Programmation. linéaire avecexcel. Christian Prins - Marc Sevaux. Groupe Eyrolles, 2011, ISBN :

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1 Programmato léare avecexcel Chrsta Prs - Marc Sevaux Groupe Eyrolles, 20, ISBN :

2 CHAPITRE 3 Emplos du temps et gesto de persoel 3. Itroducto La gesto du persoel est u élémet sesble de la ve des etreprses, rége par de ombreux facteurs qualtatfs et psychologques qu, a pror, e redet pas le suet propce à la modélsato quattatve par programmato léare. O peut même avacer deux rasos prcpales pour le coup d arrêt porté à la recherche opératoelle das les aées 970, avat so reouveau des aées 990 : d ue part, de grosses erreurs ot été commses e mapulat l homme comme ue ressource comme les autres das les modèles, d autre part, les chercheurs de l époque avaet pas les moyes formatques de leurs ambtos. Actuellemet, o cosdère que l optmsato peut redre de grads servces das les emplos du temps de persoel, qu costtuet u vra casse-tête chos, as que das la plafcato des besos e ressources humaes (staffg). La clé pour évter les réactos de reet est de e amas teter d mposer la soluto trouvée par l ordateur. E effet, de ombreuses cotrates subtles sot très dffcles à predre e compte e socologe et e psychologe. Cec favorse les logcels du type SIAD (systèmes teractfs d ade à la décso), das lequel le modèle propose et l être huma dspose, avec la possblté d auster teractvemet la soluto à ses besos exacts. Le premer problème cosste à affecter des persoes à des postes de traval pour maxmser la productvté d u ateler. Nous verros esute deux problèmes d emplos du temps : pour des frmères das u hôptal et pour des cours das u lycée. Le problème du 3.5 motre commet o peut optmser les gas d ue uté de producto e déplaçat du persoel d ue lge à l autre. Le chaptre se terme avec la plafcato de recrutemets et de départs de persoels sur u chater de costructo.

3 34 Programmato léare avec Excel 3.2 Affectatos de persoel à des postes 3.2. Problème Chacue des sx maches d u ateler dot recevor u opérateur. Sx persoes ot été pressetes. Chacue d elles a passé u test de productvté sur chaque mache. Le tableau 3. doe les productvtés obteues, e pèces par heure. Les maches sot e parallèle, c est-à-dre que la productvté totale de l ateler est la somme des productvtés des persoes affectées aux maches. Tableau 3. Productvtés e pèces par heure Maches Persoes L obectf est de détermer ue affectato des persoes aux maches permettat de maxmser la productvté totale. Commecez par calculer ue soluto avec la méthode heurstque (o optmale) suvate, très aturelle : chosr l affectato de plus grade productvté, barrez la lge et la coloe pusque la persoe est placée et la mache pourvue, et recommecez le processus usqu à obter sx affectatos. Trouvez esute ue soluto optmale avec u modèle de programmato léare. Résolvez ef le même problème optmalemet, mas pour des postes e sére Modélsato Cas des postes e parallèle Il s agt d u grad classque appelé problème d affectato (assgmet problem), qu apparaît auss au chaptre 0 (problème de correspodace d avos). Notos le ombre de persoes (et auss de maches), p la productvté de la persoe sur la mache. Ue premère dée pour coder ue affectato est de défr varables etères x valat etre et, x désgat le uméro de mache à laquelle la persoe est affectée. Avec ces varables, l est hélas mpossble de formuler de faço léare qu ue persoe dot être sur ue seule mache et qu ue mache dot recevor ue seule persoe. Ces cotrates sot e revache facles à formuler s o utlse 2 varables bares x, valat s et seulemet s la persoe est affectée à la mache (). ( ) K, K : x { 0,}

4 Chaptre 3 Emplos du temps et gesto de persoel 35 Le fat qu ue persoe sot affectée à u seul poste se tradut par ue somme des x égale à pour fxée (2). Pour exprmer qu u poste reçot ue seule persoe, l sufft d écrre que la somme des x pour fxé est égale à, cotrates (3). (2) (3) K : K : x x La focto-obectf de la relato (4), à maxmser, cumule les p pour les x valat. Le programme léare résultat est formé des lges () à (4). ( 4) Max p x Le problème d affectato peut être vu comme u problème de flot. Il sufft de défr u graphe bpart valué G (X,Y,U,P). X est u esemble de œuds désgat les persoes, Y u esemble de œuds pour les postes. U est u esemble d arcs décrvat les affectatos possbles des persoes aux postes. Das otre cas, l y a 2 arcs, mas o pourrat terdre certaes affectatos das le cas gééral. Chaque arc (, ) a ue capacté fe et u coût (productvté) p. Créos u œud source s, relé à chaque œud persoe par u arc (s, ) de capacté. Créos esute u œud puts t auquel est relé chaque œud poste par u arc (, t), égalemet de capacté. L affectato optmale correspod à u flot de débt et de coût total mmal das G : grâce aux capactés utares, le flot va tracer chems dsots de s à t, qu vot dquer les affectatos. Le problème d affectato, comme tous les problèmes de flots, a ue matrce totalemet umodulare (vor chaptre 2) : le PL relaxé a des solutos etères. Les cotrates () peuvet être remplacées par de smples cotrates de postvté. Il est pas écessare de précser que les varables x e dépasset pas, car cela est mplqué par les cotrates (2) ou (3). Le modèle peut être améagé pour trater des ombres dfférets de persoes et de postes. S, par exemple, o trate m persoes et maches, m >, o garde les cotrates (3) pour que chaque mache sot pourvue, mas o remplace (2) par (2'). (2') K m : x Certaes affectatos pourraet être mpossbles. O forcerat alors à 0 la varable x correspodate, ou o utlserat ue valeur égatve très pette (très grade e valeur absolue) pour p. S le graphe G des affectatos possbles est très peu dese, l vaut meux le coder par ue lste d arcs, comme das le problème de salage de rues du chaptre 4. Cas des postes e sére S les postes sot e sére, la persoe la mos productve sur so poste déterme la productvté totale de l ateler. Ue affectato est touours décrte par les 2 varables x () et les cotrates (2) et (3).

5 36 Programmato léare avec Excel Aoutos ue varable o égatve P m pour la productvté mmale. L obectf est de maxmser P m. Ce gere de problème d optmsato, où o cherche à maxmser u mmum, est dt max-m, maxm, ou bottleeck. Af d obter ue formulato léare pour ces problèmes, o procède touours de la même faço : Ue varable morate est défe pour les productvtés sur chaque poste (c P m ). Des cotrates sot aoutées pour morer les productvtés par P m. O maxmse P m, ce qu fat qu à l optmum au mos ue productvté est égale à P m et déft le goulot d étraglemet (bottleeck). Ue premère maère de morer les productvtés par P m est costtuée des 2 cotrates (5), das lesquelles M est ue grade costate postve. S o omettat le terme e M, o trouverat P m 0 pusque la maorté des x sot uls! Avec le terme e M, o obtet p.x P m s x 0, et ue cotrate trvalemet vérfée (p.x P m M) s x 0. L autre maère est assurée par les cotrates (6) : das chacue d elles, u seul x vaut d après les cotrates (2). Le programme léare résultat est doc formé des cotrates () à (3), des cotrates (5) ou (6), de la cotrate de postvté pour P m et de la ouvelle focto-obectf : Max P m. À cause des cotrates (5) ou (6), le PL est plus u problème classque d affectato, et sa matrce est plus totalemet umodulare. Les solutos etères e sot plus garates, et l faut doc cosdérer les cotrates (). (5) (6) K, K : p K : p x P x m P m M ( x ) Traducto e Excel Voyos d abord le cas à postes parallèles, tradut das le fcher C3-Affectato, oglet Affectato-Parallèle. La dsposto de l écra suvat est smple avec, à gauche, la matrce P des productvtés et, à drote, la matrce X des varables, la focto-obectf et les sommes de lges et de coloes correspodat aux cotrates (2) et (3).

6 Chaptre 3 Emplos du temps et gesto de persoel 37 Il y a que tros formules à sasr. Pour les sommes de lges, o déft das Q7 la formule "somme(j7:o7)", que l o cope esute das les cellules Q8 à Q2. Pour les sommes de coloes, o sère la formule "somme(j7:j2)" das J5 et o la recope das les cellules K5 à O5. Ef, la formule à sasr pour l obectf das la cellule Q5 est "sommeprod(b7:g2;j7:o2)". Le modèle à sasr das la boîte de dalogue du solveur est très smple. Il est même pas écessare de précser que les varables sot bares, comme ous l avos vu das la parte modélsato. Be etedu, l faut quad même spécfer das les optos que le modèle est léare et les varables postves. Le cas des postes e sére se trouve das l oglet Affectato-Sére du même fcher, obteu à partr de l oglet précédet e aoutat à drote la matrce des productvtés réelles p.x et le vecteur des sommes fgurat das les cotrates (6) (productvté des postes). La focto-obectf das Q5 devet ue varable, sas formule. Pour les productvtés réelles, o peut sasr la formule "B7*J7" das T7 et la coper das le reste de la matrce, ou sélectoer T7:Y2 à la sours et sérer la formule matrcelle "{J7:O2*B7:G2}" (l faut termer la sase par Ctrl + Ma + Etrée pour défr les accolades des formules matrcelles ; vor le 3.6.2). Pour les productvtés réelles des postes, o sast "somme(t7:t2)" das T5 et o cope cette formule das le reste de la plage.

7 38 Programmato léare avec Excel Das le modèle pour le solveur, o repred les deux types de cotrates d affectato mas o aoute les cotrates (6), o remplace la focto-obectf par la varable Q5, et o dot auss spécfer que les varables sot bares. O remarque qu ue cellule peut être à la fos ue varable et la focto-obectf, à codto qu elle e cotee pas de formule Résultats Le tableau 3.2 détalle les affectatos trouvées par la méthode heurstque et par PL (das le cas des postes e parallèle) et celle trouvée par PL (das le cas des postes e sére). La soluto heurstque correspod auss aux valeurs e gras du tableau 3.. L heurstque, très tutve, serat employée par la plupart des ges e coassat pas la programmato léare. Elle présete pourtat u écart otable par rapport à la productvté maxmale. Tableau 3.2 Affectatos trouvées Heurstque Persoe Productvté (postes //) Poste (productvté) 4 (9) (8) 6 (33) 2 (26) 3 (34) 5 (45) 75 PL Persoe Productvté (postes //) Poste (productvté) 3 (3) 5 (43) 4 (25) 6 (30) (28) 2 (36) 93 PL Persoe Productvté (e sére) Poste (productvté) 3 (3) 5 (43) 6 (33) 2 (26) (28) 4 (27) Emplo du temps d frmères 3.3. Problème M. Schedule est chargé d orgaser le plag des frmères du servce cardologe de l hôptal Sat-Joseph. Ue ourée de traval das ce servce est dvsée e douze créeaux de deux heures. Les besos de persoel varet d u créeau à l autre : par exemple, peu d frmères sot écessares pedat la ut, alors que l effectf dot être reforcé le mat af d assurer les dfférets sos à apporter aux patets. Le tableau 3.3 doe les besos e persoel pour chaque créeau.

8 Chaptre 3 Emplos du temps et gesto de persoel 39 Tableau 3.3 Besos e persoel par créeau Créeau de début Nombre mmal d frmères 00 h 02 h 5 02 h 04 h 5 04 h 06 h 5 06 h 08 h h 0 h 40 0 h 2 h 40 2 h 4 h 35 4 h 6 h 30 6 h 8 h 30 8 h 20 h h 22 h h 00 h 20 Questo : détermez le ombre mmal d frmères écessares pour couvrr tous les besos, sachat qu ue frmère travalle hut heures par our et qu elle pred ue pause de deux heures au bout de quatre heures de traval. Questo 2 : e fat ce servce e dspose que de 80 frmères, ce qu est pas suffsat pour couvrr tous les besos. M. Schedule propose alors à so persoel de travaller deux heures supplémetares par our. Ces deux heures sot aoutées aux quatre heures de traval après la pause. Détermez le plag de ce servce de faço à mmser le ombre d frmères effectuat des heures supplémetares Modélsato pour la questo Sot x le ombre d frmères commeçat à travaller au créeau (créeau 6 h à 8 h, créeau 2 8 h à 0 h, etc.) et m 2 le ombre de créeaux. L obectf est de mmser le ombre d frmères. La focto-obectf z est smplemet doée par () : o peut addtoer les varables x car chaque frmère tervet qu ue fos par our. ( ) M z m x O dot s assurer que le ombre d frmères est suffsat pour chaque créeau. As, par exemple, 35 frmères sot écessares pour le créeau. Comme l horzo temporel cosdéré est cyclque, le ombre d frmères travallat das ce créeau est égal au ombre d frmères ayat débuté leur servce aux créeaux 9, 0, 2 et. E effet, ue frmère commeçat par exemple à travaller au créeau 0 assure les créeaux 0 et, pred sa pause au créeau 2, pus assure les créeaux et 2 du our suvat. E otat b le beso e frmères pour le créeau, o obtet pour le créeau la cotrate (2). Notez qu o e peut pas écrre le sge égal car o e sat pas s l exste ue telle soluto. ( 2) x + x + x + x b 9 0 2

9 320 Programmato léare avec Excel O peut défr ue cotrate aalogue pour les oze autres créeaux, mas le modèle est pas géérque. Pour obter u modèle géérque, o remarque que l effectf au créeau est la somme des ombres d frmères débutat leur servce aux créeaux -4, -3, - et, e teat compte de l horzo cyclque : s par exemple, - est e fat le créeau 2. Pour coter etre et m, o utlse la focto modulo. Pour deux eters et k, cette focto otée mod k ou mod(,k) calcule le reste de la dvso etère de par k, qu pred les valeurs 0 à k-. Comme ous avos chos d dexer os varables à partr de, ous obteos u groupe de cotrates (3) avec ue expresso u peu plus complexe. ( 3) K m : x + xmod( + 7, m) + + xmod( + 8, m) + + xmod( + 0, m) + b Il reste à dquer que les varables dovet être etères, avec les cotrates (4). ( 4) K m : x IN Traducto e Excel pour la questo La feulle Questo du fcher Excel C3-Ifrmeres adopte la dsposto suvate. Nous avos déf les oms de plages suvats pour amélorer la lsblté : m pour B3, z pour B4, B pour B8:M8, X pour B9:M9 et Effectfs pour B0:M0. La formule pour la foctoobectf z est "somme(x)". La dffculté est évdemmet le calcul des membres de gauche des cotrates (3). Nous utlsos la focto Idex décrte au 3.6. et la focto Mod. L effectf pour B0 ( ) est calculé par "dex(x;b6) + dex(x;mod(b6+7;m)+) + dex(x;mod(b6+8;m)+) + dex(x;mod(b6+0;m)+)". Cette formule est esute copée das les cellules C0 à M0. Notez l astuce cosstat à utlser les uméros de créeaux de la plage B6:M6. Grâce à la modélsato géérque et aux oms défs, le modèle das la boîte de dalogue du solveur est très smple (vor page suvate sas oubler les deux optos classques) Résultats pour la questo Le ombre mmal d frmères pour couvrr tous les besos est 00. Ces frmères sot répartes de la faço suvate : 8 commecet leur servce à mut, 5 à 2 h, 5 à 4 h, 2 à 6 h, 5 à 8 h, 5 à 0 h, 3 à md, 0 à 4 h, aucue à 6 h, 7 à 8 h, aucue à 20 h et 0 à 22 h. Il exste d autres réparttos optmales. O costate que les effectfs des créeaux 4 à 2 couvret exactemet les besos, mas au prx d u sureffectf das les créeaux à 3.

10 Chaptre 3 Emplos du temps et gesto de persoel Modélsato pour la questo 2 La soluto optmale emploe 00 frmères. Or, o suppose mateat qu l y e a que 80 das ce servce. Certaes vot doc devor assurer deux heures supplémetares. O coserve les varables x défes das la questo, mas o aoute de ouvelles varables s correspodat au ombre d frmères ayat commecé à travaller au créeau et recourat aux deux heures supplémetares. S l faut mmser le ombre d frmères effectuat des heures supplémetares, o obtet la focto-obectf t (5). ( 5) M t m s O utlse ue ouvelle cotrate (6) pour lmter le ombre d frmères à d 80. ( 6) m x d Pour chaque créeau, le ombre s d frmères ayat débuté leur servce das ce créeau et effectuat des heures supplémetares e peut excéder le ombre total d frmères x ayat commecé à travaller au créeau. O obtet doc la cotrate (7). ( 7) K m : s x Il faut évdemmet adapter les cotrates (3) pour ter compte des heures supplémetares. Par exemple, les frmères e poste durat le créeau sot toutes celles ayat commecé à travaller pedat les créeaux 9, 0, 2 et comme das la questo, plus celles ayat commecé au créeau 8 et réalsat des heures supplémetares. Grâce à la focto modulo, o e dédut le groupe de cotrates (8). ( 8) K m : x + smod( + 6, m) + + xmod( + 7, m) + + xmod( + 8, m) + + xmod( + 0, m) + Ef, les cotrates (9) et (0) dquet que les varables x et s dovet être etères. b (9) (0) Km : x IN Km : s IN

11 322 Programmato léare avec Excel Traducto e Excel pour la questo 2 La traducto e Excel fgure das la feulle Questo 2 du fcher C3-Ifrmeres. O a commecé par coper le modèle précédet, pus o a aouté e haut deux cellules, ue appelée d pour le ombre maxmal d frmères et ue appelée t pour la ouvelle foctoobectf. Ue plage ommée S a égalemet été trodute pour les varables s. Il faut fare très atteto à l utlsato des oms de plages quad o emploe pluseurs feulles. L étedue d u om (domae où l est recou) peut être défe pour ue feulle ou pour tout le classeur, mas Excel terdt la créato d u om qu exste déà das la même étedue. De plus, s u om a pour étedue le classeur, o peut utlser sas s e apercevor le om d ue plage stuée das ue autre feulle. Par coséquet, la créato de la feulle Questo 2 par cope de Questo peut coserver les mêmes oms (m, X etc.) seulemet s les oms das chaque feulle ot ue étedue lmtée à la feulle. Cec peut être vérfé avec le bouto Gestoare de oms du groupe Noms défs de l oglet Formules. Parfos, Excel empêche de modfer l étedue d u om : das ce cas, l faut le supprmer das le gestoare de oms, pus le recréer avec la boe étedue grâce au bouto Défr u Nom du groupe Noms défs. La formule pour t est "somme(s)". Pour B3, o dot aouter le terme pour les heures supplémetares à la formule déà complexe de la questo, ce qu doe : "dex(x;b8) + dex(x;mod(b8+7;m)+) + dex(x;mod(b8+8;m)+) + dex(x;mod(b8+0;m)+) + dex(s;mod(b8+6;m)+)". Pour le solveur, l faut sasr le modèle de la page suvate. Il est doc perms de dsposer pluseurs modèles das le même classeur Excel, mas pas plus d u das chaque feulle du classeur. Même s les coflts de oms de plages etre feulles ot été résolus comme cdessus, ous avos costaté que le solveur pred parfos la mauvase plage : par exemple, s o tape ue cotrate fasat référece à la plage X et qu o ferme pus rouvre la boîte de dalogue du solveur, o vot apparaître la plage B9:M9 de la questo. S cela se produt, l faut préfxer le om de plage par le om de feulle, c est-à-dre Questo 2! X Résultats pour la questo 2 Quarate frmères sur quatre-vgts vot effectuer des heures supplémetares. La répar tto des frmères est doée das le tableau 3.4. Il exste d autres solutos optmales.

12 Chaptre 3 Emplos du temps et gesto de persoel 323 Tableau 3.4 Répartto des frmères Créeau Ifrmères débutat das ce créeau 00 h 02 h 0 dot 0 e heures supp 02 h 04 h 0 04 h 06 h 5 06 h 08 h 0 08 h 0 h 0 dot 5 e heures supp 0 h 2 h 5 dot 0 e heures supp 2 h 4 h 5 dot 5 e heures supp 4 h 6 h 5 6 h 8 h 0 8 h 20 h 0 20 h 22 h 0 22 h 00 h 0 dot 0 e heures supp 3.4 Emplo du temps pour u lycée 3.4. Problème U lycée dot cocevor u emplo du temps pour euf cours de deux heures dot certas sot compatbles (même esegat, élèves e commu, etc.). Le graphe o oreté G (V, E) page suvate résume ces coflts : les œuds correspodet aux cours tads qu ue arête [, ] etre deux cours et représete ue compatblté. E supposat que le ombre de salles est suffsat, quel est le ombre mmal de créeaux de deux heures pour assurer tous les cours? Modélsato Ce problème peut se formuler comme u problème de colorato mmale du graphe G, cosstat à attrbuer ue couleur à chaque œud pour mmser le ombre de couleurs utlsées tout e évtat que deux œuds relés par ue arête aet la même couleur.

13 324 Programmato léare avec Excel Les œuds (cours) qu ot la même couleur das la colorato sot compatbles et peuvet être plafés e parallèle : o obtet doc u créeau utlsé pour chaque groupe de cours de même couleur, et le ombre total de créeaux est égal au ombre de couleurs. Fgure 3. Graphe des compatbltés etre les cours Sot le ombre de œuds et x ue varable défssat la couleur du œud. O peut utlser des eters etre et pour les couleurs : e effet, l sufft de doer ue couleur dfférete à chaque œud pour obter ue colorato sas coflts avec couleurs. Pour chaque arête [, ], o dot avor x x. Le ombre de couleurs utlsées est tout smplemet la valeur maxmale des x. O obtet as le programme mathématque suvat. () (2) (3) M Max { x :, } [, ] E : x x V : x et x IN Cette formulato est pas léare. Pour léarser la focto-obectf (), ue techque classque cosste à trodure ue varable postve t (4) pour maorer les x (5). E mmsat t (6), o obtet à l optmum ue valeur de t égale au maxmum des x. (4) (5) (6) t 0 V : x t M t Les cotrates (2) peuvet se réécrre comme (7) car les varables sot etères : ( 7) [, ] E : x x Mas ces cotrates e sot touours pas léares à cause des valeurs absolues. Comme ous l avos vu au 2.6.9, o peut défr ue varable bare y égale à s x > x (8) et remplacer (7) par (9) et (0). E effet, s x > x, la cotrate (0) e peut être vérfée que s y et, das ce cas, (9) équvaut à x x. S x < x, la cotrate (9) est vérfée que s y 0 et alors (0) équvaut à x x -. Ef, s x x, la cotrate (0) est vérfée que s y, mas alors (9) est volée : ce cas e pourra pas se produre.

14 Chaptre 3 Emplos du temps et gesto de persoel 325 (8) (9) (0) [, ] E : y x x x x y { 0,} ( y ) O obtet falemet u programme léare e ombres eters avec la focto-obectf (6) et les cotrates (3), (4), (8), (9) et (0) Traducto e Excel Elle est coteue das le fcher Excel C3-Lycee. Le graphe est codé par ue lste d arêtes (deux premères coloes). La coloe 3 cotet les varables y et les deux coloes suvates correspodet aux cotrates (9) et (0). La parte drote de l écra cotet la lste de œuds et les varables x. Les oms de plages suvats ot été défs : pour B3, t pour H6, X pour H6:H4, Y pour C6:C24, Cotrates_9 pour D6:D24 et Cotrates_0 pour E6:E24. O sast das D6 la formule "dex(x;a6)-dex(x;b6)-+*(-c6)", qu correspod à la cotrate (9) pour la premère arête, réarragée pour placer tous les termes das le membre de gauche. O cope esute cette formule das les cellules D7 à D24. Pour les cotrates (0), la formule das E6 est "dex(x;b6)-dex(x;a6)-+*c6", copée esute das les cellules E7 à E24. Ef, o peut sasr le modèle comme sut das la boîte de dalogue du solveur.

15 326 Programmato léare avec Excel Résultats La résoluto pred ue boe mute sur u PC à 2,5 GHz. O trouve u ombre mmal de couleurs égal à 3 : l faut doc tros créeaux de deux heures pour assurer les cours sas coflts. Les œuds 2 et 7 ot la couleur (premer créeau). Les œuds 3, 4, 6 et 8 ot la couleur 2 (deuxème créeau). Ef, les cours, 5 et 9 de couleur 3 sot placés das le créeau 3. Notez que quatre salles e parallèle sot écessares à cause du créeau Producto avec affectato de persoel 3.5. Problème La socété Le Producto décde de plafer la producto de quatre de ses produts (P, P2, P3, P4) sur ses cq lges de producto. Chaque produt passe sur les cq lges. La socété prévot u proft de 7 pour les produts P et P4, 8 pour P2 et 9 pour le produt P3. Sur les cq lges de producto, les durées maxmales de traval pour la pérode cosdérée sot dfféretes. Les capactés maxmales de traval pour les lges L à L5 sot h, h, h, 500 h, et h. Le tableau 3.5 doe le temps de traval utare (e heures) écessare à la producto d ue uté de chacu des produts sur chaque lge de producto. Quelles devrot être les quattés à produre pour chaque catégore P à P4 s o cherche à maxmser le ga total? Tableau 3.5 Temps utare de fabrcato Lges L L2 L3 L4 L5 P,3 0,9 2,0 0,3 0,9 P2,8,7,4 0,6, P3,3,2,3,0,4 P4 0,9,,0 0,9,0

16 Chaptre 3 Emplos du temps et gesto de persoel 327 Destato Orge Tableau 3.6 Trasferts possbles de persoel L L2 L3 L4 L5 Nombre maxmal d heures trasférables L Ou Ou Ou No 400 L2 No Ou No Ou 800 L3 Ou Ou Ou No 200 L4 No No No Ou 500 L5 Ou Ou Ou No 300 S, par la sute, o autorse u trasfert de persoel (équvalet à u certa ombre d heures de traval) d ue lge à ue autre pedat la pérode cosdérée, comme le prévot le tableau 3.6, quel sera le ga maxmal? Combe d heures serot trasférées, et das quelles codtos? Modélsato Le ombre de produts est oté, le ombre de lges L. Le ga par produt est oté g, la durée de tratemet du produt sur la lge, d et le ombre maxmal d heures de traval de la lge, m. Comme touours e plafcato de producto, ue varable q désgera la quatté à produre pour le produt. La modélsato correspodat à la premère questo est très smple. L obectf est de maxmser le proft total () tout e respectat la capacté horare de chaque lge de producto (2). O a doc le modèle suvat : () (2) (3) Max g. q K L: K: q d. q m 0 S mateat o peut trasférer du persoel d ue lge à ue autre, le modèle est plus complexe (vor page suvate). Pour alléger l écrture, o trodut va les cotrates (7) des varables h qu correspodet aux membres de gauche des cotrates (2) et représetet la charge de traval de chaque lge. Les cotrates (2 ) remplacet les cotrates (2) et servet à calculer ces h. Avec les cotrates (6), o déft auss des varables t pour les trasferts de persoel (e heures de traval) de la lge à la lge. Les cotrates (5) évtet de trasférer plus d heures que le maxmum tm autorsé. Falemet, les cotrates (4) sot les ouvelles cotrates de capacté. Elles servet auss à assurer la coservato des heures trasférées. Leur formulato écesste ue matrce bare T correspodat au tableau 3.6, das laquelle T k sgfe qu ot peut trasférer des heures de la lge vers la lge k. Pour ue lge, la ouvelle capacté de producto e heures est égale à la capacté ormale m, augmetée des heures veat des autres lges, et dmuée des heures doées aux autres.

17 328 Programmato léare avec Excel 0 : (7) 0 :, (6) : (5) : (4) 0 : (3). : ) (2'. Max (),,, + k L T k k L T k k L T k k h L t L k L tm t L t t m h L q h q d L q g k k k K K K K K K K Traducto e Excel Le premer modèle est das l oglet Questo du fcher C3-Persoel. Le tableau 3.5 est clus au mleu de l écra, avec les varables q à drote et les membres de gauche des cotrates (2) e bas. O a sast das C la formule "sommeprod(c5:c8;$i5:$i8)", copée esute das les cellules D à G. La formule pour le ga total das I est "sommeprod(b5:b8;i5:i8)". Le modèle pour le solveur est très smple s o ouble pas les optos habtuelles, Modèle supposé léare et varables supposées o égatves.

18 Chaptre 3 Emplos du temps et gesto de persoel 329 Le secod modèle fgure das l oglet Questo 2. Par rapport au premer modèle, o a aouté e bas à gauche la matrce des trasferts possbles T et, e bas à drote, la matrce des heures trasférées (varables t ). Le vecteur Heures e mos (P5:P9) doe pour chaque lge de fabrcato le ombre d heures trasférées vers les autres lges, c est-àdre la somme des élémets de la lge de matrce. O a sas das P5 la formule "sommeprod(c5:g5;j5:n5)", qu a été copée esute das les cellules P6 à P9. Le vecteur Heures e plus cotet pour chaque lge de fabrcato le ombre d heures qu elle reçot des autres lges, c est-à-dre la somme des trasferts de la coloe de matrce. La cellule J2 est calculée par la formule "sommeprod(c5:c9;j5:j9)", qu a été esute copée das les cellules K2 à N2. La plage C22:G22 dque les ouvelles capactés des lges, ue fos les trasferts effectués. Elle correspod aux secods membres des cotrates (4). Pour C22, o pourrat sasr "C0-P5+J2" mas la cope vers les autres cellules de la plage est mpossble car la formule chage pour chaque cellule (par exemple, "D0-P6+K2" pour D22). Les formules matrcelles vues au apportet ue soluto élégate. Il sufft e effet de sélectoer la plage à la sours, de taper "C0:G0-traspose(P5:P9)+J2:N2", et de termer par Ctrl + Ma + Etrée pour aouter les accolades des formules matrcelles. Le modèle pour le solveur est doé page suvate. Il a pas été écessare de défr les varables h, car elles fguraet déà comme quattés calculées das le premer modèle Résultats S le trasfert d heures est pas autorsé etre les lges de producto, le ga maxmal doé par le premer modèle est de 8 882,98. Les quattés à produre sot 542,55 et 00,64 utés pour les produts P et P2, zéro pour les deux autres produts. E examat les cotrates relatves aux lges de producto, seules les lges 3 et 5 travallet à leur capacté maxmale. Ce qu dque be qu u trasfert d heures pourrat être proftable.

19 330 Programmato léare avec Excel E autorsat les trasferts d heures d ue lge à l autre, le ga passe à 23 43,09. Les quattés à produre sot mateat 702,35 utés pour P, 942,82 pour P2, 554,25 pour P3 et 854,84 utés pour P4. Sur la lge L, 4 00 heures sot effectuées et 400 heures sot trasférées sur la lge L4. Pour L2, heures sot réalsées et 800 heures sot trasférées vers L5. Le ombre d heures de traval sur L3 est et 200 heures sot trasférées sur L4. Sur L4, 600 heures veet s aouter aux 500 heures de traval maxmal et, sur L5, 800 apportées par L2 veet s aouter aux heures. 3.6 Plafcato du persoel d u chater 3.6. Problème Aux États-Us, les ouvrers qu érget la charpete métallque des gratte-cel formet ue corporato respectée, celle des "steel erectors". Le tableau 3.7 doe les besos e ouvrers sur u chater de costructo, pour ue pérode de sx mos. Des trasferts depus d autres stes vers le chater sot possbles le premer our du mos et coûtet 00 $ par homme. Les départs vers d autres stes sot possbles le derer our du mos et coûtet 60 $ par homme. O estme que tout ouvrer e sureffectf coûte 200 $ par mos. Tout poste o pourvu par rapport aux besos coûte égalemet 200 $ par mos, car les heures maquates dovet être effectuées e heures supplémetares. Tableau 3.7 Besos mesuels e steel erectors Mars Avrl Ma Ju Jullet Août Les heures supplémetares sot lmtées à 25 % du ombre d heures qu seraet assurées par u effectf ormal. Chaque mos, au plus tros hommes peuvet arrver sur le chater. Les départs vers d autres stes sot lmtés par des accords sydcaux à /3 de l effectf du mos. O suppose que tros hommes sot déà là f févrer, qu l y a aucu départ f févrer, et que tros hommes dovet rester sur le ste après les départs de f août. Quels sot les ombres d arrvées et de départs chaque mos pour mmser le coût total?

20 Chaptre 3 Emplos du temps et gesto de persoel Modélsato Notos le ombre de mos de la pérode cosdérée. Les mos sot dcés par varat de à, désgat mars. CoutArr est le coût d ue arrvée (c 00 $), CoutDep le coût d u départ (60 $), CoutSur le coût d ue persoe e sureffectf (200 $), CoutSou celu d ue persoe maquate (200 $). EffDeb désge l effectf tal f févrer, et EffF l effectf fal requs début septembre. Pour chaque mos, Beso est l effectf requs sur le ste. Be qu o pusse formuler ce problème avec mos de varables, le modèle proposé utlse cq groupes de varables dcées par les mos pour faclter le processus de modélsato et fourr tous les détals du pla de recrutemet. Pour chaque mos, XEff est l effectf du mos (etre les arrvées de début de mos et les départs de f de mos). Il y a XArr arrvées, XDep départs, XSur persoes e sureffectf et XSou maquates (). ( ) K : XEff, XArr, XDep, XSur, XSou IN Pour mars, l effectf est égal à l effectf tal plus les arrvées de début mars (2). E f de pérode, l effectf égale l effectf du mos d août, mos les départs de la f août (3). ( 2) XEff EffDeb + XArr (3) EffF XEff XDep Pour les mos 2 à, les effectfs, les départs et les arrvées sot lés par la relato (4), tout à fat comparable à l équato d équlbre des stocks utlsée pour les problèmes de plafcato de producto du chaptre 7. ( 4) 2K : XEff XEff XDep + XArr L effectf mesuel peut dfférer des besos. Mas l est égal au beso s o soustrat les persoes e sureffectf et s o aoute celles qu maquet (5). ( 5) K : XEff XSur + XSou Beso Pour chaque mos, les cotrates (6), (7) et (8) traduset respectvemet les lmtatos sur les heures supplémetares, sur le ombre d arrvées, et sur le ombre de départ. (6) (7) (8) K : XSou XEff K : XArr 3 K : XDep XEff / 4 / 3 La focto-obectf (9) cumule les coûts d arrvée, de départ, de sureffectf et de souseffectf. Grâce à la mmsato du coût, l y aura amas das u même mos des hommes e sureffectf et e sous-effectf. (9) M + CoutArr XArr + CoutSur XSur + CoutDep XDep CoutSou XSou

21 332 Programmato léare avec Excel Traducto e Excel Le fcher Excel C3-Chater tradut le modèle précédet. Avec le gestoare de oms, ous avos coservé les oms du modèle mathématque : CoutArr, CoutDep, CoutSur, CoutSou, EffDeb, EffF pour les cellules B5 à G5, et Beso, XEff, XArr, XDep, XSur et XSou pour les lges 8 à 3 du tableau prcpal. Des oms addtoels ot été égalemet troduts : BesoCalculé, XEffSur3 et XEffSur4 pour les lges 4 à 6 du tableau prcpal, Varables pour le bloc des varables de la plage B0:G3, XEffAug pour l effectf d août das G9, XDepAug pour les départs f août das G, XEffSep pour l effectf de début septembre das I6, CoutParType das I0:I3 et CoutTot pour l obectf das I5. O a utlsé les formules matrcelles explquées au pour les dfférets types de coûts, par exemple "{somme(xarr*coutarr)}" pour le coût total des arrvées das I0. Rappelos qu o peut défr la formule sas les accolades et termer la sase par Ctrl + Ma + Etrée, ce qu aoute les accolades dquat que la formule est matrcelle. D autres formules matrcelles ot été sérées pour les lges 4 à 6 du tableau prcpal, mas cette fos-c elles revoet ue plage et l faut doc sélectoer la plage avec la sours avat de sasr le formule. Pour les plages BesoCalculé, XEffSur3 et XEffSur4, ces formules sot respectvemet "{XEff-XSur+XSou}", "{XEff/3}" et "{XEff/4}". Cocerat les effectfs, o a le cas partculer "F5+B0" pour le premer mos das B9. Pour les autres mos, o commece par sasr "B9-B+C0" das C9 pus o cope cette formule das les cellules C9 à G9. Ef, l effectf début septembre das I6 est déf par "XEffAug-XDepAug", et la focto-obectf das I5 par "somme(coutpartype)". Le modèle pour le solveur est motré page suvate. Il tradut falemet fdèlemet le modèle mathématque, la seule dfférece état qu o a pas déf les effectfs comme des varables. E effet, o les a déduts les us des autres grâce à des formules das la feulle Excel qu correspodet aux équatos d équlbre des stocks. Comme d habtude, l e faut pas oubler de spécfer das les optos que le modèle est supposé léare et que les varables sot o égatves.

22 Chaptre 3 Emplos du temps et gesto de persoel Résultats Le solveur trouve 780 $ comme coût optmal. Le tableau 3.8 détalle les résultats obteus. Notre lvre de 2000 qu utlsat le solveur Xpress trouvat ue soluto optmale de composto dfférete, ce qu dque qu l y a pluseurs optma. Tableau 3.8 Plafcato optmale du persoel sur le chater Mos Ital Mars Avrl Ma Ju Jullet Août Fal Beso Effectf Arrvées Départs Sureffectf Sous-effectf Complémets et référeces Le problème d affectato exposé pour le placemet de persoel sur des maches s applque à d autres stuatos, comme le recrutemet de caddats sur des postes selo leurs préféreces et le cas plus surpreat des correspodaces d avos préseté au chaptre 0. Comme le smplexe trouve automatquemet des varables etères, des cas de boe talle (matrce par exemple) sot faclemet tratables. Il exste cepedat des algorthmes spécalsés ecore plus rapdes, comme l algorthme hogros e O( 3 ) préseté par exemple par Papadmtrou [Papadmtrou 998] ou les techques de recherche de flot maxmal décrtes par exemple das Ahua [Ahua 993] et Lacomme et al. [Lacomme 2003]. Pour les postes e sére, la programmato léare foctoe mos be, mas l exste auss des algorthmes rapdes, basés sur les graphes [Dergs 978].

23 334 Programmato léare avec Excel Le problème d emplo du temps d frmères est ue verso smplfée des problèmes de plafcato de persoel e mleu hosptaler. U problème plus complexe, cosstat à détermer le plag dvduel de chaque frmère, e teat compte des réglemetatos et des préféreces des frmères tout e mmsat les coûts de persoel est étudé par Jaumard [Jaumard 998]. Les auteurs proposet, comme méthode de résoluto, ue techque de géérato de coloes. Le problème de plafcato des cours est typque des problèmes classques d emplo du temps recotrés das les collèges, lycées et uverstés. Ils ot gééralemet beaucoup de cotrates parfos complexes que ous avos pas prs e compte (affectato des salles, cours ou exames de dfféretes durées, répartto équlbrée des cours ou exames sur les ours de la semae). Ces problèmes NP-dffcles sot le plus souvet résolus par des heurstques, des métaheurstques ou des techques de programmato par cotrates. Le cas que ous avos cosdéré suppose des cours de même durée et peut se modélser par u problème de colorato. Les cas avec durées dfféretes sot ecore plus durs, car o peut par exemple placer deux cours d ue heure e parallèle avec u cours de deux heures. O peut trouver chez Carter [Carter 996] u résumé des approches utlsées pour résoudre ce gere de problèmes. Das [Trpathy 984], l auteur propose ue modélsato par programmato léare. Des modèles de colorato de graphes fguret chez de Werra [de Werra 997]. J-P. Boufflet et S. Nègre présetet das [Boufflet 996] ue recherche taboue pour la plafcato des exames de l Uversté de techologe de Compège. O peut trouver chez Bozumault [Bozumault 995] ue approche par programmato par cotrates permettat de résoudre u problème d emplo du temps et u problème de plafcato d exames de l Isttut de mathématques applquées d Agers. U paorama des tedaces e recherche sur les emplos du temps est doé das [Burke 2002]. Le problème de producto avec trasfert de persoel est assez réalste. E effet, das les problèmes de plafcato étudés au chaptre 7, certas aspects de gesto de ressources sot souvet gorés ou e sot pas prs e compte, volotaremet. La oto de gesto du persoel sous forme d heures de ma d œuvre que l o trasfère d ue lge à l autre ou d u poste de traval à u autre est pourtat mportate et e dot pas être oublée. Le problème des "steel erectors" a été étudé par Clark et Hastgs [Clark 977], qu le résolvet par ue méthode de programmato dyamque. Il ressemble aux problèmes de plafcato de producto du chaptre 7. O peut l adapter aux problèmes cosstat à garr des créeaux horares par des pérodes de traval telles que des cotrats à durée détermée, des gardes, etc. Il présete auss ue certae smltude avec le problème de plafcato d ue flotte de camos du chaptre 9.