Annales de baccalauréat STG - Fonctions
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- Oscar Gascon
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1 Annales de baccalauréat STG - Fonctions Exercice 1 R.H. - Nouvelle-Calédonie - Novembre 2010 L entreprise CDUCOSTO est spécialisée dans la fabrication d abris de jardin ; elle peut en fabriquer au maximum 30 par mois. On admet que tous les abris de jardin fabriqués sont vendus. Tous les montants sont ici exprimés en centaines d euros. On a représenté trois fonctions sur le graphique fourni en annexe : la courbe C représente la fonction f définie par f (x)= 1 3 x où x [0 ; 30] et exprime le coût total de fabrication de x abris de jardin par l entreprise CDU- COSTO. le segment d représente la fonction r définie par r (x) = 3x où x [0 ; 30] et exprime la recette réalisée pour la vente de x abris de jardin au prix unitaire de 300 euros. le segment D représente la fonction R qui exprime la recette réalisée pour la vente de x abris de jardin au prix unitaire de euros. 1. À l aide du graphique, expliquer pourquoi le choix d un prix de vente unitaire de 300 euros est un mauvais choix pour l entreprise. Dans la suite de l exercice, l entreprise décide de vendre chaque abri euros. a. Vérifier que R(25) = 250. b. Exprimer la recette R(x) ainsi réalisée en fonction de x. 2. À l aide du graphique, déterminer pour quels nombre n d abris de jardin fabriqués et vendus, l entreprise réalise un bénéfice. 3. Exprimer le bénéfice B(x) en fonction de x. 4. Vérifier que la dérivée B de la fonction B s écrit B (x)= x. 5. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initintive même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer le nombre d abris de jardin que l entreprise CDUCOSTO doit fabriquer chaque mois pour réaliser un bénéfice maximum. Quel sera alors le montant de ce bénéfice maximum? Document réponse à rendre avec votre copie EXERCICE 1 : Représentation des données de l énoncé http ://flp.maths.free.fr 1 Fonctions
2 y C D O x d Exercice 2 R.H. - Polynésie - Septembre 2010 Partie I Une petite entreprise de matériel électronique et informatique assemble entre autres des ordinateurs. Pour x ordinateurs assemblés par jour, le coût de production en euros s élève à 15x x Considérons la fonction C définie sur l intervalle [0 ; 70] par : C (x)=15x x C désigne la dérivée de la fonction C. Calculer C (x). 2. Étudier le signe de C (x) pour tout nombre réel x de l intervalle [0 ; 70]. En déduire le sens de variation de la fonction C sur l intervalle [0 ; 70]. 3. Recopier et compléter le tableau de valeurs : x C (x) 4. ( Construire la courbe représentative de la fonction C dans un repère orthogonal O, ı, ) j on prendra comme unités : 1 cm pour 5 ordinateurs en abscisse ; 1 cm pour 5000 en ordonnée. Partie II L entreprise revend tous les ordinateurs au prix de 765 l unité. Le chiffre d affaires journalier pour x ordinateurs assemblés est de 765x. http ://flp.maths.free.fr 2 Fonctions
3 1. Construire la représentation graphique de la fonction R définie sur l intervalle [0 ; 70] par : dans le repère de la question Partie I 4. R(x)=765x 2. a. L entreprise réalise-t-elle un bénéfice lorsque la production journalière est de 35 ordinateurs assemblés? Expliquer. b. L entreprise réalise-t-elle un bénéfice lorsque la production journalière est de 60 ordinateurs assemblés? Expliquer. Exercice 3 R.H. - Septembre 2010 Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes. Un artisan fabrique des vases qu il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus. Partie A : L artisan veut faire une étude sur la production d un nombre de vases compris entre 0 et 60. Il estime que le coût de production de x vases fabriqués est modélisé par la fonction C dont l expression est C (x)= x 2 10x+ 500, où x appartient à l intervalle [0 ; 60]. Chaque vase est vendu 50 euros. Sur le graphique donné en annexe 2, C est la courbe représentative de la fonction C et D 2 est la droite d équation : y = 50x. 1. Par lecture graphique, déterminer : a. le coût de production de 40 vases fabriqués. b. la production, à une unité près, qui correspond à un coût total de euros. 2. On note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases fabriqués. a. Exprimer R(x) en fonction de x. b. Déterminer graphiquement le nombre de vases que l artisan doit fabriquer pour réaliser un bénéfice. 3. a. Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par la fabrication et la vente de x vases, est donné par la fonction B dont l expression est B(x)= x x 500, où x appartient à l intervalle [0 ; 60]. http ://flp.maths.free.fr 3 Fonctions
4 Partie B : b. Calculer B (x). c. Déterminer le signe de B (x) sur l intervalle [0 ; 60]. d. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle [0 ; 60]. e. En déduire le nombre de vases à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. L artisan met en vente 200 vases ; parmi ceux-ci, 60 sont verts. Il constate que 20 % des vases verts ont un défaut alors que seuls 10 % des autres ont un défaut. Un client choisit un vase au hasard. On appelle : V l évènement : «le client choisit un vase vert» D l évènement : «le client choisit un vase ayant un défaut» 1. a. Quelle est la probabilité de l évènement : «le client choisit un vase qui n est pas vert»? b. Calculer p V (D). 2. Dans cette question, on pourra s aider d un arbre de probabilités. a. Traduire par une phrase l évènement : V D. b. Calculer p(v D). c. Calculer la probabilité de l évènement D. 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Sachant que le client a choisi un vase sans défaut, quelle est la probabilité que ce vase soit vert? Annexe 2 à rendre avec la copie D 2 C http ://flp.maths.free.fr 4 Fonctions
5 Exercice 4 R.H Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un produit. Ce laboratoire peut produire de 5 à 30 kg du produit par semaine. A) Étude du prix de revient unitaire moyen : 1. Le prix de revient d un produit dépend de la quantité produite. Pour x kg de produit fabriqué, le prix de revient moyen d un kg de ce produit, exprimé en euros, est modélisé par la fonction U dont l expression est où x appartient à l intervalle [5 ; 30]. U (x)= 1 3 x2 11x x, Quel est le prix de revient moyen d un kg de produit lorsqu on en fabrique 5 kg par semaine? On arrondira le résultat à 10 1 près. 2. À l aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs donné en annexe 1, On arrondira les résultats à 10 1 près. B) Étude graphique du bénéfice : Le laboratoire s intéresse maintenant au coût total de production, exprimé en euros et modélisé par la fonction C dont l expression est C (x)= 1 3 x3 11x x+ 72, où x appartient à l intervalle [5 ; 30]. La courbe représentative de la fonction C sur l intervalle [5 ; 30] est donnée en annexe Par lecture graphique, estimer la quantité dont le coût total de production est de 600. On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique. 2. a. Après une étude de marché, le prix de vente du produit a été estimé à 60 le kg. Donner, en fonction de x, l expression R(x) de la fonction R modélisant la recette. b. Représenter graphiquement, sur la feuille annexe 2, la fonction R sur l intervalle [5 ; 30]. c. Le laboratoire souhaite connaitre l intervalle dans lequel doit se trouver la quantité de produit à vendre pour réaliser un bénéfice. Quel est cet intervalle? On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique. http ://flp.maths.free.fr 5 Fonctions
6 C) Étude algébrique du bénéfice : Le bénéfice réalisé par l entreprise, c est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, est exprimé en euros et modélisé par la fonction B dont l expression est B(x)= 1 3 x3 + 11x 2 40x 72, où x appartient à l intervalle [5 ; 30]. 1. Conjecturer les variations de B à l aide de la calculatrice. 2. Montrer que B (x)= (x 2)(x 20). 3. En déduire les variations de B sur l intervalle [5 ; 30]. 4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. a. On considère que la production est entièrement vendue. Déterminer la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximum. b. Le service de commercialisation du laboratoire a fixé un objectif de vente entre 15 kg et 24 kg pour la semaine à venir. Quel est le bénéfice minimum envisageable? Annexe 2 à rendre avec la copie Exercice 5 Un artisan fabrique des objets. Il ne peut pas en produire plus de 70 par semaine. On suppose que tout objet fabriqué est vendu. Le coût de production de x dizaines d objets, en milliers d euros, est modélisé par la fonction f, définie sur l intervalle [0 ; 7]. Sa courbe représentative est donnée en annexe. 1. a. Par lecture graphique, donner le coût de production de 50 objets. b. Par lecture graphique, donner le nombre d objets produits pour un coût de euros. http ://flp.maths.free.fr 6 Fonctions
7 2. Chaque objet est vendu 80 euros. On note g (x) la recette obtenue par la vente de x dizaines d objets, en milliers d euros. a. Justifier que g (x)=0,8x. b. Tracer dans le repère de l annexe la droite D d équation y = 0,8x. c. Par lecture graphique, déterminer à quel intervalle doit appartenir x pour que l artisan réalise un bénéfice. 3. On admet que la fonction f est définie, pour x appartenant à l intervalle [0 ; 7], par f (x)=0,1x 2 + 0,2x+ 0,3. Le bénéfice réalisé par la production et la vente de x dizaines d objets en milliers d euros, est modélisé par une fonction B définie sur l intervalle [0 ; 7]. a. Montrer que B(x)= 0,1x 2 + 0,6x 0,3. b. Calculer la dérivée B de la fonction B. c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Pour quel nombre d objets fabriqués et vendus le bénéfice est-il maximum? ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE C O Exercice 6 Septembre 2010 http ://flp.maths.free.fr 7 Fonctions
8 Les ventes d un journal quotidien sont réparties entre les ventes en magasins spécialisés et les ventes par abonnements. Au cours des cinq dernières années, alors que les ventes en magasin ont progressé régulièrement, le nombre d abonnés a suivi la courbe C donnée dans l annexe 2. Le temps (en année) écoulé depuis le 1 er janvier 2005 est représenté en abscisse. Par exemple, x = 0 correspond au 1 er janvier 2005, x = 0,5 au 1 er juillet 2005, x = 1 au 1 er janvier 2006,.... Le nombre d abonnés au quotidien (en milliers) est représenté en ordonnée. 1. Dans cette question, on donnera les réponses avec la précision que permet le graphique. a. Quel était le nombre d abonnés au 1 er janvier 2010? b. Quel a été le nombre maximal d abonnés au journal? Préciser le mois et l année au cours duquel ce maximum a été atteint. c. Sur quelle période le quotidien a-t-il au minimum triplé le nombre d abonnés par rapport au 1 er janvier 2005? 2. La courbe C est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; 5] par f (x)=3e 0,1x2 +0,7x. a. Calculer une valeur approchée de f (5) à 0,001 près. Quel résultat de la question 1 peut-on vérifier à l aide de cette valeur? b. On rappelle que, u étant une fonction dérivable surr, la fonction e u est dérivable surret que (e u ) = u e u. On note f la fonction dérivée de f sur [0 ; 5]. Montrer que f (x)=( 0,6x+ 2,1)e 0,1x2 +0,7x. c. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; 5]. d. Déterminer par calcul, à la dizaine près, le nombre maximal d abonnés au journal. Annexe 2 http ://flp.maths.free.fr 8 Fonctions
9 y 10 Nombre d abonnés ( 1000) C x Temps écoulé Exercice Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte. Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point et l absence de réponse ne rapporte ni n enlève de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l exercice est ramenée à 0. Formulaire : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction uv est dérivable sur l intervalle I et (uv) = u v+ uv. On considère deux fonctions f et g définies surrpar f (x)=(2+ x)e x et g (x)=2xe x. On note f la fonction dérivée de la fonction f surret g la fonction dérivée de la fonction g sur R. On a tracé, en annexe 1, trois courbes C 1, C 2 et C 3. Parmi elles, figure la représentation graphique de chacune des fonctions f et g. 1. f (0) est égal à : a. 0 b. 2 c La représentation graphique de la fonction g est : a. C 1 b. C 2 c. C 3 http ://flp.maths.free.fr 9 Fonctions
10 3. Pour tout nombre réel x, g (x) est égal à : a. 2e x b. (2x+ 2)e x c. 2+e x 4. On admet que, pour tout nombre réel x, f (x)=(3+ x)e x. La fonction f est : a. croissante surr b. décroissante surr c. ni décroissante ni croissante surr Annexe 1 y C C O 1 2 x C Exercice 8 Réunion 2010 Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Formulaire Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors uv est dérivable sur I et (uv) = u v+ uv Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors e u est dérivable sur I et (e u ) = u e u. Chez un fabriquant de produits chimiques, une fuite de substance toxique s est produite dans un atelier. http ://flp.maths.free.fr 10 Fonctions
11 On note x le temps, exprimé en minutes, écoulé depuis l instant où la fuite a commencé. On s intéresse à l évolution de la concentration en substance toxique dans l atelier, en fonction de x, durant les trente premières minutes. On admet que cette concentration, exprimée en microgrammes par m 3, peut être modélisée par la fonction f définie pour tout x de l intervalle [0 ; 30] par : PARTIE A f (x)=3xe 0,2x L alarme installée dans l atelier sonne tant que la concentration en substance toxique est supérieure ou égale à 2,5 microgrammes par m 3. En utilisant la courbe représentative de la fonction f donnée en annexe 2, répondre, avec la précision du graphique, aux deux questions ci-dessous. 1. Au bout de combien de temps après le début de la fuite l alarme s est-elle déclenchée? 2. Pendant combien de temps l alarme a-t-elle sonné? PARTIE B On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle [0 ; 30]. 1. Calculer f (x) et vérifier que pour tout réel x de l intervalle [0 ; 30] on a : f (x)=(3 0,6x)e 0,2x. 2. Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [0 ; 30]. 3. Donner le tableau de variations de la fonction f. 4. En déduire à quel moment la concentration en substance toxique dans l atelier est maximale. Annexe 2 Concentration en substance toxique dans l atelier http ://flp.maths.free.fr 11 Fonctions
12 Concentration en microgrammes par mètre cube 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0, Exercice 9 Étrangers 2010 Temps en minutes Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève de point. Soit une fonction f définie sur l intervalle [ 3 ; 3] par f (x)=(x+ 2)e x. x On donne ci-contre son tableau de e 3 5e 3 variation. Question 1 : Le nombre α est un nombre tel que 0<α<1, on a alors pour f (α) : f (α)< f (1) f (0)> f (α) f (0)< f (α) e< f (α) Question 2 : Le signe de la fonction f dérivée de f sur [ 3 ; 3] est : positif sur [ 3 ; 3] négatif sur [ 3 ; 1] positif sur négatif sur [ 3 ; 1] [ 3 ; 3] Question 3 : L expression de f, la fonction dérivée de f est : e x ( x 1)e x e x (x+ 3)e x Question 4 : Une valeur approchée de f ( 0,5) à 0,00001 près est : 2, , , ,82436 e 1 Question 5 : Sur l intervalle [ 3 ; 3], l équation f (x)=3 n a pas de solution a une seule solution a deux solutions on ne peut pas savoir http ://flp.maths.free.fr 12 Fonctions
13 Exercice 10 Polynésie 2010 Une étude de marché s intéresse à l évolution de l offre et de la demande d un produit P de consommation courante. L offre et la demande dépendent du prix unitaire x exprimé en euro. La fonction f définie sur l intervalle [0 ; 10] par f (x)=e 0,2x 1 modélise l offre. Ainsi f (x) représente le nombre de produits P offerts, exprimé en millions d unités, pour un prix unitaire de x exprimé en euro. 12 La fonction g définie par g (x)= sur l intervaile [0 ; 10] modélise la demande. e 0,2x + 1 Ainsi g (x) représente le nombre de produits P demandés, exprimé en millions d unités, pour un prix unitaire de x exprimé en euro. La courbe représentative de la fonction g est tracée en annexe, annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. Partie A : Étude de la fonction offre 1. Calculer f (0) puis calculer f (10) en donnant sa valeur exacte puis une valeur arrondie à 10 2 près. 2. Déterminer f (x), où f désigne la fonction dérivée de f puis justifier que f (x)> 0 pour tout réel x dans l intervalle [0 ; 10]. 3. Compléter le tableau de valeurs situé en annexe en donnant les valeurs arrondies à 0,1 près. 4. Dresser le tableau de variations de la fonction f. 5. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur le graphique de l annexe. Partie B : Détermination du prix d équilibre On appelle prix d équilibre d un produit, le prix pour lequel l offre est égale à la demande. 1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée à 0,5 euros près du prix d équilibre de ce produit et en déduire la valeur de l offre (en millions d unités avec un chiffre après la virgule). 2. On se place au prix d équilibre. Calculer alors le chiffre d affaires réalisé en millions d euros arrondi à l unité près. ANNEXE x f (x) http ://flp.maths.free.fr 13 Fonctions
14 y O x Exercice 11 Nouvelle-Calédonie - Novembre 2009 Après une étude de marché d un produit, on a modélisé l offre et la demande de ce produit en fonction de son prix unitaire, à l aide de fonctions exponentielles. L offre est modélisée par la fonction f définie et dérivable sur l intervalle [1 ; 6] où : f (x)=10e 0,65x où x représente le prix unitaire en euros. La demande est modélisée par la fonction g définie et dérivable sur l intervalle [1 ; 6] où : g (x)=600e 0,35x où x représente le prix unitaire du produit en euros. 1. Étude graphique de la fonction f Sur la figure donnée en ANNEXE 3, on a tracé la représentation graphique C f de la fonction f. Par lecture graphique, donner : a. le signe de la fonction f sur l intervalle [1 ; 6] ; b. le signe de la fonction dérivée f de la fonction f sur l intervalle [1 ; 6] ; c. le tableau de variations de la fonction f sur l intervalle [1 ; 6]. 2. Étude de la fonction g On rappelle la propriété : pour toute fonction dérivable u sur un intervalle donné, la fonction e u est dérivable sur ce même intervalle et (e u ) = ue u. http ://flp.maths.free.fr 14 Fonctions
15 a. Étudier le sens de variations de la fonction g sur l intervalle [1 ; 6]. b. Construire le tableau de variations de la fonction g sur l intervalle [1 ; 6]. 3. Représentations graphiques a. Compléter le tableau de valeurs, donné en ANNEXE 4, de la fonction g. On arrondira les valeurs à l unité. b. Construire la représentation graphique C g de la fonction g sur la même figure que C f. 4. Prix d équilibre On définit le prix d équilibre comme étant le prix pour lequel l offre et la demande sont égales. a. Placer sur le graphique le prix correspondant au prix d équilibre. b. Donner une valeur approchée de ce prix, arrondie au dixième d euro. c. Retrouver le résultat précédent par le calcul. On donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centime d euro. ANNEXE 4 x g (x) ANNEXE 3 Nombre de produits Prix unitaire en euros http ://flp.maths.free.fr 15 Fonctions
16 Exercice 12 Antilles 2010 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n est demandée. Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire 0,25 point, une question sans réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l exercice est ramenée à zéro. 1. Pour tout réel x strictement positif, ln(x 2 + x) est égal à : a. ln(x 2 ) ln(x) b. ln(x)+ln(x+ 1) c. ln(x 2 )+ln(x) 2. L équation e 2x = 6 admet pour solution dansr: a. ln(3) b. e 6 2 c. ln(6) 2 3. Soit la fonction f définie surrpar f (x)=e 4x+1. Sachant que la fonction f est dérivable, sa fonction dérivée f est définie surr par : a. f (x)=4e 4x+1 b. f (x) = c. f (x)=e 4x+1 (4x+ 1)e 4x+1 4. Pour tout réel x strictement positif, e 2ln(x) est égal à : a. x 2 b. ln ( x 2) c. 2x. Exercice Formulaire Pour tout réel x, et pour tout réel strictement positif a, a x = e x ln(a) Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors e u est une fonction dérivable sur I et (e u ) = u e u. Thomas a 13 ans et demi. Il dispose de 800 d économies. Ses parents décident de placer cet argent sur un compte rémunéré à intéréts composés au taux annuel de 4,5 %. 1. Calculer, au centime d euro près, le capital dont il disposera au bout de trois ans, c est-à-dire sa valeur acquise au bout de trois ans. 2. On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 18] par f (x)=800 1,045 x. On note f la fonction dérivée de la fonction f. http ://flp.maths.free.fr 16 Fonctions
17 a. En utilisant le fait que 1,045 x = e x ln1,045, démontrer que f (x)=800ln(1,045) 1,045 x. b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; 18]. 3. Le nombre f (x) représente la valeur acquise d un capital de 800 placé pendant une durée x, en années, au taux annuel de 4,5 %. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous. On décide d utiliser cette courbe pour estimer graphiquement la valeur acquise selon la durée du placement a. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, la valeur acquise par le capital lorsque Thomas atteindra sa majorité, soit dans quatre ans et demi. b. Combien d années Thomas devra-t-il patienter pour voir doubler son capital initial? C Exercice 14 Polynésie 2009 y (D) 4 3 A 2 1 C f 2 1 O B x 2 3 http ://flp.maths.free.fr 17 Fonctions
18 ( La courbe C f ci-dessus représente, dans un repère orthonormal O, ı, j ) une fonction f définie surr. La droite D est tangente à la courbe C f au point A de coordonnées (0 ; 3) et passe par le point B de coordonnécs (3 ; 0). 1. Par lecture graphique : a. Déterminer le nombre f (0). b. Déterminer le nombre f (0) où f est la fonction dérivée de f. 2. On admet que la fonction f est définie surrpar f (x)=(2x+ 3)e x. a. Est-ce que le point E de coordonnées (7 ; 0) est sur la courbe C f? b. Démontrer que pour tout nombre réel x on a f (x)=( 2x 1)e x. c. Etudier le signe de f (x). d. Dresser le tableau de variations de la fonction f. Exercice 15 Nouvelle-Calédonie - Novembre 2008 Les parties A et B sont largement indépendantes et peuvent être traitées séparément. Le tableau ci-dessous donne à partir de 1998 le nombre de tués sur les routes françaises. (Les valeurs données sont arrondies à la dizaine.) Années Rang de l année : x i Nombre de tués : y i Insee mars 2007 On donne en ANNEXE le nuage de points M i ( xi ; y i ) dans un repère orthogonal. Partie A Recherche d un ajustement affine 1. Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer G sur le graphique de l AN- NEXE. 2. a. Déterminer à l aide d une calculatrice une équation de la droite d ajustement de y en x par la méthode des moindres carres sous la forme y = ax+b. (Les valeurs de a et b seront arrondies à 0,1 près). b. Tracer la droite (D) d équation y = 485x sur le graphique de l AN- NEXE. http ://flp.maths.free.fr 18 Fonctions
19 3. On admet que la droite (D) réalise un ajustement affine du nuage de points. Déterminer graphiquement une estimation du nombre de tués en On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires. Partie B Recherche d un ajustement à l aide d une fonction exponentielle On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 20] par 1. Étude de la fonction f f (x)=8890e 0,075x. a. Calculer la fonction dérivée f de f sur l intervalle [0 ; 20]. b. Justifier que la fonction dérivée f est strictement négative sur l intervalle [0 ; 20]. c. En déduire le sens de variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; 20]. d. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; 20]. 2. Représentation de la fonction f a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant ; on donnera les valeurs approchées entières arrondies à la dizaine la plus proche. x f (x) b. En utilisant les valeurs du tableau de la question précédente, construire la courbe représentative de la fonction f sur le graphique de l ANNEXE. c. On admet que la fonction f réalise un deuxième ajustement du nuage de points. Estimer par la méthode de son choix le nombre de tués en On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires. Partie C Comparaison des deux ajustements 1. À l aide de l ajustement affine de la partie A, estimer, par un calcul, en quelle année le nombre de tués sera inférieur à À l aide de l ajustement de la partie B, estimer, par un calcul, en quelle année le nombre de tués sera inférieur à Quel est, parmi les deux ajustements étudiés, celui qui semble le plus réaliste? Expliquer son choix. http ://flp.maths.free.fr 19 Fonctions
20 Annales 30 mai ANNEXE : nuage de points Exercice 16 Antilles - Septembre 2008 L évolution des ventes d un produit fabriqué par une entreprise est donnée dans le tableau suivant : Année Rang de l année x i Ventes y i (en millions d unités) http ://flp.maths.free.fr 20 Fonctions
21 Partie A 1. Représenter graphiquement le nuage de points M i ( xi ; y i ) dans un repère orthogonal d unités graphiques : 1 cm pour une année sur l axe des abscisses ; 1 cm pour 10 millions sur l axe des ordonnées (graduer l axe des ordonnées à partir de 190). 2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points, Placer G dans le repère précédent. On cherche à faire une prévision pour l année Dans ce but, on propose deux modèles. Partie B : Modèle affine 1. Déterminer, à l aide d une calculatrice, une équation de la droite (D) d ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à l unité). 2. Tracer cette droite dans le repère précédent. Partie C : Modèle exponentiel Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; 10] par : f (x)=199e 0,04x. 1. Quel est le sens de variation de f sur l intervalle [0 ; 10]? Justifier la réponse, 2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira à l unité) : x f (x) Tracer la courbe (C ) représentative de la fonction f dans le repère précédent. Partie D Indiquer pour chacun des deux modèles, les prévisions que l on peut effectuer sur le nombre de ventes du produit durant l année 2009, Exercice 17 Antilles 2010 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n est demandée. Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire 0,25 point, une question sans réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l exercice est ramenée à zéro. http ://flp.maths.free.fr 21 Fonctions
22 1. Pour tout réel x strictement positif, ln(x 2 + x) est égal à : a. ln(x 2 ) ln(x) b. ln(x)+ln(x+ 1) c. ln(x 2 )+ln(x) 2. L équation e 2x = 6 admet pour solution dansr: a. ln(3) b. e 6 3. Soit la fonction f définie surrpar f (x)=e 4x+1. 2 c. ln(6) 2 Sachant que la fonction f est dérivable, sa fonction dérivée f est définie surr par : a. f (x)=4e 4x+1 b. f (x) = c. f (x)=e 4x+1 (4x+ 1)e 4x+1 4. Pour tout réel x strictement positif, e 2ln(x) est égal à : a. x 2 b. ln ( x 2) c. 2x. Exercice 18 Pondichery 2010 On considère la fonction f définie sur l intervalle [ 0,5 ; 5] par f (x) = x 2 9x + 14ln(x+ 1). Dans le repère ci-dessous, la courbe ( C f ) est sa courbe représentative. On admet que la fonction f est dérivable sur l intervalle [ 0,5 ; 5] et on note f sa fonction dérivée. Partie A Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : 1. Déterminer f (0) et f (0). 2. Donner le nombre de solutions de l équation : f (x)=1,5. Partie B 1. Calculer f (x). 2. Vérifier que f (2x 5)(x 1) (x)=. x En remarquant que (x+ 1) est strictement positif sur l intervalle [ 0,5 ; 5], et à l aide d un tableau de signes déterminer le signe de f (x) puis les variations de f sur ce même intervalle. 4. Déterminer l équation réduite de la tangente (T) à la courbe représentative de f au point d abscisse 0. http ://flp.maths.free.fr 22 Fonctions
23 (T) C f 2 1 O Exercice 19 Polynésie - Septembre 2009 Soit f la fonction définie sur [0,5 ; 6] par f (x)=2x 3 4ln(x). On appelle C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (Annexe 1). 1. Montrer que la dérivée f vérifie f 2(x 2) (x)=. x 2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction f. 3. Montrer que la courbe C admet une tangente horizontale au point d abscisse 2. On la note T. Donner une équation de la droite T. 4. En utilisant le graphique ou le tableau de variations montrer que l équation f (x)=0 admet une unique solution notée x 0 dans l intervalle [2 ; 6]. Donner, à l aide d une calculatrice, l arrondi de x 0 à 0,01 près. 5. Déterminer une équation de la tangente T 1 à la courbe C au point d abscisse 1. Dans le repère de l annexe 1, à rendre, tracer les tangentes T et T 1 à la courbe C. http ://flp.maths.free.fr 23 Fonctions
24 y O x Exercice 20 Septembre 2009 Depuis quelques années, le nombre de personnes tuées sur les routes de France a considérablement diminué. Le tableau suivant présente le bilan de l année 2001 à l année Année Rang de l année x i Nombres de personnes Source : site officiel de la sécurité routière Le nuage de points ( x i ; y i ) est donné en annexe à rendre avec la copie. La courbe C f tracée sur l annexe est la courbe représentative d une fonction f étudiée dans la partie B. Partie A : Dans cette partie, on ne tiendra pas compte de la courbe C f 1. Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite d ajustement de y en x de la série ( x i ; y i ) obtenue par la méthode des moindres carrés. (arrondir les coefficients à l unité). 2. À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l aide de la droite d équation y = 580x Tracer cette droite sur le graphique de l annexe à rendre avec la copie. 3. Déterminer le nombre de tués prévus en 2010 par ce modèle. Indiquer la méthode utilisée. http ://flp.maths.free.fr 24 Fonctions
25 Annales 30 mai 2011 Partie B : On considère la fonction f définie sur l intervalle [1 ; 15] par f (x)= 1900ln(x) On note f la fonction dérivée de f sur ce même intervalle. 1. a. Calculer f (x). b. Justifier que f (x) est négatif sur l intervalle [1 ; 15]. c. En déduire le sens de variation de f sur l intervalle [1 ; 15]. Dans la suite de cette partie, on décide de modéliser l évolution du nombre de personnes tuées sur les routes de France à l aide de la fonction f. 2. Déterminer par le calcul le nombre de tués prévus en 2010 par ce modèle (arrondir à l unité). Partie C : Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Parmi les deux modèles étudiés dans la partie A et la partie B, indiquer celui qui ne permet pas d obtenir une prévision réaliste en Justifier la réponse Nombre de personnes tuées sur la route Rang de l année C f Exercice 21 Pondichery 2009 http ://flp.maths.free.fr 25 Fonctions
26 On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle [1 ; 7] par : f (x)=2x 2 20x ln(x). 1. Soit f la fonction dérivée de f sur l intervalle [1 ; 7]. Calculer f (x) puis montrer que f 4(x 4)(x 1) (x)=. x 2. Etudier le signe de f (x) sur l intervalle [1 ; 7] et en déduire le tableau de variations de la fonction f. 3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. On arrondira les résultats à l unité. x f (x) 4. Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques : 1 cm sur l axe des abscisses et 1 cm sur l axe des ordonnées. Un artisan fabrique entre 1 et 7 poupées de collection par jour. Le coût unitaire de fabrication de x poupées, exprimé en euros, est égal à f (x) (x est compris entre 1 et 7). 5. Combien faut-il produire de poupées pour que le coût unitaire de fabrication soit minimal? Quel est ce coût minimal? 6. Le prix de vente d une poupée est de 20 euros. Par lecture graphique, déterminer combien de poupées l entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice. Exercice 22 Septembre 2008 On rappelle que si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si v ne s annule pas sur I, alors la fonction u est dérivable sur I et sa fonction dérivée est ( v u ) = u v uv donnée par la formule :. v v 2 On se propose d étudier la capacité pulmonaire moyenne de l être humain de 10 à 90 ans. On désigne par f la fonction définie sur l intervalle [10 ; 90] par f (x)= 110ln(x) 220. x On admet que, pour un être humain d âge x, en années, appartenant à l intervalle [10 ; 90], sa capacité pulmonaire moyenne, en litres, peut être modélisée par f (x). http ://flp.maths.free.fr 26 Fonctions
27 y Une représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous x 1. Répondre avec la précision permise par la représentation graphique. a. À quel âge la capacité pulmonaire moyenne est-elle maximale? Quelle est cette capacité maximale? b. À quels âges la capacité pulmonaire moyenne est-elle supérieure ou égale à 5 litres? 2. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. a. Montrer que, pour tout nombre réel x de l intervalle [10 ; 90], f (x)= 110(3 ln(x)) x 2. b. Résoudre sur l intervalle [10 ; 90] l équation 3 ln(x) = 0. Donner une valeur arrondie de la solution au dixième. c. On considère sur l intervalle [10 ; 90 j l inéquation 3 ln(x)>0. Montrer que l ensemble des solutions de cette inéquation est [ 10 ; e 3[. En déduire le signe de f (x) sur l intervalle [10 ; 90]. d. Indiquer comment retrouver les résultats de la question 1.. Exercice 23 Antilles - Septembre 2008 Soit f la fonction définie sur l intervalle [1 ; 13] par : f (x)= x ln(x) 3x+ 10. Une entreprise fabrique du dissolvant chimique. Lorsque l entreprise fabrique x centaines de litres par jour, le coût moyen de production du litre est égal à f (x) (x est compris entre 1 centaine et 13 centaines). Ce coût est exprimé en euros. 1. Si l entreprise produit 500 litres par jour, quel sera le coût moyen de production du litre, en euros, arrondi au centime? http ://flp.maths.free.fr 27 Fonctions
28 2. Montrer que f (x)=ln(x) 2 où f désigne la fonction dérivée de f sur l intervalle [1 ; 13]. 3. Étudier le signe de f (x) puis établir le tableau de variations de f sur l intervalle [1 ; 13]. 4. En déduire le nombre de litres à produire par jour pour que le coût moyen de production du litre soit minimum. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au litre près. Préciser alors la valeur arrondie au centime du coût moyen de production du litre correspondant. http ://flp.maths.free.fr 28 Fonctions
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