1) Equation du premier degré à deux inconnues. 8x + 2y = 6 Pour faciliter les calculs on isole y :

Transcription

1 1 I) Mise en évidence et définition. 1) Equation du premier degré à deux inconnues. Nous avons vu qu une équation du premier degré à deux inconnues admettait une infinité se couples solutions, que l on pouvait représenter par des points sur un graphique, et que ces points étaient tous alignés sur une même droite. Exemple : 8x + 2y = 6 Pour faciliter les calculs on isole y : 2y = 6 8x y = y = 3 4x y = 4x + 3 On choisit les valeurs de x que l on veut, et on calcule y qui dépend de la valeur de x choisie. Il suffit de deux points pour tracer la droite, mais souvent on en considère trois pour plus de précision. o x y On trace les trois points de coordonnées ( 1 ; 7 ) ; ( 0 ; 3 ) ; ( 2 ; 5 ) La droite formée par tous les points représentant les couples solutions de cette équation passe forcément par ces trois points.! Remarques :

2 2 Toute équation du premier degré à deux inconnues peut s écrire sous la forme : y = ax + b où a et b sont deux nombres fixés. Toute équation du premier degré à deux inconnues, a une infinité se couples solutions ( x ; y ) qui peuvent être représentés dans un repère orthonormé par des points de coordonnées ( x ; y ) tous alignés sur une même droite. 2) Définition. Df : Soient deux nombres a et b, on définit une fonction affine f lorsque à tout nombre x, on associe le nombre ax + b. Les nombres a et b sont les coefficients de f. Le nombre ax + b est l image de x par f. Notations : f : x ax + b La fonction affine f qui à tout nombre x associe le nombre ax + b. f ( x ) L image de x par la fonction f. f ( x ) = ax + b L image de x par la fonction f est le nombre ax + b Exemples : f : x 3x 5 ou f ( x ) = 3x 5 Les coefficients de f sont 3 et b = 5 L image du nombre 2 par f se note f ( 2 ). f ( 2 ) = = 6 5 = 1 donc l image du nombre 2 par f est 1 Le nombre qui a pour image 4 se calcule en résolvant l équation 3x 5 = 4 3x = x = 9 x = Donc le nombre qui a pour image 4 par f est 3. x = 3 Ont dit que 3 est l antécédent de 4 par f.! Remarques : Il y a deux cas particuliers de fonctions affines : Fonction linéaire :

3 3 Si le coefficient b est nul, alors f ( x ) = ax Fonction constante : Si le coefficient a est nul, alors f ( x ) = b Df : Soit un nombre a. On définit une fonction linéaire f lorsque à tout nombre x, on associe le nombre ax. Le nombre a est le coefficient de f. Le nombre ax est l image de x par f. Une fonction linéaire correspond à une relation proportionnelle. Exemple f : x 4x ou f ( x ) = 4x Le coefficient de f est 4 L image du nombre 1 par f se note f ( 1 ). f ( 1 ) = 4 ( 1 ) = 4 donc l image de 1 par f est 4. L antécédent du nombre 12 par f se calcule en résolvant l équation 4x = 14 x = Par f, l antécédent du nombre 14 est 3.5 x = 3.5 Df : Soit un nombre b. On définit une fonction constante f lorsque à tout nombre x, on associe le nombre b. Le nombre b est le coefficient de f. Le nombre b est l image de x par f.! Remarque : Par une fonction constante, l image de n importe quel nombre x ne dépend pas de x, c est toujours le même nombre b. Exemple : f : x 6 ou f ( x ) = 6 Le coefficient de f est 6

4 4 L image du nombre 5 se note f ( 5 ). f ( 5 ) = 6 f ( 3 ) = 6 f ( 8 ) = 6 f ( ) = 6.etc! Remarque : Dans ce cas, 6 a une infinité d antécédents. II) Représentation graphique d une fonction affine dans un repère ( O ; I ; J ) Prop : Etant donné deux nombres a et b, la représentation graphique de la fonction affine f : x ax + b est une droite non parallèle à l axe des ordonnée. ( c est à dire non verticale.). On dit alors que cette droite a pour équation y = ax + b. b est appelé l ordonnée à l origine de la droite. Si x vaut 0, alors y vaut a 0 + b c est à dire b, donc la droite passe par le point de coordonnées ( 0 ; b ) b est donc l ordonnée correspondant à l origine des abscisses. Il correspond à l endroit où la droite coupe l axe des ordonnées. a est appelé le coefficient directeur de la droite. Si a > 0, la droite monte de la droite vers la gauche. Si a < 0, la droite descend de la droite vers la gauche. Si 0, la droite est horizontale, c est à dire parallèle à l axe des abscisses. Prop. réciproque : Toute droite non parallèle à l axe des ordonnées est la représentation graphique d une fonction affine. Elle a une équation de la forme y = ax + b. Exemples : Tracer la représentation graphique de la fonction h : x 2x + 3 Méthode par le calcul

5 5 Je calcule les images de trois nombres de mon choix par la fonction h J utilise un tableau pour présenter les nombres obtenus : h ( 1 ) = 2 ( 1 ) + 3 = = 5 h ( 0 ) = = 3 h ( 2 ) = = = 1 x y o Je trace les trois points de coordonnées ( 1 ; 5 ) ; ( 0 ; 3 ) et ( 2 ; 1 ), cela me permet de tracer la droite qui représente h, d équation y = 2x + 3 Méthode graphique : Je dois tracer la droite d équation y = 2 x + 3 L ordonnée à l origine est 3, donc la droite coupe l axe des ordonnées à l ordonnée 3. ( Elle passe par le point de coordonnées ( 0 ; 3 ) ) Le coefficient directeur est 2, c est à dire Déplacement vertical Déplacement horizontal A partir du point déjà tracé, j avance de 1 je descend de 2, je marque le point, puis je recommence autant que je veux Cette méthode graphique n est faisable que si la fonction à représenter a des coefficient simples.

6 6 Retrouver graphiquement la fonction affine g correspondant à une droite tracée dans un repère ( O ; I ; J ) La droite a une équation de la forme y = ax + b La droite coupe l axe des ordonnées en 3 donc l ordonnée à l origine est b = 3 o Je considère un point de la droite bien précis : ( 2 ; 5 ) par exemple. Pour le rejoindre j avance de 2 et je monte de 8 donc = 4 Donc la droite a pour équation y = 3 x + 4 donc la fonction affine correspondante est g ( x ) = 3x + 4 III) Déterminer une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images. Exemple : Déterminer la fonction affine f telle que f ( 3 ) = 1 et f ( 2 ) = 3 b = 1 f est une fonction affine, donc pour tout nombre x, f ( x ) = ax + b. f ( 3 ) = 1 donc a ( 3 ) + b = 1 = 1 b f ( 2 ) = 3 donc a 2 + b = 3 J obtiens donc le système suivant à b résoudre = : ( 1) 3a + b = 1 2a + b = 3 Je résous ce système par combinaison. = b

7 7 3a3a 3a b = 1 2a + b = 3 3a b = 1 3a a b = a b == 1 3 b = 1 Donc la fonction affine f est déterminée par f ( x ) = x + Ou par f ( x ) = 1.25 x