Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

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1 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1 Soient A, B deux événements dans B avec P (B 0. La probabilité de A sachant B est le réel : P (A B P B (A =. P (B On note aussi P B (A = P (A B. Théorème 36.1 Pour tout événement B B de probabilité non nulle, l application : est une probabilité sur (Ω, B. P B : B [0, 1] A P (A B P B (A = P (B On dit que P B est la probabilité conditionnelle sur (Ω, B sachant B et par définition, on a : Cette relation se généralise comme suit. P (A B = P B (A P (B ( n 1 Théorème 36.2 Si n 2 et A 1,, A n sont des événements dans B tels que P A k 0, on a alors : ( n ( P A k = P (A 1 P (A 2 A 1 P (A 3 A 1 A 2 P A n n 1 A k 625

2 626 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples On rappelle que si (A i i I est une partition dénombrable de Ω, on dit alors que (A i i I est un système complet d événements Théorème 36.3 (Formule des probabilités totales Si (A 1,, A n est un système complet d événements dans B tel que P (A k 0 pour tout k compris entre 1 et n, on a alors pour tout événement A B : P (A = P (A A k P (A k Exercice 36.1 Un fumeur essaye de ne plus fumer. S il ne fume pas un jour donné, alors la probabilité qu il ne fume pas le lendemain est p ]0, 1[. S il fume un jour donné, alors la probabilité qu il ne fume pas le lendemain est q ]0, 1[. 1. Calculer la probabilité p n que cette personne ne fume pas le n-ème jour. 2. Calculer lim n + p n. Théorème 36.4 (Formule de Bayes Si (A 1,, A n est un système complet d événements dans B tel que P (A k 0 pour tout k compris entre 1 et n, on a alors pour tout événement B B de probabilité non nulle et tout entier j compris entre 1 et n : P (A j B = P (B A j P (A j P (B A k P (A k Exercice 36.2 Des études sur une population ont montré que l on pouvait admettre que la probabilité p n qu une famille ait exactement n enfants est définie par : n 1, p n = αp n avec 0 < p < 1, α > 0 et (1 + α p < 1. On suppose que les naissances des garçons et des filles sont équiprobables. 1. Calculer la probabilité pour une famille de ne pas avoir d enfants. 2. Calculer la probabilité pour une famille d avoir exactement k garçons. 3. Étant donnée une famille ayant au moins un garçon, quelle est la probabilité qu elle en ait deux ou plus? 36.2 Événements indépendants Dans le cas où P (A B = P (A, on déduit que le fait que soit B soit réalisé ne change rien sur le calcul de P (A. Dans ces conditions, on dit que A et B sont des événements indépendants. Définition 36.2 On dit que deux événements A et B dans B sont indépendants (ou stochastiquement indépendants indépendants si : P (A B = P (A P (B. Remarque 36.1 Si P (B = 0, on a alors, pour tout A B, 0 P (A B P (B = 0, donc P (A B = P (A P (B = 0 et A et B sont indépendants. Si P (B 0, les événements A et B sont indépendants si, et seulement si, P (A B = P (A.

3 Événements indépendants 627 Remarque 36.2 Deux événements peuvent être incompatibles, sans être indépendants. Par exemple, si P (A = p ]0, 1[, on a alors : P (A P (Ω \ A = p (1 p 0 = P (A (Ω \ A. Exercice 36.3 Montrer que A et B sont indépendants dans B si, et seulement si, A et Ω \ B sont indépendants et que A et Ω \ B sont indépendants si et seulement si, Ω \ A et Ω \ A sont indépendants. Plus généralement, on définit l indépendance mutuelle de plusieurs événements comme suit. Définition 36.3 On dit que des événements A 1,, A n, où n 2, sont mutuellement indépendants dans B si pour toute partie J non vide de {1, 2,, n}, on a : ( P A j = P (A j. j J j J Remarque 36.3 Des événements mutuellement indépendants sont deux à deux indépendants, mais la réciproque est fausse. En effet, considérons l expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé deux fois et les événements A, B, C définis respectivement par «le premier chiffre est pair», «le deuxième chiffre est impair», «la somme des chiffres est paire». En supposant l équiprobabilité, on a : P (A = P (B = P (C = 1 2 P (A B = P (A C = P (B C = 9 36 = 1 4 donc les événements A, B, C sont deux à deux indépendants, mais : P (A B C = P ( = 0 P (A P (B P (C et A, B, C ne sont pas mutuellement indépendants. Exercice 36.4 Soient A 1,, A n, où n 2, des événements mutuellement indépendants dans B. 1. Montrer que Ω \ A 1, A 2,, A n sont mutuellement indépendants. 2. En déduire que pour tout entier k compris entre 1 et n, les événements Ω \ A 1,, Ω \ A k, A k+1,, A n sont mutuellement indépendants. Exercice 36.5 Soit n 2 un entier naturel supérieur. On choisit de manière équiprobable un des entiers compris entre 1 et n. Soient p un diviseur positif de n et A p l événement :«le nombre choisi est divisible par p». 1. Calculer P (A p. 2. Montrer que si p 1,, p r sont les diviseurs premiers de n, alors les événements A p1,, A pr sont mutuellement indépendants. 3. On désigne par ϕ la fonction indicatrice d Euler définie sur N par Montrer que ϕ (n = card {k {1,, n} k n = 1} ϕ (n = n p premier p divise n ( 1 1. p

4 628 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples Exercice 36.6 On se fixe un réel s > 1 et on considère l espace probabilisé (Ω, P (Ω, P s, où Ω = N et : n Ω, P s ({n} = 1 1 ζ (s n s en désignant par ζ la fonction de Riemann définie par ζ (s = dzéta de paramètre s. Pour tout entier n 1, on désigne par A n l événement : 1. Calculer P s (A n pour tout n n s n=1 A n = {multiples de n} = {k n k N } (on dit que P s est la loi 2. Montrer que, si P désigne l ensemble des nombres premiers, alors la famille (A p p P est indépendante, c est-à-dire que pour toute suite finie (p k 1 k r de nombres premiers distincts, les événement A p1,, A pr sont mutuellement indépendants. 3. En déduire que : P s ({1} = p P (1 1p s puis l identité d Euler : s > 1, ζ (s = p P ( 1 1 p s 1. Une définition équivalente d événements mutuellement indépendants est donnée par le théorème suivant. Théorème 36.5 Soient A 1,, A n, où n 2, des événements dans B. Ces événements sont mutuellement ( indépendants si, et seulement si, pour toute partie J de {1, 2,, n} telle que P A j 0 et tout indice i {1, 2,, n} \ J, on a : j J P ( A i j J A j = P (A i Variables aléatoires réelles indépendantes Définition 36.4 Soient n 2 et X 1, X 2,, X n des variables aléatoires réelle sur (Ω, B, P. On dit que ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes si pour tous boréliens B 1, B 2,, B n, on a : ( n P (X i B i = P(X i B i. L événement n (X i B i sera aussi noté (X 1 B 1,, X n B n.

5 Variables aléatoires réelles indépendantes 629 Théorème 36.6 Soient n 2 et X 1, X 2,, X n des variables aléatoires réelle discrètes sur (Ω, B, P. Ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes si, et seulement si, pour tous boréliens (x 1, x 2,, x n dans X i (Ω, on a : ( n P (X i = x i = P(X i = x i. Exercice 36.7 Soient n 3 et X 1, X 2,, X n des variables aléatoires réelle discrètes sur (Ω, B, P mutuellement indépendantes. 1. Montrer que les variables aléatoires X 1 + X 2, X 3,, X n sont mutuellement indépendantes. 2. En déduire que pour tout entier r compris entre 2 et n 1, les variables aléatoires X X r, X r+1,, X n sont mutuellement indépendantes. Définition 36.5 On dit que deux variables aléatoires X et Y de carré intégrable sont non corrélées si Cov (X, Y = 0. Théorème 36.7 Si X et Y sont deux variables aléatoires sur (Ω, B, P de carré intégrables et indépendantes, elles sont alors non corrélées et on a : E (XY = E (X E (Y et : V (X + Y = V (X + V (X Théorème 36.8 Soient X 1, X 2,, X n des variables aléatoires sur (Ω, B, P de carré intégrables et mutuellement indépendantes. On a : E(X 1 X 2 X n = V( X i = E(X i. V(X i. Théorème 36.9 Soient X 1, X 2, X n des variables aléatoires continues indépendantes sur (Ω, B, P et de fonction de densité respectives f 1, f 2, f n. Alors : X = est une variable aléatoire réelle continue admettant pour fonction de densité la fonction X k f 1 f 2 f n où la loi représente le produit de convolution. Définition 36.6 Soient n un entier strictement positif et p un réel appartenant à [0, 1]. Une variable aléatoire réelle X suit une loi binomiale de paramètre (n, p si X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. On note X B(n, p.

6 630 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples Théorème Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de Bernoulli de paramètre (n, p. On a : s R, g X (s = (ps + (1 p n, où g X est la fonction génératrice de X. k {0, 1, n}, P(X = k = C k np k (1 p n k, E(X = np, V(X = np(1 p. Exercice 36.8 Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre λ. 1. Donner sa fonction de répartition. 2. Montrer que : (s, t R + R +, P ((X > s + t (X > t = P (X > s. Cette propriété se traduit en disant que la variable aléatoire X est sans mémoire. Soit T une variable aléatoire réelle sans mémoire. Le but des questions suivantes est de montrer que cette variable aléatoire suit une loi exponentielle. On note F T sa fonction de répartition. 3. Montrer que la fonction G T définie sur R + par : est strictement positive et vérifie x R +, (x, y (R + 2, G T (x = 1 F T (x G T (x + y = G T (xg T (y. 4. Montrer que pour tout réel positif x et tout rationnel positif r, on a G T (rx = (G T (x r. 5. Montrer qu il existe un réel a vérifiant x R +, G T (x = e ax. 6. Montrer que la variable aléatoire T suit une loi exponentielle.

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