Thermodynamique et diffusion

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1 Colles semaine 6 Sujet A D Arsonval, PSI Thermodynamique et diffusion Question de cours Établir l équation de la diffusion thermique à une dimension radiale sphérique. Exercice 1 : Circuit secondaire d une centrale nucléaire REP [adapté Centrale MP 2016] La France compte 19 centrales nucléaires en exploitation, dans lesquelles tous les réacteurs (58 au total) sont des réacteurs à eau pressurisée REP. Actuellement, ces installations fournissent près de 80 % de l électricité produite en France. Le cycle thermodynamique décrit par l eau du circuit secondaire est un cycle ditherme moteur où la turbine d un alternateur est mise en mouvement. L eau liquide sera supposée incompressible et de capacité thermique massique isobare supposée constante. Le tableau en fin d énoncé donne diverses données thermodynamiques relatives à l équilibre liquide vapeur de l eau. L eau du circuit secondaire suit le cycle thermodynamique de Rankine, fait des transformations suivantes, représentées figure 1 : de A à B : dans le générateur de vapeur, échauffement isobare du liquide à la pression P 2 = 55 bar jusqu à un état de liquide saturant (état A ), puis vaporisation totale isobare jusqu à un état de vapeur saturante sèche (état B) ; de B à C : détente adiabatique réversible dans la turbine, de la pression P 2 à la pression P 1 = 43 mbar ; en C, le fluide est diphasé ; de C à D : liquéfaction totale isobare dans le condenseur, jusqu à un état de liquide saturant ; de D à A : compression adiabatique réversible, dans la pompe d alimentation, de la pression P 1 à la pression P 2, du liquide saturant sortant du condenseur. On négligera le travail consommé par cette pompe devant les autres énergies mises en jeu, ce qui permet de considérer T A T D. Tout au long de l exercice, on négligera les variations d énergie cinétique et potentielle dans les bilans énergétiques. B Turbine Axe moteur GV A Pompe D condenseur C Figure 1 Cycle de Rankine. 1 - Représenter dans le diagramme de Clapeyron (P, v) l allure de la courbe de saturation de l eau, ainsi que les isothermes T B, T D et T cr, cette dernière température étant celle du point critique de l eau. Préciser les domaines du liquide, de la vapeur, de la vapeur saturante. Représenter sur ce même diagramme l allure du cycle décrit par l eau du circuit secondaire. Indiquer le sens de parcours du cycle et placer les points A, A, B, C et D. 2 - D après l extrait de table thermodynamique donné en annexe, quelles sont les valeurs des températures, des enthalpies massiques et des entropies massiques aux points A, B et D? On pourra donner les valeurs sous forme de tableau. 3 - En fin d énoncé figure le diagramme enthalpique (P, h) de l eau. Placer, avec soin et à l échelle, les points A, B, C, D du cycle. On explicitera la méthode. 4 - Exprimer le travail massique w BC reçu par l eau dans la turbine. Donner sa valeur numérique, en s aidant du diagramme enthalpique. 5 - Exprimer le transfert thermique massique q AA reçu par l eau liquide quand elle passe de manière isobare de la 1/11 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017,

2 Colles semaine 6, sujet A : Thermodynamique et diffusion D Arsonval, PSI température T A à la température T A dans le générateur de vapeur. Donner sa valeur numérique : on considérera T A T D. 6 - Exprimer le transfert thermique massique q A B reçu par l eau quand elle se vaporise complètement dans le générateur de vapeur. Donner sa valeur numérique. 7 - Calculer alors le rendement de Rankine de l installation. Comparer au rendement de Carnot et commenter. 8 - Sachant qu un réacteur REP fournit à l eau du circuit secondaire, via le générateur de vapeur, une puissance thermique P th = 2785 MW, que vaut le rendement thermodynamique réel de l installation? Comparer au rendement de Rankine et commenter. 9 - Dans quel état se trouve l eau à la fin de la détente de la turbine? Donner le titre massique en vapeur à l aide du diagramme enthalpique. En quoi est-ce un inconvénient pour les parties mobiles de la turbine? Annexe : Extrait de table thermodynamique relatif à l eau θ P sat v L h L s L v V h V s V ( C) (bar) (m 3 kg 1 ) (kj kg 1 ) (J K 1 kg 1 ) (m 3 kg 1 ) (kj kg 1 ) (J K 1 kg 1 ) 30 0,043 1, ,22 0, , ,92 8, , ,18 2,1395 0, ,84 6, , ,10 2,9853 0, ,46 5,9226 L indice L indique les propriétés du liquide saturant pur et V celles de la vapeur saturante sèche. v volume massique ; θ température ; h enthalpie massique ; P sat pression de vapeur saturante ; s entropie massique. Capacité thermique massique isobare de l eau liquide : c = 4,18 kj K 1 kg 1. i Éléments de correction de l exercice 1 : 1 Le diagramme est représenté figure 3. L allure des isothermes dans le diagramme de Clapeyron est connue, elles sont donc tracées grâce à la connaissance des pressions. On place ensuite le point A (sur la courbe de saturation) puis le point B grâce au fait que A B est isobare. Le point C est placé approximativement dans le domaine diphasé connaissant sa pression, et on en déduit la position du point D le long de l isobare et sur la courbe de saturation. On note enfin que A se trouve sur l isotherme T D d après l hypothèse de l énoncé. 2 Au point A, on a du liquide saturant sous pression P A = P sat = 55 bar, d où on déduit par lecture de la table T A = 270 C h A = 1190,10 kj kg 1 s A = 2,9853 J K 1 kg 1. Au point B, le fluide est dans l état de vapeur saturante sous la même pression. Il faut donc lire la colonne relative à la vapeur de la même ligne de la table que précédemment, d où T B = 270 C h B = 2788,46 kj kg 1 s B = 5,9226 J K 1 kg 1. Enfin, au point D, le fluide est dans l état de liquide saturant sous pression 43 mbar égale à la pression de vapeur saturante, ce qui donne T D = 30 C h D = 125,22 kj kg 1 s D = 0,4348 J K 1 kg 1. 3 Voir figure 4. Les points A, B et D se placent directement à partir des valeurs de pression et enthalpie massique lues à la question précédente, ou tout simplement à partir des valeurs de pression et en les plaçant sur la courbe de saturation. Pour placer le point C, on utilise le fait que B C est une adiabatique réversible et C D une isobare : C se trouve à l intersection de l isentrope passant par B et de l isobare passant par D. Enfin, on sait que A B est une isobare et que D A est une isenthalpique (cf. question 1), d où on déduit la position de A, à l intersection de l isobare (horizontale) passant par B et de l isenthalpe (verticale) passant par D. Au cas où cet argument échapperait au candidat, il est indiqué question 5. 4 L évolution dans la turbine est par hypothèse adiabatique, d où h C h B = w BC + 0 soit w BC = 990 kj kg 1. 5 Le générateur de vapeur n apporte aucun travail utile au fluide, donc h A h A = 0 + q AA = c P (T A T A ) d où q AA = 1000 kj kg 1. 2/11 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017,

3 Colles semaine 6, sujet A : Thermodynamique et diffusion D Arsonval, PSI Figure 2 Diagramme enthalpique de l eau. Les températures sont exprimées en degrés Celsius. 3/11 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017,

4 Colles semaine 6, sujet A : Thermodynamique et diffusion D Arsonval, PSI Figure 3 Cycle de Rankine représenté dans le diagramme de Clapeyron. Figure 4 Cycles de Rankine et de Rankine étagé représentés dans le diagramme des frigoristes. Le plus simple est d utiliser la lecture du diagramme, mais la formulation de la question laisse penser que les concepteurs du sujet souhaitent exploiter la relation avec les températures. En plus, cela permet d éviter toute erreur éventuelle de placement du point A sur le diagramme. 6 L évolution A B a toujours lieu dans le générateur de vapeur et sans travail, donc exactement comme à la question précédente, h B h A = 0 + q A B d où q A B = 1600 kj kg 1. Attention cette fois l eau est diphasée, il n est donc pas question d utiliser une capacité thermique. Pour exprimer différemment ce transfert thermique, c est une enthalpie de changement d état (non donnée ici) qu il faudrait faire intervenir. 7 Le rendement du cycle de Rankine s exprime à partir du travail massique w turb cédé à la turbine et du transfert thermique massique q GV apporté par le générateur de vapeur sous la forme η Rankine = w turb w BC q GV d où η Rankine = = 0,40. q AA + q A B Le rendement de Carnot d un cycle fonctionnant entre les mêmes sources thermiques, de températures respec- 4/11 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017,

5 Colles semaine 6, sujet A : Thermodynamique et diffusion D Arsonval, PSI tives T ch = T B = 270 C et T fr = T D = 30 C, serait η Carnot = 1 T fr T ch = 0,44. Conformément au second principe, le rendement du cycle de Rankine est inférieur au rendement de Carnot, mais il demeure relativement proche, signe que le cycle est correctement optimisé. Attention toutefois, la modélisation des transformations de compression et détente comme étant réversibles surestime ce rendement. 8 Enfin, le rendement réel de la centrale vaut η réel = P e P th = 0,32 ce qui est nettement inférieur au rendement de Rankine. La modélisation du cycle est à remettre en cause, et même si elles sont faibles, il ne faut pas oublier non plus les pertes lors de la conversion d énergie mécanique en énergie électrique par l alternateur, qui diminuent le rendement. 9 À la fin de la détente, l état de l eau se trouve décrit par le point C : il s agit d un mélange diphasé liquide-vapeur. Comme le point C se trouve un peu à gauche de l isotitre x = 0,70, on en déduit x C = 0,69. Le problème pour la turbine de la présence d eau liquide est un risque de corrosion des parties métalliques, qui limiterait sa durée de vie. 5/11 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017,

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7 Colles semaine 6 Sujet B D Arsonval, PSI Thermodynamique et diffusion Question de cours Établir l équation de la diffusion thermique à une dimension cartésienne. Exercice 1 : Température du corps humain en plongée L objectif de l exercice est de modéliser les processus de transfert thermique entre le corps d un plongeur et l eau. On note T (t) la température interne du plongeur à l instant t, supposée uniforme, et T 0 = 12 C la température de l eau, supposée constante. On note S 2 m 2 l aire totale du plongeur en contact avec l eau. L ensemble de la peau est modélisée par une unique résistance thermique R peau = K W 1. Le plongeur est équipé d une combinaison en néoprène d épaisseur e = 5 mm. Le contact thermique entre la peau du plongeur et l intérieur de la combinaison est supposé parfait. Le néoprène est une mousse remplie de bulles de diazote. Lorsque la combinaison est gorgée d eau, sa conductivité thermique est de l ordre de λ combi = W m 1 K 1. On note R combi la résistance thermique associée. Les transferts thermiques entre la paroi externe de la combinaison et l eau sont modélisés par la loi de Newton donnant le courant thermique conducto-convectif sortant, # j cc = h(t paroi T 0 ) # n, où # n est la normale unitaire sortante et h = W m 2 K 1 un paramètre phénoménologique. On note R cc la résistance thermique conducto-convective. 1 - Exprimer R cc en fonction de h et S. 2 - Proposer le schéma électrique équivalent permettant de déterminer la résistance thermique totale R tot entre l intérieur du corps du plongeur et l eau. En déduire l expression du flux thermique total Φ tot en fonction de T, T 0 et R tot. 3 - Estimer les valeurs numériques de R combi et R cc. Conclure sur une expression approchée de R tot. Le corps humain se réchauffe grâce à la dégradation des molécules d ATP. On note P ATP la puissance associée à cette production interne et C la capacité thermique du plongeur. 4 - Montrer que la température T du plongeur au cours du temps est solution de l équation différentielle dt dt + T τ = 1 τ (T 0 + R tot P ATP ) avec τ = CR tot. 5 - Résoudre cette équation en supposant constante P ATP = 1, W. On introduira T c = 37 C la température du corps humain hors de l eau. 6 - Le plongeur est en hypothermie lorsque sa température devient inférieure à 35 C. Déterminer le temps maximal que peut durer une plongée sans danger pour un plongeur de 75 kg de capacité thermique massique c = J K 1 kg 1. Éléments de correction de l exercice 1 : 1 Φ cc = hs(t paroi T 0 ) donc R cc = 1/hS. 2 Association série des trois : R tot = R peau + R combi + R cc donc Φ tot = (T T 0 )/R tot. 3 R combi = e λs K W 1 et R cc = 2, K W 1 donc R tot R peau + R combi 4 On se place dans l ARQS (rappel : les résistances thermiques ne sont valables qu en régime continu). Premier principe pendant dt appliqué au plongeur : dh = Φ tot dt + P ATP dt d où dh dt = T T 0 R tot + P ATP 7/11 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017,

8 Colles semaine 6, sujet B : Thermodynamique et diffusion D Arsonval, PSI Or dh = C [T (t + dt) T (t)] d où on arrive au résultat dt dt + T τ = 1 τ (T 0 + R tot P ATP ) avec τ = CR tot. 5 Solution particulière T = T 0 + R tot P ATP, solution homogène A e t/τ, et T (0) = T c d où on trouve T (t) = T + [T c T ] e t/τ 6 Durée maximale t max telle que T ( t max ) = T hypo, qui vaut t max = τ ln T c T T hypo T = s = 3 h 8/11 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017,

9 Colles semaine 6 Sujet C D Arsonval, PSI Thermodynamique et diffusion Question de cours Établir l équation de la diffusion thermique à une dimension radiale cylindrique. Exercice 1 : Diffusion dans un matériau neutrophage matériau irradié cercueil neutrophage Pour éviter tout danger d irradiation, il est nécessaire d enrober certains matériaux radioactifs d une couche faite d un matériau à même d absorber les neutrons : on parle de cercueil neutrophage. On admet que la diffusion des neutrons émis par le matériau irradié S dans le matériau neutrophage est équivalente à une diffusion de Fick unidimensionnelle, dans un barreau de longueur L et de section S sans fuite de neutron par les surfaces latérales du barreau. On note n(x, t) la densité x volumique de neutrons mobiles à l abscisse x et à l instant t, et j(x, t) la 0 L densité de courant de neutrons orientée dans le sens des x croissants. Un matériau irradié, placé en x < 0, envoie dans le matériau neutrophage un flux surfacique J 0 homogène et constant de neutrons. On considère que le neutrophage absorbe kn(x, t) neutrons par unité de temps et de volume. 1 - Montrer que n(x, t) obéit à l équation n t = D 2 n x 2 kn. 2 - Que devient cette équation en régime permanent? Est-ce celle d un oscillateur harmonique? Montrer qu une solution de la forme n(x) = N 0 e αx convient pour α à préciser. 3 - Déterminer, en régime permanent, l expression de n(x) en fonction de J 0, k et D. 4 - En déduire quelle doit être l épaisseur minimale L min du neutrophage pour que 99 % des neutrons y soient absorbés. Même question pour que le flux de neutrons soit réduit de 99 %. Éléments de correction de l exercice 1 : 1 Bilan de matière sur une tranche d épaisseur dx : Développement limité et simplification : n(x, t + dt) S dx n(x, t) S dx = +j(x, t) S dt j(x + dx, t) S dt knsdxdt Loi de Fick à une dimension conduit au résultat. 2 En régime permanent, n t = j x kn D d2 n dx 2 kn = 0 Pas OH car signe. SOlution exponentielle convient si α = k/d. 3 D après la loi de Fick, j(x) = D dn dx = αdn 0 e αx = kdn 0 e αx. Condition aux limites : j(0) = J 0 = kdn 0 ce qui donne N 0. Finalement, n(x) = J 0 kd e αx. 4 Comme il y a proportionnalité entre n et j, c est la même réponse pour les deux questions : j(x) = J 0 /100 se résout en e αx = 1 ln 100 soit αx = ln(100) d où L min = 100 α. 9/11 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017,

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11 Colles semaine 6 Sujet D D Arsonval, PSI Thermodynamique et diffusion Pour aborder un exercice de type résolution de problème, il peut notamment être utile de faire un schéma modèle, d identifier et nommer les grandeurs pertinentes, d utiliser l analyse dimensionnelle, de proposer des hypothèses simplificatrices, de décomposer le problème en des sous-problèmes simples, etc. Le candidat peut également être amené à proposer des valeurs numériques raisonnables pour les grandeurs manquantes... et toutes les valeurs données ne sont pas forcément utiles. Le tout est évidemment à adapter à la situation proposée! Exercice 1 : Money, money, money Vous achetez six bouteilles de 1 L de jus de fruit que vous rangez dans votre réfrigérateur. Une heure plus tard, elles sont à la température du frigo. Combien vous coûte ce refroidissement? Données : l efficacité thermodynamique du réfrigérateur vaut 70 % de l efficacité de Carnot ; l isolation imparfaite du réfrigérateur se traduit par des fuites thermiques de puissance 10 W ; capacité thermique massique de l eau liquide : 4,2 kj K 1 kg 1 ; tarifs EDF : 1 kwh coûte 0,15 e. Éléments de correction de l exercice 1 : Supposons que les bouteilles de jus de fruit sont à température initiale T I = 25 C, et que la température finale (celle du frigo) vaut T F = 5 C. Commençons par calculer l énergie nécessaire au refroidissement. Système : contenu du frigo. Bilan des échanges énergétiques : transfert thermique reçu de la part du fluide frigorigène : Q frigo < 0 que l on cherche à déterminer ; transfert thermique de fuite : Q fuite = +P fuite t > 0 avec P fuite = 10 W et t = 1 h = 3, s (attention au signe, compte tenu de la différence de température, c est le contenu du frigo qui reçoit effectivement de l énergie). Variation d énergie interne : par additivité, U = U jus, et on assimile le jus de fruit à de l eau du point de vue thermique. U }{{} = 1er ppe Q frigo + Q fuite }{{} = m jus c eau (T F T I ) modèle où m jus = 6 kg. On en déduit Q frigo = m jus c eau (T F T I ) P fuite t = 5, J. Calculons maintenant le coût en énergie électrique du refroidissement. On fait l hypothèse que l énergie électrique fournie au frigo ne sert qu à faire tourner le moteur. Par définition de l efficacité d un frigo, e = Q froid /W où les échanges énergétiques sont ceux du fluide. Ici, on a donc e = Q frigo /E élec. Par ailleurs, l efficacité de Carnot d un frigo vaut e C = T frigo /(T ext T frigo ). En combinant, on en déduit e = Q frigo T frigo = 0,7 10 d où E élec = Q frigo = J. E élec T ext T frigo e Enfin, calculons le prix en euros de cette énergie, sachant que 1 kwh = W 3, s = 3, J. On trouve p = J 3, ,15 e = 0,2 centime. J 11/11 Étienne Thibierge, 6 novembre 2017,