utilisées de facteu de poduction et la quantité maximale de poduction qui peut ête obtenue (équivalent avec : la elation ente les quantités utilisées minimales de facteus de poduction et la quantité de poduction obtenue). (0.5)

4 - L ensemble de poduction décit toutes les combinaisons possibles de quantités de facteu de poduction et de poduction : pami l ensemble de poduction la containte technologique décit les meilleues combinaisons au sens où elle donne la poduction la plus impotante pou une même quantité de facteu. (0.5) 4) On suppose, maintenant, que les coûts unitaies du facteu tavail (noté ) et du facteu capital (noté ) sont donnés et égaux à unités. a. Quelle est l'équation qui définit l'isoquante? Que epésente-t-elle économiquement? Tacez les isoquantes pou q = 1 et pou q = en tenant compte de la condition suivante : L < q. ( points) = c = a. * Economiquement : L isoquante décit l ensemble des combinaisons de facteus de poduction donnant lieu au même niveau de poduction. (0.5) * Mathématiquement : l équation de l isoquante est obtenue en imposant q = q 1/ + L = q 1/ = q L = ( q = q q L + L : équation de l isoquante. (0.5) * Repésentation gaphique de l isoquante: Ce sont des paaboles dans le plan (L,), qui passent pa un minimum au point (L,) = (q,0). Il ne faut évidemment les considée que pou L compis ente 0 et q ( vaiant alos de q à 0) puisque L > q impliqueait < 0, et donc élimine les banches coissantes des paaboles. Losque q augmente, les isoquantes se déduisent les unes des autes pa tanslation latéale ves la doite, paallèlement à elles mêmes, à cause de la constance de la poductivité maginale du tavail : (0.5) A L (0.5) b. Calcule le TMST L. Que emaquez-vous? (1 point) * Calcul du TMST, L

5 On a : Pm ( = 1 et 1 Pm ( ) = 1/ le TMST = ne dépend pas de L. (1 pt) L c. Quelle est l'équation qui définit l'isocoût? Que epésente-t-elle économiquement? (1 point) * Economiquement : On appelle doite d isocoût, l ensemble des combinaisons de facteus coespondant à un cetain niveau de coût de poduction. (0.5) * Mathématiquement : CT = CT L + = CT = CT L CT = L Application numéique : CT = L Equation de la doite d isocoût (0.5) d. En déduie la condition de minimisation du coût de poduction pou une solution intéieue. (1 point) L équilibe du poducteu véifie l égalité des pentes de l isoquante et de la doite d isocoût (en le point de tangence de deux coubes, leus pentes sont égales). (0.5) Sachant que la pente de l isoquante est le TMST,L (égale au appot des poductivité maginales) et que la pente de l isocoût est le appot des pix des facteus, la condition d équilibe est : TMST, L = Pm( - = Pm( ) Pm( = (0.5) Pm( ) e. Définissez le sentie d expansion et déteminez son équation pou les solutions intéieues. (0.75 point) Le sentie d expansion décit l ensemble des combinaisons optimales de facteus de poduction quelque soit le niveau de la poduction. (0.5) Pou détemine son expession, utilisons la condition d optimalité : TMST, L = 1/ 1 = 1 = équation du sentie d expansion (0.5) 4 f. Définissez économiquement les fonctions de coût total, de coût moyen et de coût maginal. (0.75 point)

6 * Economiquement : - La fonction de coût total expime le coût minimum de la poduction selon le niveau de la poduction (0.5) - La fonction de coût moyen expime le coût pa unité poduite (0.5) - La fonction de coût maginal expime le coût maginal expime le supplément de coût associé à la éalisation d.une quantité supplémentaie de poduction (0.5) Coigé de l execice : (9 points) 1) Intepétez les deux équations en donnant péalablement une définition de tous les composants. Donnez ensuite la signification économique et mathématique de la fomule «abitage tavail-loisi». (1,5 points) U : Utilité (péféence des individus) ; l : Loisi ; C : Consommation ; α : paamète ; : taux de salaie nominal ; p : Pix unitaie de la consommation ; H : Temps total disponible à épati ente tavail et loisi ; R : Revenus non salaiaux. (0,5 pt) La pemièe équation epésente la fonction d'utilité du consommateu. Celle-ci est coissante du loisi et de la consommation. Plus les individus augmente leus temps de tavail et leu consommation, plus leu utilité augmente. (0,5 pt) La seconde équation est la containte budgétaie du consommateu. Il doit gagne plus que ce qu'il ne dépense. Ainsi l'individu vend tous sont temps disponible et, avec ses evenus non salaiaux, il achète son temps de loisi et consomme. On peut alos assimile au coût d'oppotunité de du loisi (le pix du loisi). (0,5 pt +0,5 pt pou le coût d'oppotunité) Économiquement, l'abitage tavail-loisi est le choix optimal qu'effectue l'individu ationnel ente temps de loisi et temps de tavail émunéé pemettant de consomme. Il maximise son utilité sous une containte budgétaie. Il ne peut pas tavaille plus que le temps total (H) et dépense plus que ce qu'il ne gagne. (0,5 pt) Mathématiquement la maximisation consiste à echeche, pou une containte budgétaie donnée, le niveau d'utilité maximal. Ainsi l'opéation de maximisation pemet de touve le point de tangence ente la fonction d'utilité et la containte budgétaie. (0,5 pt) ) Résolvez le pogamme du consommateu. Founissez une epésentation gaphique. (1 pt) TMS ( C, l) = p l + pc = H + R Le taux maginal de substitution est égale au appot des pix et la containte budgétaie (CB) est satuée (0,5 pts). D'où, C = (1) (0,5 pt) l p (1) et (CB) : Donc :

7 H + R l = (demande de loisi ; (0,5 pt) H + R C = (demande de consommation ; (0,5 pt) p Gaphique (0,5 pt): Il faut évidemment faie appaaîte : la CB avec les points emaquables : [(H+R)/l ; 0] et [0 ; H + R/]. H et la zone d'impossibilité (on ne peut pas tavaille plus de H!). La coube d'utilité tangente à la CB. Et enfin l * et C *. 3) Étudiez, sépaément, les effets d'une vaiation positive de p, et R su la demande de loisi et su la demande de consommation. ( pts) Il suffit de faie les déivés patielles de l * et C * pa appot à, p et R et d'enduite egade quel est en est le signe de chacune d'elles : Pou l : Salaie () : dl /d= R Losque le salaie coit, la demande de loisi baisse (coût d'oppotunité). Pou C : Pix (p) : dc /d= H p Losque le salaie coit, la demande de consommation augmente. Pou l : dl /dp= 0 Losque le pix de la consommation augmente, la demande de loisi est constante. Pou C : Pou l : Pou C : Losque le pix de la consommation augmente, la demande de consommation baisse. Revenus non salaiaux (R) : dl /dr= 1 Losque les evenus non salaiaux augmentent, la demande de loisi coit.

8 dc /dr= 1 p Losque les evenus non salaiaux augmentent, la demande de consommation coit. (0,5 pt pa déivée éussie et 0,5 pt de bonus si tout est bon) 4) Calculez la demande de loisi, la demande de consommation et l'utilité du consommateu. (1 pt) La demande de loisi (0,5 pt): l = H + R 1 * + l = *1 l= La demande de consommation (0,5 pt): H + R C = p 1 * + C = *1 C= L'utilité du consommateu (0,5 pt): 1 = αcl = ( * * ) = 5) Donnez les nouvelles valeus de demande de loisi et de demande de consommation. Les individus ont-ils augmenté leu utilité? Repésentez gaphiquement cette évolution. (1,5 pt) Les nouvelles valeus de et R sont '=3/ et R'=1, d'où : La nouvelle demande de loisi (0,5 pt): H + R' l' = (3/ ) * + 1 l ' = * (3/ ) l ' = 4 /3 La nouvelle demande de consommation (0,5 pt): H + R' C' = C ' = p (3/ ) * *1 + 1 C = La nouvelle utilité du consommateu (0,5 pt) :

9 1 4 U '( l', C' ) = αc' l' U '( l', C') = ( * * ) 3 U '( l', C' ) = 4 / 3 Comme U>U' les individus ont pedu de l'utilité. Pou la epésentation gaphique il faut monte le déplacement de la CB, de la coube d'indifféence et, a fotioi, de l'équilibe. (0,5 pt) 6) Déteminez l'expession de l'utilité indiecte. De combien doit s'éleve le evenu non salaial pou que les individus etouvent leu niveau d'utilité pécédent? Repésentez gaphiquement cette toisième évolution. ( pts) D'apès les équation de U, C et l, l'utilité indiecte coespond à : d'où, H + R H + R = α ( )( ) p H + R = α ( ) 4p Pou touve l'augmentation de R nécessaie au maintient de l'utilité U= on se set de l'équation de l'utilité indiecte avec la nouvelle valeu du salaie nominal. D'abod on calcul R'' le evenu non salaial qui pemet de gade le même niveau d'utilité. = 1 *( (3/ * + R'') (4*3/ *1) (3 + R'' ) = 1 R '' = 4 3 R ' ' 1,9 On peut maintenant calcule l'augmentation de R,, pemettant à l'individu de conseve son niveau d'utilité initial : = R ' ' R' 0,9 Cette fois ci le gaphique monte que seule la CB évolue (pa appot à la pemièe situation) et que le niveau d'utilité este le même (U=U''=). )

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