Courbes intensité durée fréquence des précipitations à Yangambi, Congo, au moyen de différents modèles de type Montana

Transcription

1 Hydrological Sciences Journal des Sciences Hydrologiques, 51(2) avril Courbes intensité durée fréquence des précipitations à Yangambi, Congo, au moyen de différents modèles de type Montana BERNARD MOHYMONT & GASTON R. DEMARÉE Institut Royal Météorologique, Avenue Circulaire 3, B-1180 Bruxelles, Belgique Résumé Les auteurs établissent des courbes intensité durée fréquence (IDF) des précipitations pour la station de Yangambi située dans la zone tropicale du Congo. Différents modèles de type Montana ont été testés pour des durées d agrégation variant entre 15 min et 24 h. Cette formulation empirique a été choisie parce qu elle s inscrit dans le guide de l assainissement des villes en usage en France. Par conséquent, des bureaux d études exécutant des projets en Afrique tropicale font couramment la demande de cette information. Les avantages et les inconvénients des différents modèles type Montana sont discutés. On constate en particulier que les formules de Montana classiques devraient être rejetées en faveur d une formule ayant une base physique et probabiliste plus solide. Le choix final s est porté sur une famille de courbes parallèles ne contenant que quatre paramètres à estimer. Le manque de jeux de données pour les valeurs extrêmes de précipitation pour des durées courtes (au-dessous de 24 h) et pour des périodes de référence suffisamment longues en ce qui concerne l Afrique tropicale souligne l importance de cette étude. Mots clefs Congo; courbes IDF; formule de Montana; précipitations; valeurs extrêmes Intensity duration frequency curves for precipitation at Yangambi, Congo, derived by means of various models of Montana type Abstract Intensity duration frequency (IDF) curves are established for precipitation at the Yangambi station located in the tropical zone of Congo. Various models of Montana type were tested for durations varying between 15 min and 24 h. These empirical formulas were selected because they are advocated in the French guide for urban drainage systems and therefore engineering consultancies working on development projects in tropical Africa are interested in that information. The advantages and disadvantages of the different Montana type formulas are discussed. In particular, it is noted that the socalled classical Montana formulas should be rejected in favour of a more physically and probabilistically sound formula. The final choice was made on a family of parallel curves containing only four parameters to be estimated. The lack of data for the extreme values of precipitation for short durations (less than 24 h) and of sufficiently long reference periods with regard to tropical Africa stresses the importance of this study. Key words Congo; IDF curves; Montana formula; rainfall; extreme values INTRODUCTION Le but principal de cet article est de présenter des courbes intensité durée fréquence (IDF) des précipitations pour une station de la cuvette centrale du Congo ayant une série d observations pluviographiques longue et fiable. En effet, de telles séries sont plutôt rares dans cette partie du globe, malgré les besoins urgents qui s y présentent aujourd hui. Les données pluviométriques pour des pas de temps inférieurs à la journée sont requises pour le dimensionnement des ouvrages d art nécessaires pour l approvisionnement en eau ou des infrastructures d assainissement pluvial des grands centres urbains tels que Kinshasa, Lubumbashi, Mbuyi Maji, Kisangani ou d autres encore. La station éco-climatologique de Yangambi, dont est issue la série de mesures pluviométriques étudiée dans le présent article, est localisée sur le Fleuve Congo, à 92 km à l ouest de la ville de Kisangani, dans le Haut Congo. Yangambi est la station principale du réseau de l Institut National pour l Etude Agronomique du Congo belge La discussion concernant cet article est ouverte jusqu au 1er octobre 2006

2 240 Bernard Mohymont & Gaston R. Demarée (INEAC), actuellement dénommé l INERA. La série des extrêmes calculés à partir des données enregistrées par le pluviographe, pour des pas de temps courts, est longue de 33 années complètes. Dans cette étude, la formule dite de Montana va être utilisée. La raison en est que cette technique a été préconisée par l hydrologie traditionnelle française (Réménérias, 1972). La formule dite Montana est empirique mais constitue une référence en France pour le dimensionnement des systèmes d assainissement des agglomérations (Circulaire inter-ministérielle, 1981). Une formulation élémentaire de la formule de Montana se trouve aussi dans le nouveau guide français de l assainissement (CERTU, 2003). Les coefficients ainsi déterminés sont ensuite insérés dans la formule de Caquot pour calculer les débits. Des conclusions d ordres théorique et pratique quant à l utilisation de la formule de Montana pour des données pluviographiques et des durées d agrégation inférieures à un jour vont être énoncées. L usage de cette formulation permettra aux utilisateurs de comparer les résultats pour la cuvette congolaise avec les résultats obtenus pour différentes régions de la métropole française (Grosse et al., 1980). Remarquons que les deux autres stations congolaises, situées à Kinshasa, auraient également pu faire l objet d une étude similaire à celle décrite dans cet article (Mohymont et al., 2004). Nous avons cependant préféré nous concentrer ici sur la station ayant la plus longue période de mesure et présentant les meilleures garanties de qualité; un des buts étant de tester un certains nombres de modèles. Nous définissons à présent précisément la notion de courbes IDF. Un ensemble de courbes IDF pour les précipitations (Ven Te Chow, 1964; Réméniéras, 1972) constitue une relation entre l intensité moyenne de la pluie (mesurée en mm h -1 ), la durée ou le temps d agrégation de cette pluie (mesurée en minutes) et la fréquence de l événement pluvieux (mesurée en années -1 ). La fréquence d un événement pluvieux x, ici caractérisé par la quantité de pluie tombée (en mm), mesure la rareté de cet événement et est exprimée par un paramètre dénommé la période de retour T. La période de retour d un événement pluvieux est définie comme étant l inverse de sa probabilité de dépassement annuelle: 1 T = P( X x ) (1) où X est la variable aléatoire modélisant les valeurs maximales annuelles. Peu de recherches ont été effectuées quant à l établissement des courbes IDF des précipitations en zone tropicale africaine. Il y a d abord les vieilles publications dont la méthodologie n est plus tout à fait adéquate (Bultot, 1956; Pire et al., 1960). Récemment, Mohymont et al. (2004) ont publié un article comparant les courbes IDF des précipitations obtenues pour trois stations situées au Congo avec celles obtenues pour la station d Uccle, située non loin de Bruxelles, en zone climatique tempérée maritime. Le présent article a pour but d établir des courbes de type Montana pour une longue série en région tropicale africaine et de comparer les résultats des diverses formulations type Montana. Une brève description du climat de la station de Yangambi, les instruments utilisés ainsi que la description du jeu des données extrêmes des précipitations sont présentés à la section suivante. Les hypothèses sous-jacentes au choix des modèles probabilistes sont énoncées dans la troisième section. La quatrième section contient une étude plus détaillée portant sur la série des données pluviométriques maximales annuelles

3 Courbes intensité durée fréquence des précipitations à Yangambi, Congo 241 journalières. La cinquième section traite de la modélisation des courbes IDF et contient également les résultats numériques obtenus suite à cette modélisation. Les conclusions, reprises à la dernière section, clôturent cet article. CLIMAT PLUVIOMETRIQUE, INSTRUMENTS ET JEUX DE DONNEES La station de Yangambi est située en zone climatique Af dans la classification de Köppen (Köppen, 1923). Ce type de climat est défini par l absence de saison sèche, c est-à-dire ayant une cote pluviométrique supérieure à 60 mm pour le mois le plus sec et des températures moyennes mensuelles toujours supérieures à 18 C. Cette zone est spécifiquement le domaine de la forêt équatoriale ombrophile (Bultot, 1950). La station de Yangambi se trouve dans la vaste cuvette centrale du Congo, à cheval sur l Equateur. Les pluies y sont abondantes et leur répartition temporelle est relativement uniforme. Au sein de la cuvette, la cote pluviométrique annuelle varie de 1600 à 2200 mm. La normale pluviométrique de la station de Yangambi-Km 5 est de 1826 mm pour la période de référence Une partie des pluies de la cuvette centrale est générée par le cycle diurne: échauffement des surfaces, évaporation, condensation puis précipitation. Un apport non négligeable des précipitations est fourni par des masses d air en provenance de l Atlantique sud, et est dénommé mousson de sud-ouest humide. Ces courants sont soumis au va-et-vient du front intertropical de convergence (FIT) (Vandenplas, 1943; Ruwet et al., 1985). La station de Yangambi ne subit pas réellement de saison sèche mais on note deux minima peu après les solstices, l un en janvier et février et l autre en juin et juillet. Le Tableau 1 reprend successivement la valeur normale des précipitations mensuelles et annuelles (en mm), le nombre de jours de précipitations, et la cote pluviométrique maximale journalière (en mm) à la station de Yangambi pour la période de référence On y note des valeurs moindres pour les mois de janvier, février ainsi que juin (Vandenplas, 1943; Ruwet et al., 1985). A l échelle journalière, les pluies à Yangambi doivent être scindées en deux groupes: les averses de l après-midi (de plus courte durée et à plus grande intensité) et les pluies nocturnes (plus longue durée et à moindre intensité). Pour les averses de l après-midi, on constate une baisse considérable de l intensité après 45 min mais la pluie peut continuer à moindre intensité jusqu à deux heures et au-delà. Pour les pluies nocturnes, le maximum de l intensité est nettement moins prononcé (Bultot, 1956). On constate aussi qu en moyenne, les maxima journaliers ne dépassent les valeurs des maxima en 2 h que de 25%. Il est à préciser que ces maxima ne relèvent pas Tableau 1 Caractéristiques des précipitations à Yangambi pour la période de référence (Ruwet et al., 1985). J F M A M J J A S O N D Année Valeur normale (en mm) Nombre de jours de précipitations Maximum de la cote pluviométrique journalière (en mm)

4 242 Bernard Mohymont & Gaston R. Demarée nécessairement de la même date puisque la chronologie des événements est écartée dans la théorie des valeurs extrêmes. Cette relation entre les maxima en 2 h et les maxima journaliers ainsi que les durées moyennes des averses de l après-midi et des averses nocturnes permet de pallier facilement le manque de données entre 2 et 24 h pour les maxima journaliers. L essentiel de l information concernant les valeurs extrêmes de pluie se situe en effet ici dans une échelle de temps inférieure à deux heures; c est essentiellement pour cette raison que les opérateurs de l époque n ont pas effectué le traitement pour les valeurs maximales de pluies pour des durées supérieures. Le pluviographe à siphon en usage dans le réseau de l INEAC est du type ONM (Office National de Météorologie) et a été initialement construit par Richard à Paris. L instrument a ensuite été amélioré par Frère en vue de mieux tenir compte des conditions tropicales. Ce modèle possède une surface collectrice dont la superficie est égale à 4 dm 2, comparable à celle du pluviomètre, mais située, du fait de la présence du système enregistreur, à un mètre cinquante au-dessus de la surface du sol. Le pluviomètre est en usage depuis l année 1911, date à laquelle le réseau appartenant à l Agriculture et Forêts a débuté. Le pluviomètre utilisé est du type minicol ou Agri et possède également 4 dm 2 d ouverture (Crabbé, 1971). Une série de cotes pluviométriques maximales mensuelles et annuelles et à pas de temps journalier existe depuis mai 1928; les données antérieures sont probablement perdues. Le terme annuel est ici relatif à l année civile et non à l année hydrologique; il en sera de même dans la suite de cet article. La différence entre les deux est ici insignifiante étant donné l absence de saison sèche pour la station de Yangambi. Les dernières données disponibles aux auteurs de cette note datent quant à elles de Quant aux données pluviographiques, elles sont disponibles depuis l année 1950 jusqu à l année Les observations climatologiques ont été interrompues à Yangambi en raison de la rébellion Simba dans les premiers jours de décembre 1964, et n ont été reprises que le 1er octobre Une année artificielle combinée 1964/1965 a, pour cette raison, été construite en prenant les onze premiers mois de l année 1964, complétés par le mois de décembre de l année Le jeu de données des extrêmes des précipitations est constitué par les maxima annuels pour des durées d agrégation choisies égales à 15, 30, 45, 60 et 120 min en provenance du pluviographe. Les maxima en provenance du pluviomètre, et pour la même période de référence, y ont été joints pour permettre l extension de l analyse jusqu à l échelle journalière. LA DISTRIBUTION DE PROBABILITE DES VALEURS EXTREMES La méthodologie appliquée est basée sur la technique des maxima annuels puisque seuls ceux-ci sont connus. Une méthodologie de type peak over threshold (POT), utilisant plusieurs extrêmes par an aurait pu être utilisée si les deuxième, troisième, maxima annuels avaient été disponibles. Dans le cadre de la méthodologie des maxima annuels, deux distributions de probabilité des valeurs extrêmes sont très souvent utilisées. Il s agit de la distribution générale des valeurs extrêmes (GEV) et de son cas particulier, la distribution de Gumbel. La fonction de répartition de la loi GEV est donnée par l expression suivante:

5 Courbes intensité durée fréquence des précipitations à Yangambi, Congo 243 1/ κ x ψ F ( x) = exp 1 + κ (2) λ avec un paramètre de courbure (ou de forme) κ imposé non nul et où ψ et λ sont respectivement les paramètres de localisation et d échelle. Lorsque le paramètre κ devient nul, la distribution GEV se réduit à la distribution de Gumbel: x ψ F( x) = exp exp (3) λ Une justification théorique de l application de ces lois au cas des valeurs maximales annuelles peut être trouvée par exemple dans Beirlant et al. (1996). Les descriptions les plus simples étant en général les meilleures, nous proposons ici de travailler avec la distribution de Gumbel qui est décrite par seulement deux paramètres (la distribution de GEV nécessite trois paramètres) et qui présente de ce fait une expression mathématique plus simple. Cette hypothèse a de plus été préalablement testée et validée au moyen de différents tests statistiques (Mohymont et al., 2004). Il a notamment été montré que le paramètre de courbure n était pas significativement différent de la valeur nulle et ce, au moyen d un test statistique approprié. On note cependant que des études récentes (Wilks, 1993; Koutsoyiannis & Baloutsos, 2000; Coles et al. 2003; Koutsoyiannis, 2004) ont exprimé un certain scepticisme concernant l utilisation de la distribution de Gumbel pour les extrêmes de précipitations, montrant que cette distribution peut, dans certains cas, sous-estimer sérieusement les valeurs extrêmes de pluie pour de très longues périodes de retour. D après les observations faites dans ces études, il n est donc pas recommandé d extrapoler les courbes IDF basées sur la distribution de Gumbel à des périodes de retour beaucoup plus grandes que la longueur de l enregistrement. Néanmoins, l application des résultats de ce type d études nécessite de disposer de plusieurs stations situées dans une même région, en vue d obtenir une plus grande précision sur l estimation du paramètre de courbure, ce qui n est pas notre cas ici. Les valeurs extrêmes de pluie s obtiennent en inversant la fonction de répartition correspondant à la loi de probabilité sous-jacente aux valeurs maximales annuelles. Plus précisément, le quantile x T,d ayant une période de retour T est défini par la grandeur x vérifiant l expression suivante: 1 F d ( x) = 1 (4) T et dans le cas de la distribution de Gumbel, en inversant la relation précédente, nous obtenons: ψ 1 T, = λ ln ln(1 ) (5) λ T x d tandis que l intensité extrême i T,d des précipitations correspondante est donnée par: xt, d it, d = (6) d

6 244 Bernard Mohymont & Gaston R. Demarée Les estimations des paramètres λ et ψ, et par voie de conséquence, des valeurs i T,d x T,d, ont été effectuées au moyen des estimateurs des moments-l, choisis en raison de leur robustesse par rapport aux estimateurs du maximum de vraisemblance (Stedinger et al., 1993). Par ailleurs, des intervalles de confiance (IC) sur les estimations de λ, ψ, et i T,d x T,d peuvent être obtenus au moyen de techniques de ré-échantillonnage, la plus simple étant dénommée bootstrap standard (Efron & Tibshirani, 1994). Ce genre de technique a démontré sa supériorité par rapport aux techniques plus classiques et reposant sur des approximations asymptotiques (Mohymont, 1999). Tous les intervalles de confiance que nous présenterons dans la suite de cet article auront été obtenus au moyen de cette technique. et ANALYSE DES MAXIMA ANNUELS DE LA COTE PLUVIOMETRIQUE JOURNALIERE Pour les données journalières, nous disposons d une série de valeurs maximales annuelles remarquablement longue, portant sur plus de 60 années ( ). La Fig. 1 montre un histogramme de ces valeurs. La loi de Gumbel s ajustant à ces données est également représentée sur cette figure ainsi que ses paramètres de localisation et d échelle (avec leurs IC à 95% de confiance respectifs, présentés entre parenthèses). L échelle verticale pour la densité a été choisie de manière à ce que l aire λ = 19.8 mm (15.5,23.8) ψ = 72.9 mm (67.9,78.4) Fig. 1 Histogramme des valeurs maximales annuelles de pluie (exprimée en mm) pour une durée d agrégation d un jour à Yangambi ( ). La courbe continue est la densité de Gumbel ajustée aux données. Les valeurs des paramètres ajustés sont également indiquées sur la figure, avec leurs IC respectifs indiqués entre parenthèses.

7 Courbes intensité durée fréquence des précipitations à Yangambi, Congo 245 Fig. 2 QQ-plot des maxima annuels de la station de Yangambi ( ), pour une durée d agrégation d un jour. La ligne droite continue représente la loi de Gumbel ajustée aux données tandis que les courbes en traits semi-continus correspondent aux IC de confiance à 95%. L axe des abscisses a trois échelles équivalentes: la probabilité d être inférieur à l événement pluvieux (échelle inférieure), la période de retour (échelle supérieure) ainsi que la variable réduite (échelle intermédiaire). L échelle de l axe des ordonnées est le millimètre. sous la courbe soit égale à l aire de l histogramme. La Fig. 2 reprend la même information sous forme de QQ-plot. Un QQ-plot est un outil statistique permettant de visualiser graphiquement la qualité de l ajustement d une loi donnée à un échantillon de données (Beirlant et al., 1996). Dans ce graphique, les données sont représentées par des étoiles () tandis que la loi sous-jacente testée (ici, la loi de Gumbel) est représentée par une courbe continue (ici, une droite). Des intervalles à 95% de confiance sont également représentés (en traits semi-continus). Nous observons que le modèle de Gumbel semble convenir parfaitement dans le sens où les quantiles empiriques (étoiles) sont tous compris dans l IC et sont, de plus, remarquablement proches de la loi continue. Le Tableau 2 reprend quelques valeursclefs pour la station de Yangambi, obtenues au moyen de la loi décrite précédemment. Des IC à 95% de confiance sont également indiqués pour les quantités extrêmes de pluie. A titre de comparaison, les valeurs obtenues par Demarée et al. (1998) pour la station de Lubumbashi (saisons de pluie 1921/ /96) sont reprises au Tableau 3. Nous observons que les valeurs extrêmes de pluie à Yangambi sont plus élevées que celles à Lubumbashi, plus précisément, entre 13 et 24% plus élevées, cette différence augmentant avec la période de retour. Cette différence s explique par la situation géographique de Lubumbashi qui, étant située à une altitude de 1200 m dans l extrême sud du Congo, est déjà assez éloignée de l Equateur et donc de la cuvette

8 246 Bernard Mohymont & Gaston R. Demarée Tableau 2 Table des valeurs extrêmes de pluie pour la station de Yangambi ( ) et une durée d agrégation d un jour. T (années) i (mm h -1 ) qinf(95%) (mm) q (mm) Qsup(95%) (mm) Notation: T: la période de retour; i: l intensité extrême correspondant à cette période de retour; q: la quantité extrême de pluie; qinf(95%) et Qsup(95%): les bornes inférieures et supérieures d un intervalle à 95% de confiance obtenu par une méthode de ré-échantillonnage, faisant intervenir 1000 échantillons générés. Tableau 3 Table des valeurs extrêmes de pluie pour la station de Lubumbashi ( ) et une durée d agrégation d un jour. T (années) i (mm h -1 ) q (mm) Notation: voir Tableau 2. congolaise pluvieuse. Bultot (1950) situe cette station dans la zone Cw de la classification climatique de Köppen, c est-à-dire une zone dont la cote pluviométrique pour le mois le plus sec est inférieure ou égale au dixième du total des pluies recueillies durant le mois le plus pluvieux. La pluviométrie de cette région consiste en une seule saison de pluie à cheval sur deux années consécutives et d une saison sèche située au milieu de l année. LES COURBES IDF DES PRECIPITATIONS, METHODOLOGIE, MODELISATION ET RESULTATS Méthodologie et modélisation Symbolisons l intensité moyenne de pluie par i (exprimée en mm h -1 ), le temps d agrégation de la pluie par d (exprimé en min) et la période de retour par T (exprimée en années). La relation IDF s exprime alors mathématiquement: i = f ( T, d) (7) Dans le cas de la séparation des variables T et d dans l expression ci-dessus:

9 Courbes intensité durée fréquence des précipitations à Yangambi, Congo 247 a( i = (8) d) la relation IDF décrit une famille de courbes parallèles, lorsqu elle est représentée dans un système d axes doublement logarithmique. D une manière générale, l intensité pluvieuse diminue avec la durée d agrégation et augmente avec la période de retour, c est-à-dire que les intensités sont d autant plus faibles que la durée est plus longue (Réméniéras, 1972, p. 143). Cela implique que la fonction i doit être une fonction décroissante et ne peut donc présenter de bosses. Cette propriété permet de pallier sans problème le saut entre 2 et 24 h dans la modélisation des courbes IDF. Les modèles retenus présentent cet aspect. En outre, pour les durées d aggrégation courtes, les courbes IDF des précipitations doivent présenter une courbure orientée vers le bas, car l intensité instantanée (c est à dire pour une durée d agrégation tendant vers zéro) est une grandeur physique et par conséquent une grandeur finie. Les modèles empiriques doivent donc nécessairement prendre correctement en compte cet effet. Les différentes périodes de retour considérées pour le calcul des courbes IDF sont les suivantes: T = 2, 5, 10, 20, 50, 75 et 100 années. Nous présentons ci-après différents modèles de relations IDF que nous appliquerons ensuite aux données de la station de Yangambi: (a) Modèle 1: a( 1 = λ ψ η i = avec a( ln ln 1 et d) = ( d + θ) (9) d) T Les paramètres à estimer sont λ, ψ, θ, η. (b) Modèle 2: a( 1 = λ ψ θ η i = avec a( ln ln 1 et d) = d(1 + d ) (10) d) T Les paramètres à estimer sont à nouveau λ, ψ, θ et η. Dans ce modèle, les paramètres ont des dimensions physiques: λ est exprimé en dixièmes de mm; ψ est a- dimensionnel; θ est exprimé en min; et η est a-dimensionnel. (c) Modèle 3 (Montana simple): a( 1 i = avec a ( = C + D ln( et = E + F ln( (11) d 1 Les paramètres à estimer sont C, D, E et F (Grosse et al., 1980). (d) Modèle 4 (Montana amélioré no. 1): a( 1 i = avec a ( = C + D ln( et = E + F ln( (12) ( d + c) 1 Les paramètres à estimer sont C, D, E, F et c.

10 248 Bernard Mohymont & Gaston R. Demarée (e) Modèle 5 (Montana amélioré no. 2): i a( 1 avec a ( = C + D ln( et = E + F ln( (13) T d + c 1 = ) Les paramètres à estimer sont C, D, E, F et c. Les deux premiers modèles sont inspirés de Koutsoyiannis et al. (1998). Le troisième modèle n est rien d autre que la formule de Montana sous sa forme simplifiée (Grosse et al., 1980). On constate également que les modèles 3, 4 et 5 ne satisfont pas à la condition de séparation des variables T et d, ce qui implique que deux courbes de la même famille peuvent s éloigner ou se rapprocher. Les paramètres de ces formulations doivent par conséquent vérifier implicitement des contraintes supplémentaires de manière à éviter que des courbes associées en une même famille ne se croisent. Dans la représentation doublement logarithmique, le Modèle 3 décrit une famille de droites. Or, une telle famille ne peut pas correctement représenter l aspect fini d une intensité instantanée. Pour cette raison, le Modèle 3 sera exclus de la discussion qui suivra. Les deux derniers modèles constituent des améliorations du troisième modèle, où le paramètre supplémentaire garantit la courbure de la famille des fonctions décrites par la relation IDF. Remarquons qu il y a quatre paramètres à estimer pour chacun des trois premiers modèles et cinq paramètres à estimer pour chacun des deux derniers modèles. Dans chacun des cinq modèles, la durée d est toujours exprimée en minutes tandis que l intensité i est toujours exprimée en dixième de millimètres par heure. La méthode utilisée pour estimer ces paramètres est classique, comporte trois étapes distinctes et a déjà été utilisée par de nombreux auteurs (voir par exemple Demarée, 1985). Ces trois étapes sont les suivantes: Ajustement d une densité de probabilité aux extrêmes annuels et ce, pour chaque durée d agrégation disponible et/ou choisie par l utilisateur. La densité optée pour la station de Yangambi est la densité de Gumbel et les estimateurs utilisés sont les estimateurs des moments-l. Estimation des quantiles (appelés quantiles empiriques) pour chaque durée et chaque période de retour, spécifiées par l utilisateur, sur la base des densités estimées à la première étape. Régression non linéaire globale sur les quantiles empiriques estimés lors de la deuxième étape. Cette régression permet l estimation des paramètres de la relation IDF au moyen de la minimisation de la somme des carrés des erreurs relatives entre les courbes et les quantiles empiriques. Résultats La Fig. 3, constituée de quatre sous-figures, montre les résultats obtenus pour les modèles 1, 2, 4 et 5. Les étoiles représentent les quantiles empiriques tandis que les courbes continues représentent les courbes IDF des précipitations. Chacune de ces sous-figures est réalisée en échelle doublement logarithmique. Les valeurs obtenues pour les paramètres sont reprises sur chacune des sous-figures, ainsi que l erreur de régression. Cette erreur est la racine carrée de la somme des carrés des erreurs relatives entre les quantiles empiriques et les courbes IDF.

11 -1 ) Intensité pluvieuse (0.1 mm h -1 ) Intensité pluvieuse (0.1 mm h -1 ) ) λ = 8701 ψ = 5.08 θ = η = 0.98 Erreur: 3.9% C = D = E = F = 2.34 c = Erreur: 4.1% Durée (min) Sens croissant pour T Sens croissant pour T Intensité pluvieuse (0.1 mm h -1 ) (0.1 λ = = ψ = = θ = = η = = Erreur: 4.3% 4.1% Modèle 1 Modèle 2 Intensité pluvieuse (0.1 mm h -1 ) C = D = E = F = 4.51 c = Erreur: 4.0% Modèle 4 Modèle 5 Durée (min) Sens croissant pour T Sens croissant pour T Fig. 3 Courbes IDF pour les précipitations à Yangambi, Congo. Les valeurs des paramètres des modèles sont indiquées sur chaque sous-figure ainsi que l erreur de régression. Les quantiles empiriques (étoiles) ont été obtenus au moyen d un modèle Gumbel. Les périodes de retour utilisées sont 2, 5, 10, 20, 50, 75 et 100 années. Courbes intensité durée fréquence des précipitations à Yangambi, Congo 249

12 250 Bernard Mohymont & Gaston R. Demarée Les Tableaux 4 et 5 reprennent de manière récapitulative les valeurs des paramètres obtenus pour chacun des modèles ainsi que les erreurs de régression obtenues. Tableau 4 Valeurs des paramètres des courbes IDF pour les modèles 1 et 2 ainsi que l erreur relative d interpolation commise. Cette erreur est la racine carrée de la somme des carrés des écarts relatifs entre les courbes et les quantiles empiriques. Les dimensions sont indiquées entre crochets. Modèle λ ψ θ η Erreur (0.1 mm) (min) Tableau 5 Valeurs des paramètres des courbes IDF pour les modèles 4 et 5 ainsi que l erreur relative d interpolation commise (voir les explications au Tableau 4). Modèle C D E F c Erreur Les valeurs élevées du paramètre η pour les modèles 1 et 2 retiennent notre attention. Pour des raisons physiques, ce paramètre est compris entre les valeurs 0 et 1. Une valeur plus grande que 1 signifierait que la quantité extrême de pluie diminue avec la durée, ce qui est impossible. Les valeurs estimées de 0.96 et 0.98 pour le paramètre η dans les courbes IDF sont très proches de la valeur limite 1, ce qui confirme que l essentiel de l information concernant les valeurs extrêmes pluvieuses se situe dans les courtes durées et donc que l erreur d interpolation commise entre les durées de 2 et de 24 h est faible. Par comparaison, les valeurs du paramètre η calculées à Uccle (Belgique) pour les mêmes modèles sont de l ordre de 0.75 (Mohymont et al., 2004). De même, Menabde et al. (1999) ont obtenu des valeurs comprises entre 0.65 et 0.75 pour les stations sud-africaines, mais au moyen d un modèle multi-fractal. Finalement, le Tableau 6 reprend quelques valeurs clefs, concernant la relation IDF ajustée suivant le Modèle 2 pour la station de Yangambi. Il est intéressant de comparer les valeurs du Tableau 6 pour la durée de 24 h (ou 1440 min) avec les valeurs du Tableau 2, présentées à la section intitulée Analyse des maxima annuels de la cote pluviométrique journalière. Le Tableau 6 reprend les valeurs extrêmes de pluie pour la station de Yangambi ( ) obtenues au moyen de la relation IDF donnée par le Modèle 2 et basée sur les valeurs extrémales annuelles de pluie pour les durées d agrégation de 15, 30, 45, 60, 120 et 1440 min. La partie gauche de ce tableau, constituée par les cinq premières colonnes, reprend l information IDF pour une période de retour égale à 20 années tandis que la partie droite reprend l information pour une période de retour de 100 années. Pour chacune des deux parties, la première colonne indique la période de retour. La deuxième colonne indique l intensité extrême correspondant à cette période de retour. Les trois dernières colonnes reprennent la quantité extrême de pluie (exprimée en mm), ainsi que les bornes inférieures et supérieures d un intervalle à 95% de confiance obtenu à

13 Courbes intensité durée fréquence des précipitations à Yangambi, Congo 251 Tableau 6 Table des valeurs extrêmes de pluie pour la station de Yangambi ( ) obtenues au moyen de la relation IDF donnée par le Modèle 2 et basée sur les valeurs extrémales annuelles de pluie pour les durées d agrégation de 15, 30, 45, 60, 120 et 1440 min. T = 20 ans T = 100 ans d I q q inf. q sup. d I q q inf. q sup. (min) (mm h -1 ) (mm) 95% 95% (min) (mm h -1 ) (mm) 95% 95% partir d une méthode de ré-échantillonnage appliquée aux quantiles empiriques mais adaptée aux valeurs données par la relation IDF. Bien que différentes, les estimations du Tableau 6 restent comprises dans les intervalles de confiance associés aux valeurs du Tableau 2, et réciproquement. Les différences observées sont donc avant tout d ordre statistique, dans le sens où les longueurs des deux séries sous-jacentes sont différentes (33 et 62 ans). De plus, les valeurs reprises dans ces deux tables sont estimées au moyen de deux techniques distinctes; les valeurs données par un modèle IDF sont utilisées au Tableau 6 tandis que les quantiles théoriques estimés au moyen de la loi de probabilité ajustée aux extrêmes annuels sont utilisés pour le Tableau 2. Mais le fait que les valeurs restent comparables, après prise en compte des IC, nous rassure quant à la consistance de notre méthodologie et quant au choix de la loi de probabilité effectué. CONCLUSIONS Nous observons que les erreurs commises par les modeles 1, 2, 4 et 5 sont toutes semblables et valent environ 4%. Cette valeur est remarquablement petite et nous observons d ailleurs visuellement sur les figures correspondantes que l ajustement des courbes aux quantiles empiriques est presque parfait. Nous remarquons également que les modeles 4 et 5 sont probablement sur-paramétrés puisqu ils présentent la même erreur que les modèles 1 et 2, alors que ceux-ci utilisent un paramètre de moins. De plus, les modèles 4 et 5 ne satisfont pas au critère de la séparation des variables d et T. Quant aux modèles 4 et 5, l expression linéaire retenue pour a(t) n est autre qu une approximation linéaire de la fonction inverse de la loi de probabilité de Gumbel, ce qui ne se justifie pas vu que la formulation complète préconisée par Koutsoyiannis et al. (1998) n est pas plus difficile à utiliser. Le Modèle 3 dit Montana simple a été éliminé car il ne satisfaisait pas à la contrainte asymptotique requise lorsque d tend vers zéro, ce qui explique que l erreur commise par le Modèle 3 est beaucoup plus importante (18%). Ceci vient du fait que le Modèle 3 correspond à une série de droites parallèles alors que la loi IDF sous-jacente

14 252 Bernard Mohymont & Gaston R. Demarée aux quantiles empiriques présente manifestement une courbure. On conclut que la formule classique dite Montana simple ne peut pas être utilisée pour des temps d agrégation inférieurs à un jour. Il est évident que pour des intervalles reprenant des durées autres que celles utilisées dans cet article, ce modèle peut parfaitement convenir. Dans ce cas, les courbes deviennent une famille de droites non-parallèles telles que celles obtenues par Grosse et al. (1980) pour des durées comprises entre 1 et 10 jours. Nous concluons finalement que le Modèle 2 est le plus intéressant dans le sens où il n utilise que quatre paramètres ayant chacun une dimension physique. Cette propriété permet un changement d échelle des axes sans devoir recalculer les paramètres au moyen d une nouvelle procédure d optimisation non-linéaire. Lors d un tel changement d échelle, les nouvelles valeurs des paramètres du Modèle 2 s obtiennent simplement en effectuant un changement de dimension adéquat sur les paramètres. Ces conclusions préconisent donc l utilisation d une formule type Montana sur des bases physique et probabiliste plus solides et rejettent les formulations de Montana dites classiques. Le développement hydraulique subséquent conduisant à la formule de Caquot n est cependant plus aussi évident. Nous avons également montré que l adjonction d intervalles de confiance appropriés était hautement intéressante, voire indispensable. En effet, une estimation ou une mesure, quelle qu elle soit, ne signifie rien sans une idée de sa précision. De plus, d un point de vue gestion de risques, l utilisateur pourra, dans le doute, prendre la borne supérieure de l intervalle de confiance sur la quantité extrême, plutôt que d utiliser des coefficients de risques purement artificiels. Remerciements Les auteurs remercient en particulier Marcel Crabbé qui a transmis les données sous forme manuscrite et B. Totiwe T Essabe de l INERA à Yangambi pour les soins continus d observations éco-climatologiques, efforts sans lesquels cet article n aurait pas été possible. REFERENCES Beirlant, J., Teugels, J. & Vynckler, P. (1996). Practical Analysis of Extreme Values. Leuven University Press, Belgique. Bultot, F. (1950) Carte des régions climatiques du Congo Belge établie d après les critères de Köppen. Publication de l Institut National pour l Etude Agronomique du Congo Belge (INEAC). Communication no. 2, Bureau Climatologique, Bruxelles. Bultot, F. (1956) Etude statistique des pluies intenses en un point et sur une aire au Congo Belge et au Ruanda-Urundi. Publication de l Institut National pour l Etude Agronomique du Congo Belge. Communication no. 11, Bureau Climatologique, Bruxelles. CERTU (Centre d'études sur les Réseaux, les Transports, l'urbanisme et les constructions publiques) (2003) La ville et son assainissement. Principes et outils pour une meilleure intégration dans le cycle de l eau. CERTU, Lyon, France. Coles, S., Pericchi, L. R., & Sisson, S. (2003) A fully probabilistic approach to extreme rainfall modelling, J. Hydrol. 273(1/4), Crabbé, M. (1971) Recueil d instructions relatives au réseau d écoclimatologie (quatrième édn). Institut National pour l Etude Agronomique du Congo (INEAC), Kinshasa. Demarée, G. (1985) Intensity duration frequency relationship of point precipitation at Uccle. Reference period Koninklijk Meteorologisch Instituut van België, Publications Reeks A, nr Demarée, G., Derasse, S. & Assani, A. (1998) Extreme-value distribution of the rainy season daily precipitation depths at Lubumbashi (Shaba), Zaïre. In: Tropical Climatology, Meteorology and Hydrology in Memoriam Franz Bultot ( ) (ed. by G. Demarée, J. Alexandre & M. De Dapper) (Proc. Int. Conf., Brussels, May 1996), Royal Meteorological Institute of Belgium Royal Academy of Overseas Sciences. Efron, B. & Tibshirani, R. J. (1994) An Introduction to the Bootstrap. Chapman & Hall, London, UK.

15 Courbes intensité durée fréquence des précipitations à Yangambi, Congo 253 Grosse, J. Y., Givone, C., Givone P., Colin, E., Oberlin, G. & Schwartz, J. (1980) Crues et assainissement. Analyse des pluies de 1 à 10 jours sur 300 postes métropolitains. La Météorologie, VIe série 20/21, Circulaire inter-ministérielle (1981) Instruction technique relative aux réseaux d assainissement des agglomérations Circulaire 77284/INT. Ministère de l Intérieur, Direction Générale des Collectivités Locales, Ministère de la Culture et de l Environnement, etc. Paris, Imprimerie Nationale, 4 fasc. Köppen, W. (1923) Die Klimate der Erde. Grundriss der Klimakunde. De Gruyter, Berlin, Germany. Koutsoyiannis, D. (2004) On the appropriateness of the Gumbel distribution for modelling extreme rainfall. In: Hydrological Risk: Recent Advances in Peak River Flow Modelling, Prediction and Real-time Forecasting. Assessment of the Impacts of Land-use and Climate Changes (ed. by A. Brath, A. Montanari & E. Toth), Editoriale Bios, Castrolibero, Bologna, Italy. Koutsoyiannis, D. & Baloutsos, G. (2000) Analysis of a long record of annual maximum rainfall in Athens, Greece, and design rainfall inferences. Natural Hazards 22(1), Koutsoyiannis, D., Kozonis, D. & Manetas, A. (1998) A mathematical framework for studying rainfall intensity duration frequency relationships. J. Hydrol. 206, Menabde, M., Seed, A. & Pegram, G. (1999) A simple scaling model for extreme rainfall, Water Resour. Res. 35(1), Mohymont, B. (1999) Estimation de quantiles : méthodes paramétriques et non paramétriques. MSc Thesis, INMA, UCL, Louvain-la-Neuve, Belgique. Mohymont, B., Demarée, G. R. & Faka, D. N. (2004) Establishment of IDF-curves for precipitation in the tropical area of Central Africa-comparison of techniques and results. Natural Hazards and Earth System Sciences 4, Pire, J., Berruex, M. & Quoidbach, J. (1960) L intensité des pluies au Congo et au Ruanda-Urundi. Mémoires-Collection in-4, Livre VI, Fascicule 1, Classe des Sciences Techniques, Académie Royale des Sciences d Outre-Mer. Réméniéras, G. (1972) L Hydrologie de l Ingénieur (troisième édn). Collection du Centre de Recherches et d Essais de Chatou, Eyrolles, France. Ruwet, A., Sengele, N., Agana, P. & Totiwe, T. (1985) Paramètres moyens et extrêmes principaux du climat des stations du réseau INERA, Tome 1 (troisième édn). Institut National pour l Etude et la Recherche Agronomiques (INERA), Section de Climatologie, Yangambi, République du Zaïre. Stedinger, J. R., Vogel, R. M. & Foufoula-Georgiou, E. (1993) Frequency analysis of extreme events. Ch. 18 in: Handbook of Hydrology (ed. by D. R. Maidment). McGraw-Hill, New York, USA. Vandenplas, A. (1943) La pluie au Congo Belge. Mémoires Institut Royal Météorologique de Belgique XVI. Ven Te Chow (1964) Handbook of Applied Hydrology. McGraw-Hill, New York, USA. Wilks, D. S. (1993) Comparison of three-parameter probability distributions for representing annual extreme and partial duration precipitation series, Water Resour. Res. 29(10), Reçu le 12 avril 2005; accepté le 22 novembre 2005