Responsables. Etude analytique : Renard Julien (3A) Partie graphique : Campion Bernard (3A) Maquette : Scottini Jonathan (3A)

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1 Responsables Etude analytique : Renard Julien (3A) Partie graphique : Campion Bernard (3A) Maquette : Scottini Jonathan (3A) 1

2 Introduction Dans le cadre de ce projet de géométrie BAC 1, il nous était demandé de déterminer une surface S réglée non conique et non cylindrique passant par une courbe C fermée non plane. Ce projet est subdivisé en trois sous-parties : une étude analytique, une étude graphique dans matlab et la réalisation d une maquette de la surface. I) Etude analytique a) Etude de la courbe La courbe fermée non plane utilisée est constituée de trois courbes élémentaires détaillées ci-après: un quadrifolium, un cercle et un segment de droite. Avant de donner les équations des courbes, il importe d expliciter leur disposition. Les deux plans qui contiennent les courbes planes que sont le quadrifolium et le cercle ont été choisis parallèles et horizontaux pour ce projet. Le quadrifolium appartient au plan z = 0 et est centré à l origine du repère tandis que le cercle appartient au plan z = a et son centre appartient à l axe z. Le segment de droite a pour but de relier le quadrifolium au cercle. Il faut donc, dans le cas le plus général, le parcourir deux fois lorsqu on parcourt la courbe. Le parcours du quadrifolium comme du cercle fait ici intervenir un angle comme paramètre. Nous avons appelé u le paramètre qui définit le quadrifolium et v celui qui définit le cercle. Nous expliciterons le sens de ces paramètres et la relation qui a été choisie entre eux dans la suite de cette étude. Afin de simplifier l équation de la surface réglée, le segment de droite choisi correspond à un segment de génératrice. Celle-ci passe par les points du quadrifolium et du cercle caractérisés respectivement par la valeur u = 0 et v =. Le paramètre utilisé pour les parcours des génératrices est appelé s. En rapport avec le travail Matlab, les constantes définissant la valeur maximale du rayon du quadrifolium et du rayon du cercle sont appelées, respectivement, b et c. Celle qui définit la distance entre les plans contenant les deux courbes est appelée a. 2

3 1) Le quadrifolium Avant tout, rappelons qu il se trouve dans le plan z = 0. Nous avons voulu paramétrer notre quadrifolium de telle sorte que lorsque le paramètre u augmente de 0 à 2, la courbe progresse quadrant par quadrant dans le sens trigonométrique. Pour ce faire, il a fallu définir le paramètre u comme étant l angle entre l axe des y et le point sur la courbe, comme indiqué sur la figure suivante :. Equation polaire : Equations paramétriques : Equation cartésienne : 2) Le cercle Il se trouve dans le plan z = a. Nous avons défini le paramètre v dans le même sens que pour le quadrifolium. 3

4 Equation polaire Equations paramétriques Equation cartésienne 3) Le segment de droite Lorsque u = 0 et v =, la droite passe par les points Q = (0,0,0) et C = (c,0,a). Pour «limiter» la droite au segment compris entre les plans z = 0 (quadrifolium) et z = a (cercle), il suffit de faire varier s de 0 à 1. Equations paramétriques 4) Equations paramétriques de la courbe fermée b) Etude de la surface Comme toute surface, celle-ci dépend de deux paramètres indépendants. Etant donné qu elle possède l heureuse propriété d être réglée, ce qui signifie qu elle est formée de génératrices de flexion nulle (des droites), il suffit pour en obtenir l équation d exprimer le vecteur directeur de toutes les génératrices en fonction d un paramètre, et de parcourir les génératrices en fonction du deuxième paramètre. 4

5 Le paramètre u a été choisi pour définir le vecteur directeur des génératrices. Il faut à présent choisir une relation entre u et le paramètre de l autre courbe, v, en veillant à ce que la surface ainsi engendrée soit ni conique ni cylindrique. Nous avons choisi car dans ce cas, les équations paramétriques de notre cercle deviennent :! "# "# Cette «astuce» permet donc de parcourir le cercle dans le sens trigonométrique, comme illustré sur le schéma ci-contre. Bien sûr, l angle u est en réalité toujours défini par rapport à l axe Y, mais grâce à cette relation tout se passe «comme si» il était défini par rapport à x pour le cercle. De cette manière, nous parcourons nos deux courbes élémentaires dans le sens trigonométrique (Vous aurez sans doute remarqué que nous aimons bien le sens trigonométrique ) Voyons maintenant comment construire la surface Nous savons déjà que chaque valeur de u définit deux points distincts appartenant pour l un au cercle et pour l autre au quadrifolium. On a donc deux vecteurs (Soit OC et OQ), joignant respectivement l origine au point C appartenant au cercle, et l origine au point Q appartenant au quadrifolium. La différence de ces deux vecteurs donne un vecteur directeur de la génératrice (CQ). Pour parcourir la génératrice, il suffit alors de faire varier le vecteur CQ en fonction du paramètre s (qui apparaît en facteur) et de l additionner à l un ou l autre vecteur origine désignant un point de la droite (Par exemple OC). 5

6 Equations paramétriques de la surface :!" #! "!" Le domaine de variation de s a été établi de 0 à 1, et celui de u de 0 à 2, et ce afin de limiter la surface à la zone comprise entre le cercle et le quadrifolium. Il apparaît rapidement que cette surface n est ni cylindrique ni conique. En effet, les génératrices pour lesquelles les valeurs de u sont des multiples de /2 possèdent un point d intersection en l origine du repère, excluant la possibilité d obtenir des génératrices toutes parallèles, et donc une surface cylindrique. Etant donné qu au moins deux génératrices se croisent au point O = (0,0,0), cette surface n est conique qu à la condition que toutes les autres génératrices convergent vers ce même point. Ce n est absolument pas le cas pour toute génératrice caractérisée par une valeur de u différente d un multiple de /2. On peut donc raisonnablement conclure que la surface, en accord avec les consignes, n est ni cylindrique, ni conique. II) Partie graphique Le but de cette partie est de représenter en 3D la courbe choisie et la surface réglée qui s appuie sur cette courbe à l aide du logiciel MATLAB. Outre la prise en main du programme, l intérêt est aussi de pouvoir visualiser et mettre en pratique le résultat de l étude analytique, d observer l agencement des génératrices et de choisir les dimensions de la courbe en vue de la réalisation de la maquette. La prise en main du logiciel ne fut pas trop compliquée car nous avions déjà dû l utiliser pour le projet multidisciplinaire. Les vecteurs et matrices y jouent un rôle essentiel, que ce soit lorsqu on veut faire varier un paramètre avec un certain pas, lorsqu on veut afficher une courbe ou une surface à l écran, etc. Beaucoup d instructions de base et de subtilités nous étaient donc déjà familières: la méthode pour plotter une fonction d une variable, l usage du. avant un opérateur mathématique pour réaliser l opération sur chaque composante d un vecteur et non sur son entièreté, les commandes de gestion de l affichage comme ou,... La seule chose qu il a fallu assimiler est l affichage d une surface. Nous avons utilisé la commande. Après lui avoir fourni la valeur des deux paramètres de la surface et leur variation (pas), elle permet la création d un maillage qui servira de charpente à la courbe. Il faut ensuite introduire l équation de la surface en x,y et z. Le logiciel va évaluer la valeur de la fonction en chacun des sommets de chaque maille. Enfin, à l aide de la commande, on peut afficher la surface à l écran. L autre difficulté rencontrée est l usage de la commande, qui permet d afficher en 3D une fonction d un paramètre, comme une courbe. Cette commande doit recevoir trois vecteurs ( un pour les x, un pour les y et un pour les z ) de même dimension afin de calculer la valeur de la fonction en les points (x,y,z) contenus dans ces vecteurs puis interpoler entre ces points. Or, dans notre cas, le cercle a une équation en z qui ne dépand pas de u: z=a. Comme 6

7 on a fait varier le paramètre u de 0 à 2*pi dans un vecteur (ce qui est la méthode classique pour un plot ),on ne peut pas écrire, puisqu alors les arguments n ont pas la même taille! (les deux premiers sont des vecteurs 1 x 361). L astuce est de créer un vecteur factice en écrivant où est un vecteur 1 x 361 colonnes avec des chiffres 1 partout. En plus de l affichage en 3D de la courbe et de la surface, nous avons inclus à la routine un module pour l affichage des génératrices. L élément central de ce module est la boucle qui permet, à chaque itération, de répéter les mêmes instructions pour une valeur du paramètre qui est incrémentée petit à petit. On fait donc varier à chaque tour de boucle le paramètre u qui définit le cercle et le quadrifolium, tandis que les instruction qui se trouvent dans la boucle permettent d afficher la génératrice pour cette valeur de u. L utilité de ce module est de pouvoir visualiser la progression des génératrices avec celle du paramètre u. Cela a été assez utile pour la réalisation de la maquette puisque ce sont ces génératrices qui vont matérialiser la surface. Observer le résultat à l écran permet d éviter de se tromper lors de la pose des fils pour la réalisation de la maquette. Ce module aurait également pu servir pour indiquer sur nos deux courbes planes les endroits où doivent passer les génératrices Nous avons finalement préféré réaliser ce travail avec une table à dessin pour éviter une imprécision à l impression de la figure fournie par Matlab. Nous nous sommes mis d accord sur le dimensionnement de notre courbe et de la surface en observant les résultats fournis par la routine. Nos critères de choix ont été l utilisation optimale de l espace alloué, la faisabilité et l esthétisme. Vous trouverez sur la disquette fournie avec ce rapport le code source de notre routine Matlab et les commentaires qui s y rapportent. III) Maquette 1) Matériel utilisé - Plaque de MDF (bois) 12 mm de 39 par 39 cm - Morceaux de MDF 18 mm d épaisseur - Plaque de plexiglas 12 mm de 39 par 39 cm - Bois rond 4 fois 30 cm diamètre 22mm - Vis, rondelles, papier collant - Fils DMC, 4 fois 10 m 2) Conception Pour commencer, nous avons cherché la meilleure manière de représenter notre surface réglée. Celle-ci a comme particularité d être composée de droites qui dans notre cas sont souvent sécantes. Il nous semblait donc que l utilisation de fils était appropriée. Il nous restait à savoir combien de fils utiliser. Avec l aide de matlab, nous avons simulé le graphique de notre surface avec plus ou moins de droites. Il nous est apparu que mettre un fil tous les trois degrés donnait déjà une très bonne idée de la surface. De plus, nous étions limités par les matériaux. En effet, nous ne pouvions pas faire un trou tous les deux millimètres dans notre 7

8 plaque de plexiglas. Nous avons utilisé du plexiglas afin de garder une bonne visibilité de notre surface. Nous pouvons ainsi la regarder dans presque tous les sens. Pour mieux distinguer les différentes parties de la surface, nous avons eu recours à des fils de différentes couleurs (une pour chaque «feuille» du quadrifolium). Sur le socle de la maquette, nous avons ajouté un système d axes afin de correspondre au graphique de matlab. Nous avons aussi repris les mêmes paramètres que pour matlab sur notre maquette. Enfin, nous avons veillé à ne pas dépasser de notre cube de quarante centimètres de côté. 3) Construction D abord, nous avons effectué des gabarits pour le cercle et le quadrifolium. A l aide d une table à dessin, les gabarits ont été dessinés sur des feuilles de papier. Pour les deux figures, la même méthode a été utilisée. Avec les équations en coordonnées polaires des deux courbes et les paramètres, les différentes valeurs de la distance de l origine à la courbe du quadrifolium (valeur constante dans le cas du cercle) ont été calculées pour tous les angles choisis (tous les multiples de /60). Ces distances ont été reportées sur papier avec la latte de la table à dessin. Par après, ces gabarits (collés sur les deux plaques) permettent de savoir où forer les trous sans faire de traces sur les matériaux. Les trous ont été fait avec une petite foreuse (type Proxxon) et une mèche de petit diamètre (1 millimètre). Pour une meilleure finition, les deux plaques ont été poncées avec un fin papier de verre sur les bords et les arrêtes. Ensuite, les deux plaques ont été réunies grâce à des cylindres ronds en bois. Nous avons aussi ajouté des morceaux de MDF pour faire quatre pieds et ainsi légèrement surélever la maquette. Pour pouvoir fixer les fils, nous avons ajouté des petites vis avec des rondelles sous le socle. Une fois la structure de la maquette assemblée, nous avons passé les fils dans les trous en veillant à les tendre pour qu ils restent rectilignes. La longueur de fil restant a été enroulé et attachée avec du papier collant sous le socle. Conclusion Au vu des résultats, nous pouvons conclure que les différents objectifs relatifs au projet ont été atteints, à savoir : manipuler des notions vues au cours de géométrie, utiliser l outil mathématique Matlab et réaliser une maquette. Outre l aspect théorique, nous avons avec plaisir décelé un côté artistique dans ce projet et envisagé le recyclage de notre maquette à différents usages (table basse, luminaire, ). 8

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