Combinatoire énumérative

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1 Combiatoire éumérative Igor Kortchemsi - Itroductio - La Combiatoire est u sous-art des mathématiques qui cosiste à compter et à étudier des structures fiies. De ombreux problèmes difficiles sot formulés de maière très simple (mais la résolutio écessite des outils avacés). Le but de ce cours est de préseter quelques réflexes et idées de bases pouvat être utiles das la résolutio d exercices de combiatoire de type olympiades. O parlera de coefficiets biomiaux, double-comptage, ijectios, surjectios, bijectios. 1 Coefficiets biomiaux 1.1 Défiitios O rappelle qu u esemble E est ue collectio d élémets dot l ordre a pas d importace (aisi, les esembles {2, 3} et {3, 2} sot les mêmes esembles) et comptés sas multiplicité (par exemple, 2,22). O ote x A si x appartiet à l esemble A. Si A et B sot deux esemble, o écrit A B et o dit que A est iclus das B si chaque élémet de A appartiet à B. L esemble vide, qui e cotiet aucu élémet, est oté. O ote Card(A) (o prooce «cardial de A») le ombre d élémets de A. O dit que A est ifii si Card(A), fii sio. Défiitio 1. Pour des etiers 0, o ote ( ) (et o prooce «parmi») le ombre de maières de choisir u sous-esemble à élémets d u esemble à élémets différets. Pour >, o pose ( ) 0. Il est clair que das la défiitio précédete, ( ) e déped pas de l esemble à élémets différets cosidéré. Exemple 2. O a ( 4 2) 6, car les sous-esembles à 2 élémets de {1, 2, 3, 4} sot {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4} et il y e a 6 Pour u etier 1, rappelos la otatio! ( 1). O lit " factorielle". Propositio 3. Le ombre de maières d ordoer élémets est!. Démostratio. Nous avos possibilités pour choisir le premier élémet, 1 possibilités pour le deuxième, et aisi de suite jusqu au derier élémet pour lequel ous avos ue seule possibilité. Le résultat e découle. 1

2 Propositio 4. Pour des etiers 0, o a :! ( )!!. Démostratio. Utilisos le pricipe de double-comptage, très importat e combiatoire. Il cosiste à établir ue égalité e comptat de deux maières différetes ue certaies quatité. Ici, comptos le ombre de suites à élémets qu o peut créer e utilisat les élémets d u esemble à élémets différets. D ue part, comme pour la propositio précédete, ous avos choix pour le premier terme de la suite ; 1 choix pour le deuxième, et aisi de suite jusqu au -ième élémet pour lequel ous avos +1 choix. Fialemet, il y a e tout ( 1) ( +1)! ( )! suites à élémets. D autre part, pour créer ue suite à élémets, o peut commecer par choisir les élémets qui vot costituer la suite ( ( ) possibilités), puis les ordoer (! maières possibles de les ordoer). Il y a doc e tout! ( ) suites à élémets. 1.2 Propriétés combiatoires Exercice 1 Pour des etiers 0, o a : ( ) ( ) Solutio de l exercice 1 Première méthode : O utilise la formule ( )! et le résultat ( )!! e découle immédiatemet. Deuxième méthode : O remarque que choisir élémets parmi reviet à sélectioer les élémets qu o e choisira pas. L exercice précédet, bie que facile, est assez représetatif des exercices ayat pour but de prouver des relatios d égalité etre coefficiets biomiaux. Très souvet, il y a toujours (au mois) deux approches possibles : remplacer les coefficiets biomiaux par leur formule et rameer le problème à u exercice de maipulatio de relatios algébriques, ou bie iterpréter de maière combiatoire les deux termes de part et d autre de l égalité et prouver qu ils sot égaux. La deuxième approche est bie sûr bie plus élégate et fourit très souvet des preuves courtes, mais requiert davatage d igéiosité. Propositio 5. (formule de Pascal) Soiet et 0 des etiers (avec (, ) (0, 0)). Alors : ( ) ( ) ( )

3 Démostratio. Première méthode : O utilise la formule : ( ) ( ) 1 1 ( 1)! + 1!( 1 )! + ( 1)! ( 1)!( )! ( ( 1)! 1 ( 1)!( 1 )! + 1 ) ( ) ( 1)! ( 1)!( 1 )! ( )!!( )! Secode méthode : Démotros ce résultat de maière combiatoire. Cosidéros l esemble {1, 2,..., } et déombros ses sous-esembles à élémets. O distigue les esembles qui cotieet l élémet et les esembles qui e le cotieet pas. Il y a ( ) 1 esembles qui e cotieet pas (o choisit élémets das {1, 2,..., } et il y e a ( 1 1) qui cotieet. Au total o a doc ( ) ( ) maières de choisir os élémets parmi os etiers, d où le résultat. La formule de Pascal ous permet esuite de costruire le triagle de Pascal, que vous coaissez peut-être déjà. La case située das la -ième coloe de la -ième lige cotiet le coefficiet biomial ( 1 1). D après la formule de Pascal, o obtiet doc chaque case comme la somme des deux cases qui sot au-dessus O costate qu il y a u lie etre la -ième lige du triagle de Pascal et le développemet de (x + y) : Propositio 6 (Formule du biôme de Newto). Soiet x, y des ombres réels et 1 u etier. Alors : x y (x + y). 0 Notatio. Avat de démotrer cette formule, u petit rappel de otatio : 3

4 Lorsqu o veut faire ue grosse somme de termes qui peuvet s exprimer selo u etier, souvet oté (ou i mais cela a pas d importace), qui varie etre deux valeurs, o utilise le symbole. Par exemple : ( + 1) 2 ( ) ( ) Pour u produit o utilise de la même maière le symbole. Par exemple :! 1 Démostratio. Première méthode : par récurrece sur (s etraîer à le faire). Secode méthode : lorsqu o développe (x + y) (x + y) (x + y), pour trouver le coefficiet devat x y, parmi les termes (x + y), il faut e choisir pour lesquels o garde le x et qui vot doer u terme x, et les autres termes pour lesquels o sélectioe y (et qui sot fixés par le choix des premiers) vot doer le terme y. Le résultat s esuit. Exercice 2 Pour tout etier 1, o a 0 2. Exercice 3 Pour 0, o a : ( ) ( ) 1. 1 Exercice 4 Quel est le cardial moye d u sous-esemble de {1, 2,..., }? Exercice 5 Prouver que pour 0 m : 0 ( ) m 2 m. m Exercice 6 Combie y a-t-il de chemis sur Z 2 issus de (0, 0), faisat des pas +(1, 0) ou +(0, 1), et fiissat e (m, ), où m, 0? Exercice 7 De combie de maières peut-o placer 5 pièces idetiques das 3 poches différetes? 4

5 Solutio de l exercice 2 Première méthode : Si o a pas d idée commet commecer de maière astucieuse, o peut essayer de procéder par récurrece sur. Pour 1, le résultat est clair. Supposos le résultat acquis au rag et motros-le au rag + 1 e écrivat, avec la formule de Pascal : +1 ( ) (( ) ( )) ( ) + 0 ( 1 ) (par hypothèse de récurrece) 2 +1, Secode méthode : Démotros ce résultat de maière combiatoire e comptat le ombre N de sous-esembles de {1, 2,..., }. D ue part, pour u etier 0, il y a ( ) sousesembles à élémets. E sommat le tout, o voit que N ( 0 ). Mais, pour costruire u sous-esemble de {1, 2,..., }, o a le choix de choisir 1 ou o, 2 ou o, et aisi de suite jusqu à. O a doc choix à faire etre deux possibilités et ces choix sot idépedats (le choix de predre ou o ifluece pas le choix de predre ou o si ), d où N 2, ce qui permet de coclure. E particulier, la solutio précédete motre qu il existe 2 sous-esembles d u esemble à élémets. Troisième méthode : O utilise la formule du biôme de Newto avec x y 1. Solutio de l exercice 3 Première méthode : O utilise la formule exprimat ( ) (o vous laisse le faire). Secode méthode : Démotros ce résultat de maière combiatoire e comptat de deux maières différetes le ombre de sous-esembles de {1, 2,..., } de cardial ayat u élémet distigué (qu o appellera chef). D ue part, il suffit de choisir u sous-esemble de cardial ( ( ) choix), puis de choisir u chef ( choix idépedats). O obtiet doc e tout ( ) possibilités. D autre part, o peut d abord choisir u chef ( choix) puis compléter les 1 élémets à choisir das {1, 2,..., } privé du chef (doc u esemble à 1 élémets). Il y a alors ( ) 1 1 élémets. Solutio de l exercice 4 Première méthode (d après ue idée d élèves) : O regroupe u esemble avec so complémetaire. Si A {1, 2,..., }, o ote A c l esemble des etiers de {1, 2,..., } qui e sot pas das A. Notos N ce cardial moye. Alors : N 1 2 A {1,2,...,} 1 2 A {1,2,...,} Autre méthodes : Il faut évaluer la somme Card(A) 1 2 A {1,2,...,} S CardA + Card(A c ) 2

6 Si o e sait pas commecer, il faut étudier les premiers cas : 1, 2,.... O trouve toujours S /2. Essayer doc de démotrer cela. Secode méthode : Si o a pas d idée, o peut procéder par récurrece sur. Troisième méthode, plus avacée. O utilise le résultat de la propositio 6. Cosidéros le polyôme P (x) ( 0 ) x. D après la formule du biôme de Newto, P (x) (1 + x). Dérivos cette égalité par rapport à x : ( 0 ) x 1 (1 + x) 1. Évaluos alors cette quatité e x 1 : 2 1. Le résultat e découle. 0 Solutio de l exercice 5 O remarque d abord que seuls les tels que m cotribuet de maière o ulle. O va procéder à u double comptage e comptat le ombre N de sous-esembles A, B de {1, 2,..., } tels que A B et Card(A) m. E effet, d ue part, pour costruire A, B o peut d abord choisir A de cardial m ( ( m) choix), puis rajouter u sousesemble quelcoque de l esemble {1, 2,..., } privé des élémets de A, qui a m élémets (et doc 2 m choix idépedats). E aisi, N ( m) 2 m. D autre part, pour costruire A, B o peut d abord choisir B de cardial quelcoque etre m et (si B est de cardial, ( ) choix), puis choisir A de cardial m comme sous-esemble de B ( ( m) choix si B est de cardial ). Aisi, N ( 0 )( m). Solutio de l exercice 6 U tel chemi doit faire m+ pas, dot m fois +(1, 0) et fois +(0, 1). Il suffit doc de choisir parmi les m + pas possibles la positio des m qui fot +(1, 0). Le ). ombre total vaut doc ( m+ m Solutio de l exercice 7 Cosidéros la figure suivate (avec deux barres) : Remplaços chaque rod soit par ue pièce, soit par ue barre de sorte qu il y ait e tout 2 barres et 5 pièces. Les pièces etre les deux premières barres serot coteues das la première poche, les pièces etre la deuxième barre et la troisième barre serot coteues das la secode poche, et fialemet les pièces etre la troisième barre et la quatrième barre serot coteues das la troisième poche. Aisi, placer 5 pièces idetiques das 3 poches différetes, reviet à choisir la positio des 2 barres parmi 7 positios possibles. La répose est doc ( 7 2) 21. Plus gééralemet, e procédat de la même faço, o voit qu il y a ( ) ( a+b 1 b 1 a+b 1 ) a maières de placer a pièces idetiques das b poches différetes. 6

7 2 Pricipe d Iclusio-Exclusio O sait que si A et B sot deux esembles fiis, alors Card(A B) Card(A) + Card(B) Card(A B). La formule suivate, dite d iclusio-exclusio, gééralise cela au cas où ous e avos u ombre quelcoque. Propositio 7 (Formule d iclusio-exclusio). Si A 1,..., A sot des esembles fiis, alors : Card(A 1 A 2 A ) ( 1) +1 1 Démostratio. Par récurrece (bo courage!) 1 i 1 < <i Card (A i1 A i ). Exercice 8 Combie y a-t-il d etiers strictemet positifs iférieurs ou égaux à 120 et qui e sot divisibles i par 3, i par 5, i par 7? Exercice 9 Les stagiaires au stage de Motpellier vot se baiger et laisset leurs t-shirts Aimath e vrac sur le sable. Ils revieet et preet u t-shirt complètemet au hasard. Quelle est la probabilité que persoe e se retrouve avec so t-shirt? Solutio de l exercice 8 Trouvos plutôt le ombre d etiers strictemet positifs iférieurs ou égaux à 120 divisibles par 3, 5, ou 7. Notos A (respectivemet B et C) l esemble des ombres etiers strictemet positifs divisibles par 3 (respectivemet 5 ou 7). O a : A 40 (1) 3 B 24 (2) 5 C 17 (3) 7 A B 8 (4) 3 5 B C 3 (5) 5 7 C A 4 (6) A B C 1 (7) D où d après la formule d iclusio-exclusio, Aisi, le ombre cherché vaut A B C Solutio de l exercice 9 O assige à chaque stagiaire u chiffre différet etre 1 et, et o ote x i le uméro de l élève preat le i-ième t-shirt. Aisi, (x 1,..., x ) est ue permutatio 7

8 de (1,..., ). Calculos plutôt la probabilité qu au mois ue persoe retrouve so t-shirt e vue d utiliser le pricipe d iclusio-exclusio. Pour 1 i, soit A i l esemble des permutatios telles que x i i. Il est clair que pour 1 i 1 < < i, o a : Card (A i1 A i ) ( )!. Aisi, d après la formule d iclusio-exclusio : Card(A 1 A 2 A ) ( 1) +1 1 ( 1) i 1 < <i 1 i 1 < <i ( 1) +1 ( )! ( 1) 1 +1!!. Card (A i1 A i ) ( )! La probabilité cherchée vaut 1 Card(A 1 A 2 A )/!, c est-à-dire : 1 2! 1 3! + 1 4! + + ( 1) 1!. Lorsque ted vers l ifii, cette probabilité ted vers 1 e 37%. 3 Ijectios, surjectios, bijectios Défiitio 8. Ue applicatio f : E F permet d associer à tout élémet x de l esemble E u uique élémet, oté f(x) de l esemble F. O dit que E est l esemble de départ, F l esemble d arrivée. Si f(x) y, o dit que x est l atécédet de y et y l image de x. 3.1 Ijectios et surjectios Défiitio 9. Soiet E, F deux esembles et f : E F ue applicatio. (i) O dit que f est ijective si pour tous x, y E avec x y, f(x) f(y). (ii) O dit que f est surjective si pour tout y F, il existe x E tel que f(x) y. Pour motrer que f : E F est ijective, o motre très souvet que si x, y E sot tels que f(x) f(y), alors x y (voir le cours sur les équatios foctioelles). O itroduit la otatio [] {1, 2,..., } pour u etier 1. Propositio 10. Il existe ue ijectio [m] [] si, et seulemet si, m. Il existe ue surjectio de [m] [] si, et seulemet si, m. 8

9 Démostratio. Exercice. E pratique, o utilise la propositio précédete e combiatoire comme suit : pour motrer que a b, o costruit deux esembles A, B tels que Card(A) a, Card(B) b, aisi qu ue ijectio de A das B. Ou ecore, pour motrer que a b, o costruit deux esembles A, B tels que Card(A) a, Card(B) b, aisi qu ue surjectio de A das B. Exercice 10 (Olympiades Balaiques de Mathématiques 1997) Soiet m, > 1 des etiers. Soit S u esemble de cardial et A 1, A 2,..., A m des sous-esembles de S. O suppose que pour tous élémets x y de S, il existe 1 i m tel que x A i et y A i, ou bie x A i et y A i. Prouver que 2 m. Exercice 11 (i) Combie existe-t-il de foctios de [m] []? (i) O suppose m. Combie existe-t-il d ijectios de [m] []? (ii) O suppose m. Combie existe-t-il de surjectios de [m] []? Solutio de l exercice 10 À tout élémet x S, o associe le m-uplet (x 1,..., x m ) où x i 0 si x A i et x i 1 si x A i. Cette applicatio est défiie sur S, et so esemble d arrivée est {0, 1} m. Par hypothèse, si x y, alors f(x) f(y). Aisi, f est ijective. Le cardial de l esemble de départ est doc iférieur ou égal au cardial de l esemble d arrivée. Solutio de l exercice 11 Pour (i), il y e a clairemet m ( choix pour chacu des m etiers au départ) Pour (ii), o a choix pour l image de 1, 1 choix pour l image de 2, et aisi de suite! jusqu à m pour lequel o a m + 1 choix pour so image. La répose est doc. ( m)! Pour (iii), o va utiliser le pricipe d iclusio-exclusio et compter le ombre de foctios [m] [] qui e sot par surjectives. À cet effet, pour 1 i, otos A i l esemble des foctios [m] [] telles que i est pas atteit par la foctio. Il est clair que pour des etiers 1 i 1 < < i, o a Card(A i1 A i ) ( ) m, car chaque élémet de [m] peut être evoyé sur u des etiers de [] autorisés. Aisi, d après le pricipe d iclusio exclusio, si o ote s(m, ) le ombre de surjectios de [m] [], o a : m s(m, ) Card(A 1 A 2 A ) ( 1) +1 Card (A i1 A i ) 1 ( 1) i 1 < <i 1 i 1 < <i ( 1) +1 ( ) m ( ) m Aisi, s(m, ) ( 1) ( ) m. 0 9

10 3.2 Preuves par bijectios e combiatoire Défiitio 11. Soiet E, F deux esembles et f : E F ue applicatio. O dit que f est bijective si elle est à la fois ijective et à la fois surjective. Propositio 12. Soiet A et B deux esembles fiis. Alors A et B ot même cardial si, et seulemet si, il existe ue bijectio etre A et B Démostratio. Exercice E combiatoire, cette propositio est souvet utilisée de la maière suivate. Si o veut motrer que a b, où a, b 0 sot des etiers, il suffit de trouver deux esembles fiis A et B tels que Card(A) a et Card(B) b, et de costruire ue bijectio etre A et B. Pour vérifier qu ue foctio est bijective, il est parfois pratique d exhiber la foctio réciproque. Plus précisémet : Propositio 13. Si f : A B et g : B A sot deux foctios telles que f(g(b)) b pour tout b B et g(f(a)) a pour tout a A, alors f et g sot des bijectios (o dit qu elles sot réciproques, ou iverses, l ue de l autre). Démostratio. Motros d abord que f est surjective. Soit b B. O sait que f(g(b)) b, aisi g(b) est u atécédet de b, de sorte que f est surjective. Pour motrer l ijectivité, soiet x, y E tels que f(x) f(y) et motros que x y. O a x g(f(x)) g(f(y)) y. La foctio f est doc ijective, et comme elle est surjective, elle est bie bijective. Par symétrie, g est aussi bijective. Exercice 12 (Caada 2005) Soit u triagle équilatéral dot le côté est de logueur, divisé e triagles uitaires tel qu illustré. Soit f() le ombre de chemis allat du triagle de la ragée du haut jusq au triagle au cetre de la ragée du bas, de faço à ce que des triagles adjacets partaget ue arête commue et que le chemi e repasse jamais par le même triagle et qu il aille jamais vers le haut (d ue ragée iférieure à ue ragée supérieure). U tel chemi est illustré ci-après avec 5. Détermier la valeur de f(2012). Solutio de l exercice 12 L applicatio qui à u chemi associe u ( 1)-uplet (x 1,..., x 1 ) où x i est l etier x tel que le chemi traverse la i-ième lige horizotale e partat du haut au x-ième segmet e partat de la gauche. Cette applicatio est clairemet ue bijectio etre l esemble des chemis cosidérés et l esemble [1] [2] [ 1], qui est de cardial ( 1)!. Aisi, f(2012) 2011!. 10