Compléments sur les fonctions
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- Adam Falardeau
- il y a 6 ans
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1 Compléments sur les fonctions I Sens de variation; etremums : ) Sens de variation Définition : f est une fonction définie sur D et I un intervalle contenu dans D. - Dire que f est strictement croissante sur I signifie que pour tous réels et 2 de I, si < 2, alors f() < f(2). - Dire que f est strictement décroissante sur I signifie que pour tous réels et 2 de I, si < 2, alors f() > f(2). Si dans la première définition, on remplace f() < f(2) par f() f(2), on dit que f est croissante sur I. Si dans la deuième définition on remplace f() > f(2) par f() f(2), on dit que f est décroissante sur I. Eemples a) On considère cette courbe représentant une fonction f définie sur l intervalle [ 2 ; 5]. D après son allure, pour tous réels et 2 de [ 2 ; 5], si < 2, alors f f. 2 o La fonction f est strictement croissante sur [ 2 ; 5]. «Les nombres de [ 2 ; 5] et leurs images sont rangés dans le même ordre.» «La courbe monte de la gauche vers la droite.» b) Cette courbe représente une fonction g définie également sur l intervalle [-2 ; 5]. D après son allure, pour tous réels et 2 de [ 2 ; 5], si < 2, alors g g. 2 o La fonction g est strictement décroissante sur [ 2 ; 5]. «Les nombres de [ 2 ; 5] et leurs images ne sont pas rangés dans le même ordre.» «La courbe descend de la gauche vers la droite.»
2 2) Maimum, minimum Définition : f est une fonction définie sur D, I un intervalle contenu dans D et a est un réel de I. - Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que f(a) est la plus petite valeur de la fonction sur I : Pour tout réel de I, f() f(a). - Dire que f(a) est le maimum de f sur I signifie que f(a) est la plus grande valeur de la fonction sur I : Pour tout réel de I, f() f(a). Le minimum sur l intervalle [ 7 ; 3] de la fonction f représentée ci-dessus est 4, atteint pour = 0,5. Le maimum sur [ 7 ; 3] est, atteint pour = 2 3) Tableau de variations Les résultats de ces études peuvent être résumés dans un «tableau de variations». Eemple : Reprenons la courbe ci-dessus, voici le tableau de variations de cette fonction f : ,5 3 f(),5 0,5-4
3 II Résolutions graphiques d inéquations : f est une fonction définie sur un domaine D, Cf est sa représentation graphique dans un repère du plan. ) Résolution de l inéquation f() k Résoudre l inéquation f() k, c est chercher les nombres qui ont une image supérieure ou égale à k. Graphiquement, cela revient à trouver les points de Cf dont l ordonnée est supérieure ou égale à k. C f Pour résoudre graphiquement l inéquation f() : On commence par procéder comme pour une équation, on trace la droite d équation = -. On repère ensuite les points de la courbe situés au-dessus ou sur la droite d équation = -. S = [-2 ; 0] U [3 ; + [ Remarque : - Pour f() > -, on procède de même sauf que l on eclut les réels d images - : S = ]-2 ; 0[ U ]3 ; + [. - Pour f() -, S = ]- ; -2] U [0 ; 3] - Pour f() < -, S = ]- ; -2[ U ]0 ; 3[. 2) Signe d une fonction Déterminer le signe de f(), selon les valeurs de, consiste à résoudre l équation f() = 0 et les inéquations f() < 0 et f() > 0. Les résultats sont regroupés dans un tableau. Eemple : La fonction f représentée ci-dessous est définie sur [-4 ; 7] f() = 0 si = -3 ou = - ou =. f() < 0 si 4; 3 ;. f() > 0 si 3; ;7. d où le tableau de signe : f()
4 3) Comparer deu fonctions f et g C f C g Pour l inéquation f() > g() Les solutions sont les abscisses des points de la courbe Cf situés au-dessus (strictement) de la courbe Cg. Sur notre eemple, S = ]- ; -5[ U ] ; 8[ Remarque : On procède de même pour les autres inéquations III Fonctions affines : ) Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction f définie sur par f() = a + b est une fonction affine. Eemple : f : 2 3 est une fonction affine ; b = 3 est l image de 0 par f, c est-à-dire f(0) = 3 ; a = 2, coefficient multipliant est le tau d accroissement ou tau de variation. Remarques : lorsque b = 0, la fonction est alors linéaire : f() = a ; Lorsque a = 0, la fonction est alors constante : f() = b. 2) Représentation graphique Théorème : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine définie par f() = a + b est la droite D de coefficient directeur a, passant par le point P(0 ;b). b est appelé ordonnée à l origine. = a + b est l équation réduite de D.
5 Eemple : Soit f la fonction affine définie par f() = Sa représentation graphique est la droite dessinée ci-dessous. Pour la tracer, il suffit d un tableau de valeurs donnant deu points. =2+3 P(0;3) Remarques : La représentation graphique d une fonction linéaire ( l origine du repère (d équation réduite = a). a) est une droite qui passe par La représentation graphique d une fonction constante ( (d équation réduite = b). b) est une droite parallèle à l ae des abscisses 3) Sens de variation Théorème : soit f la fonction affine définie par f() = a + b ; trois cas se présentent : - si a > 0, alors f est strictement croissante sur ; - si a = 0, alors f est constante sur ; - si a < 0, alors f est strictement décroissante sur. a>0 a=0 a<0 4) Fonction affine et tau de variation Théorème : f est une fonction affine définie par f() = a + b. Alors pour tous réels u et v distincts, f (u) f (v) u v = a. Le tau de variation de f entre u et v est constant, égal à a.
6 Preuve : soient u et v distincts, f(u) = au + b et f(v) = av + b. Donc f(u) f(v) = (au + b) (av + b) = au av = a(u v). On en déduit le résultat en divisant par (u v). Application : déterminer la fonction affine f telle que f(-3) = 9 et f(2) = -. f est affine donc de la forme f() = a + b ; avec u = 2 et v = - 3, et d après le théorème, on a : 2 ( 3) 5 5 a = f (2) f ( 3) Donc f() = -2 + b ; pour trouver b, on réutilise une des deu images données : f(2) = b et on sait que f(2) = -, on en déduit b = -, ce qui donne -4 + b = -, donc b = = 3. Conclusion f() = (penser à vérifier que f(-3) = 9). Remarque : on peut noter a =, ce qui signifie «variations des sur variations des» Avec notre eemple, on a : = =f() 9 - On a ainsi a = -0/5 = -2. = - 0 Théorème réciproque : f est une fonction définie sur. Si pour tous les réels u et v (u v), on a f (u) f (v) u v alors f est la fonction affine définie par f() = a + f(0). constant, égal à un réel a, Si les accroissements d une fonction sont proportionnels au accroissements de la variable (avec a comme coefficient de proportionnalité), alors on a une fonction affine. u v Preuve : prenons u = non nul et v = 0, alors f (u) f (v) f () f (0) a ; Donc f() - f(0) = a, d où f() = a +f(0). f est bien une fonction affine.
7 5) Signe d une fonction affine A l aide d une résolution d inéquation, on obtient le tableau ci-dessous - b/a + signe de a + b signe de a 0 signe de a
8 IV Algorithmique :
9 Eemple : Le minimum sur l intervalle [- 7 ; 3] de la fonction f représentée ci-dessus est.., et il est atteint pour =. Le maimum sur [- 7 ; 3] est et il est atteint pour Eemple : Le minimum sur l intervalle [- 7 ; 3] de la fonction f représentée ci-dessus est.., et il est atteint pour =. Le maimum sur [- 7 ; 3] est et il est atteint pour Eemple : Le minimum sur l intervalle [- 7 ; 3] de la fonction f représentée ci-dessus est.., et il est atteint pour =. Le maimum sur [- 7 ; 3] est et il est atteint pour
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